Χωροχρόνος

Σχηματοποιώντας τον χώρο σε δύο διαστάσεις, το ξεδίπλωμα του χρόνου δίνει την αίσθηση του χωροχρόνου σε τρεις διαστάσεις.

Σχηματοποιώντας αφαιρετικά τον χώρο
σε δύο διαστάσεις (επίπεδο πλέγμα),
ο χωροχρόνος μπορεί να αποδοθεί με τρεις.
Η βαρύτητα, που εκφράζεται ως η καμπύλωση του χωροχρόνου, σχηματοποιείται ως παραμόρφωση του χωρικού πλέγματος.

Στη φυσική ο χωροχρόνος ή χωροχρονικό συνεχές είναι το μαθηματικό μοντέλο που ενώνει τον χώρο και τον χρόνο σε μία συνέχεια. Ο χωροχρόνος συνήθως ερμηνεύεται ως συνδυασμός του ευκλείδειου χώρου τριών διαστάσεων με τον χρόνο ως μια επιπρόσθετη διάσταση, οπότε προκύπτει ένα πολύπτυχο μόρφωμα (manifold) τεσσάρων διαστάσεων. Η τέταρτη διάσταση, αυτή του χρόνου, είναι διαφορετική από τις άλλες τρεις που αφορούν μήκος στον ευκλείδειο χώρο.

Στην Κλασική μηχανική σε χαμηλές (μη σχετικιστικές) ταχύτητες, η χρήση της ευκλείδειας γεωμετρίας είναι κατάλληλη καθώς ο χρόνος μπορεί να παραλείπεται από τη μαθηματική περιγραφή των υπό εξέταση συστημάτων, αφού είναι ο ίδιος παντού για τα αντικείμενα και τον παρατηρητή. Όταν όμως μελετούμε σχετικιστικές κινήσεις των σωμάτων, όταν δηλαδή έχουμε ταχύτητες που προσεγγίζουν την ταχύτητα του φωτός, τότε ο χρόνος δεν μπορεί να παραλειφθεί από τη μαθηματική περιγραφή και το σημείο στον χώρο ανάγεται πια σε γεγονός στον χωροχρόνο. Όταν μελετούμε σχετικιστικά φαινόμενα, προσπαθώντας να τα κατανοήσουμε με ευκλείδεια γεωμετρία σε χώρο τριών διαστάσεων, ο χρόνος αλλοιώνεται, καθώς παίζει ρόλο η ταχύτητα του σώματος που μελετάται ως προς τον παρατηρητή και η επίδραση της βαρύτητας φαίνεται να επιβραδύνει το «πέρασμα του χρόνου». Κοιτώντας σε τέσσερις διαστάσεις, απλά λέμε πως ο χωροχρόνος «καμπυλώνει».

Ο χωροχρόνος με τέσσερις διαστάσεις καλύπτει επαρκώς την περιγραφή των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων των σωμάτων στο σύμπαν που παρατηρούμε και βιώνουμε. Μια θεωρία που προσπαθεί να ενοποιήσει όλες τις δυνάμεις όμως χρειάζεται περισσότερες διαστάσεις για να περιγράψει ενοποιημένα και τις δυνάμεις πλέον της βαρύτητας, όπως τις δυνάμεις που κυριαρχούν σε υποατομικό επίπεδο. Έτσι, έχουμε για παράδειγμα τη Θεωρία-M η οποία προσδίδει στο χωροχρονικό συνεχές 11 διαστάσεις.

Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν έδωσε μία συσχέτιση της Καμπύλωσης του χώρου και στην πραγματικότητα.

Κοσμολογία

Στην κοσμολογία, η έννοια του χωροχρόνου συνδυάζει τον χώρο και τον χρόνο που ενώνονται αφηρημένα παράγοντας το σύμπαν.

Διαστάσεις

Μαθηματικά ο χωροχρόνος είναι μια τοπολογική πολλαπλότητα που αποτελείται από «γεγονότα» που περιγράφονται από ένα είδος συστήματος συντεταγμένων. Για την απόδοσή του απαιτούνται τουλάχιστο τρεις χωρικές διαστάσεις (μήκος, πλάτος, ύψος) και μία χρονική διάσταση (χρόνος). Οι χωρικές διαστάσεις είναι ανεξάρτητες συνιστώσες ενός πλέγματος συντεταγμένων που χρειάζονται για να εντοπιστεί ένα σημείο σε έναν καθορισμένο «χώρο». Για παράδειγμα, το γεωγραφικό μήκος και πλάτος είναι δύο ανεξάρτητες συντεταγμένες που όταν συνδυάζονται καθορίζουν μοναδικά μια θέση στην επιφάνεια ενός πλανήτη σαν τη Γη. Στον χωροχρόνο ένα πλέγμα συντεταγμένων που καταλαμβάνει τις 3+1 διαστάσεις εντοπίζει πλέον γεγονότα, και όχι απλά μόνο σημεία στον χώρο, δηλαδή ο χρόνος προστίθεται ως επιπλέον διάσταση στο σύστημα συντεταγμένων. Με αυτό τον τρόπο οι συντεταγμένες προσδιορίζουν πού και πότε συμβαίνουν τα γεγονότα. Ωστόσο, η ενιαία φύση του χωροχρόνου και η ελευθερία της επιλογής του συστήματος συντεταγμένων που μας επιτρέπει η μαθηματική περιγραφή του, συνεπάγεται πως για να εκφραστεί η χρονική συντεταγμένη σε ένα σύστημα συντεταγμένων απαιτούνται έτσι κι αλλιώς και χρονικές και χωρικές συντεταγμένες σε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων. Σε αντίθεση με τις κοινές χωρικές συντεταγμένες, εξακολουθούν να υπάρχουν περιορισμοί για τον τρόπο διεξαγωγής των χωρικών και χρονικών μετρήσεων (βλ. χρονικά διαστήματα). Οι περιορισμοί αυτοί αντιστοιχούν χονδρικά σε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο διαφέρει από τον Ευκλείδειο χώρο, όπως ορίζεται σε αυτόν η συμμετρία.

Όταν οι διαστάσεις εκλαμβάνονται ως απλές συνιστώσες του συστήματος συντεταγμένων, και όχι ως φυσικά χαρακτηριστικά του χώρου, θεωρείται πιο εύκολο να κατανοήσει κανείς τις εναλλακτικές όψεις του χώρου υπό άλλες διαστάσεις, ως το αποτέλεσμα μετασχηματισμού συντεταγμένων.

Ο χωροχρόνος εκλαμβάνεται πλέον ως γενικευμένη έννοια, κάτι πιο πέρα από την απλή περιγραφή των χωροχρονικών γεγονότων σε 3 + 1 διαστάσεις. Θεωρείται πραγματικά ο συνδυασμός του χώρου και του χρόνου. Κάποιες προτεινόμενες θεωρίες για τον χωροχρόνο περιλαμβάνουν πρόσθετες διαστάσεις - συνήθως χωρικές, αλλά και χρονικές διαστάσεις και μερικές περιλαμβάνουν επιπλέον διαστάσεις που δεν είναι ούτε χρονικές ούτε χωρικές (π.χ. υπερχώρος). Το πόσες διαστάσεις απαιτούνται για να περιγραφεί επαρκώς το σύμπαν είναι ακόμη αναπάντητο ερώτημα. Μη αποδεδειγμένες θεωρίες όπως η θεωρία χορδών προβλέπουν 10 ή 26 διαστάσεις, ενώ η Θεωρία-Μ προβλέπει 11 διαστάσεις (10 χωρικές και 1 χρονική)· οι περισσότερες των τεσσάρων διαστάσεων εισάγονται για να υποστηριχθούν θεωρητικά όσα συμβαίνουν σε υποατομικό επίπεδο.

Πειράματα και Σχετικότητα

Μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα πιστευόταν ότι ο χρόνος είναι ανεξάρτητος της κίνησης και εξελίσσεται με σταθερό ρυθμό σε όλα τα συστήματα αναφοράς· ωστόσο, αργότερα, πειράματα αποκάλυψαν ότι ο χρόνος επιβραδύνεται όταν ένα σύστημα αναφοράς κινείται σε υψηλές ταχύτητες σε σχέση με ένα άλλο σύστημα αναφοράς. Αυτή η επιβράδυνση, που ονομάζεται διαστολή του χρόνου, εξηγείται στην Ειδική θεωρία της σχετικότητας. Πολλά πειράματα έχουν επιβεβαιώσει τη διαστολή του χρόνου, όπως η σχετικιστική διάσπαση των μιονίων από τις κοσμικές ακτίνες, καθώς και η επιτάχυνση των ατομικών ρολογιών που ταξιδεύουν μέσα σε ένα διαστημικό λεωφορείο σε σχέση με τα ατομικά ρολόγια στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς της Γης με τα οποία είχαν συγχρονιστεί προηγουμένως. Η διάρκεια του χρόνου μπορεί, συνεπώς, να ποικίλλει ανάλογα με τα γεγονότα και τα συστήματα αναφοράς.

Ο χωροχρόνος στη λογοτεχνία

Οι Ίνκας θεωρούσαν τον χώρο και τον χρόνο ως μια ενιαία αντίληψη, που αναφέρεται ως Pacha (Κέτσουα: Pacha, Aymara: Pacha) Οι λαοί των Άνδεων διατηρούν μία παρόμοια άποψη. Ο Άρθουρ Σοπενχάουερ έγραψε στην § 18 του την Τετραπλή ρίζα της αρχής του επαρκή λόγου(1813): «... Η αναπαράσταση της συνύπαρξης είναι αδύνατη στον χρόνο και μόνο. Εξαρτάται, για την ολοκλήρωσή της, από την αναπαράσταση του χώρου. Επειδή, στον απλό χρόνο, όλα τα πράγματα ακολουθούν το ένα το άλλο, και στον απλό χώρο όλα τα πράγματα είναι δίπλα-δίπλα. Συνεπώς, μόνο από τον συνδυασμό του χώρου και χρόνου προκύπτει η εκπροσώπηση της συνύπαρξης.»

Η ιδέα ενός ενιαίου χωροχρόνου δηλώνεται από τον Έντγκαρ Άλλαν Πόε στο δοκίμιό του σχετικά με την κοσμολογία με τίτλο Eureka (1848) ότι: «Διάστημα και διάρκεια είναι ένα». Το 1895, στο μυθιστόρημά του Η Μηχανή του Χρόνου, ο Χ. Τζ. Γουέλς έγραψε: «Δεν υπάρχει καμία διαφορά μεταξύ του χρόνου και οποιασδήποτε από τις τρεις διαστάσεις του χώρου εκτός του ότι η συνείδησή μας κινείται κατά μήκος της», και ότι «κάθε πραγματικό σώμα πρέπει να έχει επέκταση σε τέσσερις κατευθύνσεις: θα πρέπει να έχει μήκος, πλάτος, πάχος, και διάρκεια».

Ο Μαρσέλ Προυστ, στο μυθιστόρημα ο τρόπος του Swann, που δημοσιεύθηκε το 1913, περιγράφει την εκκλησία του χωριού της παιδικής ηλικίας του, σαν «...Ένα κτίριο το οποίο καταλαμβάνει, να το πω έτσι, τέσσερις διαστάσεις του χώρου - το όνομα της τέταρτης είναι χρόνος...»

Ως μαθηματική έννοια

Η πρώτη αναφορά στον χωροχρόνο ως μια μαθηματική έννοια έγινε το 1754 από τον Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ στο άρθρο «Διάσταση» στην Encyclopédie. Ένα άλλο πρώιμο εγχείρημα ήταν από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ στο έργο του «Θεωρία των Αναλυτικών Λειτουργιών» (1797, 1813). Είπε, «Μπορεί να δει κανείς τη μηχανική ως γεωμετρία των τεσσάρων διαστάσεων, και τη μηχανική ανάλυση ως προέκταση της γεωμετρικής ανάλυσης».

Μετά την ανακάλυψη των τετραδονίων, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (William Rowan Hamilton) σχολίασε: «Λέγεται ότι ο χρόνος έχει μία μόνο διάσταση και ο χώρος τρεις διαστάσεις... Το μαθηματικό τετραδόνιο μετέχει και στα δύο αυτά στοιχεία· σε τεχνική γλώσσα μπορεί να διατυπωθεί η οντότητα του «χρόνου συν τον χώρο», ή «του χώρου συν τον χρόνο»· υπό αυτή την έννοια το τετραδόνιο έχει, ή τουλάχιστο συνδέεται αναφορικά με, τέσσερις διαστάσεις. Και πώς η μία του χρόνου και του χώρου οι τρεις μπορεί να χάνονται στην αλυσίδα των συμβόλων..». Τα διτετραδόνια του Χάμιλτον, που έχουν αλγεβρικές ιδιότητες που επαρκούν για το μοντέλο χωροχρόνου και τη συμμετρία του, ήταν σε παρουσία για περισσότερο από μισό αιώνα πριν από τη σχετικότητα. Ο Ουίλιαμ Κίνγκτον Κλίφορντ (William Kingdon Clifford), για παράδειγμα, σημείωσε τη σημασία τους.

Άλλος ένας σημαντικός πρόδρομος στην έννοια του χωροχρόνου ήταν η δουλειά του Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ που χρησιμοποίησε μερικές διαφορικές εξισώσεις για την ανάπτυξη της ηλεκτροδυναμικής με τέσσερις παραμέτρους. Ο Λόρεντζ ανακάλυψε κάποια αναλλοίωτα στις εξισώσεις Μάξγουελ στα τέλη του 19ου αιώνα, τα οποία επρόκειτο να γίνουν η βάση της της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν. Επίσης ως πρόδρομος ενεπλάκησαν συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας. Ανέκαθεν ο χώρος και ο χρόνος μετρούνταν με τη χρήση πραγματικών αριθμών, και η πρόταση ότι οι διαστάσεις του χώρου και του χρόνου είναι συγκρίσιμες μπορούσε να είχε οικοδομηθεί από τους πρώτους που τυποποίησαν τη φυσική, όμως τελικά οι αντιθέσεις μεταξύ των νόμων του Μάξγουελ και της σχετικότητας του Γαλιλαίου έπρεπε να συνειδητοποιηθούν ταυτόχρονα με την εισαγωγή του πεπερασμένου της ταχύτητας του φωτός.

Ενώ ο χωροχρόνος μπορεί να θεωρηθεί ως συνέπεια της τη θεωρίας της ειδικής σχετικότητας του Αϊνστάιν το 1905, για πρώτη φορά ρητά προτάθηκε μαθηματικά από έναν από τους δασκάλους του, τον μαθηματικό Χέρμαν Μινκόβσκι, σε ένα δοκίμιο του 1908 που θεμελιωνόταν αλλά και επέκτεινε το έργο του Αϊνστάιν. Η σύλληψη του χώρου Μινκόβσκι είναι η πρώτη θεώρηση του χώρου και του χρόνου ως δύο πτυχές ενός ενιαίου συνόλου, η ουσία της ειδικής σχετικότητας. Το 1926 η δέκατη τρίτη έκδοση της Εγκυκλοπαίδεια Μπριτάνικα περιλάμβανε ένα άρθρο από τον Αϊνστάιν με τίτλο «Space-Time». Η ιδέα του χώρου Μινκόβσκι οδήγησε σε μια πιο γεωμετρική οπτική της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

Ωστόσο, η σημαντικότερη συμβολή της γεωμετρικής οπτικής Μινκόβσκι για τον χωροχρόνο αποδείχθηκε πως ήταν στην μετέπειτα εξέλιξη της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν, καθώς η σωστή περιγραφή του φαινομένου της βαρύτητας στον χώρο και τον χρόνο αποδιδόταν καλύτερα ως δίνη ή «τέντωμα» πάνω στον «γεωμετρικό ιστό» του χώρου και του χρόνου, που άλλαζε ομαλά και με συνέχεια από σημείο σε σημείο του χωροχρονικού υφαντού.

Βασικές έννοιες

Οι χωροχρόνοι είναι οι αρένες όπου όλα τα φυσικά γεγονότα λαμβάνουν χώρο, ένα γεγονός είναι ένα σημείο στο χωροχρόνο που καθορίζεται από το χρόνο και τον τόπο. Για παράδειγμα, η κίνηση των πλανητών γύρω από τον ήλιο μπορεί να περιγραφεί σε ένα συγκεκριμένο τύπο του χωροχρόνου, ή η κίνηση του φωτός γύρω από ένα περιστρεφόμενο αστέρι μπορεί να περιγραφεί σε ένα άλλο είδος του χωροχρόνου. Τα βασικά στοιχεία του χωροχρόνου είναι γεγονότα. Σε κάθε δεδομένο χωροχρόνο, ένα γεγονός είναι μια μοναδική θέση σε μια μοναδική στιγμή. Επειδή τα γεγονότα είναι χωροχρονικά σημεία, ένα παράδειγμα ενός γεγονότος στην κλασσική σχετικιστική φυσική είναι $(x,y,z,t)$, η θέση ενός στοιχειώδους (σημείο) σωματιδίων σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Ο χωροχρόνος μπορεί να θεωρηθεί ως η ένωση όλων των γεγονότων με τον ίδιο τρόπο που μια γραμμή είναι η ένωση όλων των σημείων του, που είναι τυπικά οργανωμένα σε μία πολλαπλή, ως ένας χώρος που μπορεί να περιγραφεί σε μικρές κλίμακες με χρήση συστημάτων συντεταγμένων.

Ένας χωροχρόνος είναι ανεξάρτητος από κάθε παρατηρητή. Ωστόσο, περιγράφοντας τα φυσικά φαινόμενα (που συμβαίνουν σε ορισμένες στιγμές του χρόνου σε μια δεδομένη περιοχή του διαστήματος), κάθε παρατηρητής επιλέγει ένα κατάλληλο μετρητικό σύστημα συντεταγμένων. Τα γεγονότα καθορίζονται από τέσσερις πραγματικούς αριθμούς σε κάθε τέτοιο σύστημα συντεταγμένων. Οι τροχιές των στοιχειωδών (σημείων) σωματιδίων μέσα στο χώρο και το χρόνο είναι μια συνέχεια των γεγονότων που ονομάζεται γραμμή κόσμου του σωματιδίου. Επεκταμένα ή σύνθετα αντικείμενα (αποτελούνται από πολλά στοιχειώδη σωματίδια) είναι η ένωση πολλών γραμμών κόσμου πλεγμένων μεταξύ τους λόγω των αλληλεπιδράσεών τους μέσα στον χωροχρόνο σε μία «κόσμο-πλεξούδα».

Ωστόσο, στη φυσική, είναι σύνηθες να συμπεριφερόμαστε σε ένα εκτεταμένο αντικείμενο ως ένα «σωματίδιο» ή «πεδίο» με τη δική του μοναδική θέση (π.χ. κέντρο μάζας) σε κάθε δεδομένη στιγμή, έτσι ώστε η γραμμή κόσμου ενός σωματιδίου ή δέσμη φωτός είναι ο δρόμος που το σωματίδιο ή δέσμη παίρνει στο χωροχρόνο και αντιπροσωπεύει την ιστορία του σωματιδίου ή δέσμης. Η γραμμή κόσμου της τροχιάς της Γης (σε μια τέτοια περιγραφή) απεικονίζεται σε δύο χωρικές διαστάσεις x και y (το επίπεδο της τροχιάς της Γης) και χρονική διάσταση κάθετη προς x και y. Η τροχιά της Γης είναι μια έλλειψη στο χώρο και μόνο, αλλά η γραμμή κόσμου του είναι μια έλικα στο χωροχρόνο.

Η ενοποίηση του χώρου και του χρόνου εξηγείται από την κοινή πρακτική της επιλογής ενός μετρικού (το μέτρο που καθορίζει το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων στο χωροχρόνο) έτσι ώστε και οι τέσσερις διαστάσεις μετρούνται σε μονάδες της απόστασης: Αναπαριστώντας ένα γεγονός ως $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,x,y,z)$ (σε μετρήσεις Lorentz) ή $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x,y,z,ict)$ (στις αρχικές μετρήσεις Minkowski) όπου $c$ είναι η ταχύτητα του φωτός. Οι μετρικές περιγραφές Χώρος του Minkowski και διαστήματα χώρου, φωτός, χρόνου δίνονται παρακάτω ακολουθήσετε αυτή τη σύμβαση, όπως και τα συμβατικά σκευάσματα του μετασχηματισμού Lorentz.

Χωροχρονικά διαστήματα

Σε έναν Ευκλείδειο χώρο, ο διαχωρισμός μεταξύ δύο σημείων μετράται από την απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. Η απόσταση είναι καθαρά χωρική, και είναι πάντα θετική. Στο χωροχρόνο, ο διαχωρισμός μεταξύ δύο γεγονότων μετράται από το αμετάβλητο διάστημα μεταξύ των δύο γεγονότων, τα οποία λαμβάνουν υπόψη όχι μόνο το χωρικό διαχωρισμό μεταξύ των γεγονότων, αλλά και το χρονικό χωρισμό τους. Το διάστημα, s², μεταξύ των δύο γεγονότων ορίζεται ως εξής:

$s^{2}=\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}\,$   (spacetime interval),

όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός και Δr και Δt υποδηλώνουν διαφορές των συντεταγμένων του χώρου και του χρόνου, αντίστοιχα, μεταξύ των γεγονότων. (Σημειώστε ότι η επιλογή των $s^{2}$ σημείων για τα παραπάνω ακολουθείται ο η σύμβαση του χρόνου (-. + + +) Άλλες χρήσεις αντιστρέφουν τα σημάδια $s^{2}$.)

Ορισμένοι τύποι των γραμμών κόσμου (που ονομάζονται γεωδαιτικές του χωροχρόνου) είναι τα συντομότερα μονοπάτια μεταξύ δύο γεγονότων, με την απόσταση που ορίζεται από την άποψη χωροχρονικών διαστημάτων. Η έννοια της γεωδαιτική γίνεται κρίσιμη στη γενική σχετικότητα, καθώς η γεωδαιτική κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως «καθαρή κίνηση» (αδρανειακή κίνηση) μέσα στον χωροχρόνο, δηλαδή, απαλλαγμένο από κάθε εξωτερική επιρροή.

ΤΑ χωροχρονικά διαστήματα μπορούν να ταξινομηθούν σε τρεις διαφορετικούς τύπους, με βάση είτε το χρονικό διαχωρισμό ($c^{2}\Delta t^{2}$) ή το διαχωρισμό του χώρου ($\Delta r^{2}$) αναλόγως ποιο γεγονός είναι μεγαλύτερο.

Χρονικά διαστήματα

${\begin{aligned}\\c^{2}\Delta t^{2}&>\Delta r^{2}\\s^{2}&<0\\\end{aligned}}$

Για δύο γεγονότα που χωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα, περνά αρκετός χρόνος μεταξύ τους, για να υπάρξει μια σχέση αιτίας-αποτελέσματος μεταξύ των δύο γεγονότων. Για ένα σωματίδιο που ταξιδεύει μέσα στο χώρο με μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός, οποιαδήποτε δύο γεγονότα που συμβαίνουν σε ή από το σωματίδιο θα πρέπει να διαχωρίζονται από ένα χρονικό διάστημα. Ζεύγη με χρονικό διαχωρισμό ορίζουν ένα αρνητικό τετράγωνο χωροχρονικού διαστήματος ($s^{2}<0$) και μπορεί το ένα να συμβεί στο παρελθόν η το μέλλον του άλλου. Υπάρχει ένα πλαίσιο αναφοράς έτσι ώστε τα δύο γεγονότα που παρατηρήθηκαν να συμβούν στην ίδια χωρική θέση, αλλά δεν υπάρχει πλαίσιο αναφοράς στο οποίο τα δύο γεγονότα μπορεί να συμβούν ταυτόχρονα.

Το μέτρο του χρονικού χωροχρονικού διαστήματος περιγράφεται από την κατάλληλη στιγμή, $\Delta \tau$:

$\Delta \tau ={\sqrt {\Delta t^{2}-{\frac {\Delta r^{2}}{c^{2}}}}}$   (proper time).

Το σωστό χρονικό διάστημα θα μπορούσε να μετρηθεί από έναν παρατηρητή με ένα ρολόι που ταξιδεύει μεταξύ των δύο γεγονότων σε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς, όταν η πορεία του παρατηρητή τέμνει κάθε περίπτωση,όταν συμβαίνει το γεγονός αυτό. (Η κατάλληλη στιγμή καθορίζει έναν πραγματικό αριθμό, δεδομένου ότι το εσωτερικό της τετραγωνικής ρίζας είναι θετική.)

Διαστήματα φωτός

${\begin{aligned}c^{2}\Delta t^{2}&=\Delta r^{2}\\s^{2}&=0\\\end{aligned}}$

Σε ένα διάστημα φωτός η χωρική απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων είναι ακριβώς ισορροπημένη με βάση το χρονικό διάστημα μεταξύ των δύο γεγονότων. Τα γεγονότα καθορίζουν ένα τετραγωνικό χωροχρονικό διάστημα μηδενικού ($s^{2}=0$). Τα διαστήματα φωτός είναι επίσης γνωστά ως «μηδενικά» διαστήματα.

Τα γεγονότα που συμβαίνουν ή ξεκινούν από ένα φωτόνιο κατά μήκος της διαδρομής του (δηλαδή, ενώ ταξιδεύει σε $c$, ταχύτητα του φωτός), όλα έχουν διαχωρισμό φωτός. Λαμβάνοντας υπόψη ένα γεγονός, όλα αυτά τα γεγονότα που ακολουθούν στο διάστημα φωτός καθορίζουν τη διάδοση του σε κώνο φωτός, καθώς και όλα τα γεγονότα που προηγήθηκαν από ένα διάστημα φωτός ορίζουν ένα δεύτερο (γραφικά ανεστραμμένο, η οποία είναι «pastward») κώνο φωτός.

Χωρικά διαστήματα

${\begin{aligned}\\c^{2}\Delta t^{2}&<\Delta r^{2}\\s^{2}&>0\\\end{aligned}}$

Όταν ένας χώρος σαν διάστημα χωρίζει δύο γεγονότα, δεν περνά αρκετός χρόνος μεταξύ των περιστατικών τους για να υπάρχει μια αιτιώδης σχέση που να διασχίζει τη χωρική απόσταση μεταξύ των δύο γεγονότων κατά την ταχύτητα του φωτός ή και πιο αργά. Σε γενικές γραμμές, τα γεγονότα του ενός δεν συμβαίνουν στο μέλλον ή το παρελθόν του άλλου. Υπάρχει ένα πλαίσιο αναφοράς έτσι ώστε τα δύο γεγονότα που παρατηρήθηκαν να συμβούν κατά την ίδια στιγμή, αλλά δεν υπάρχει πλαίσιο αναφοράς στο οποίο τα δύο γεγονότα να μπορούν να συμβούν στην ίδια χωρική θέση.

Γι αυτά τα χωρικά ζεύγη εκδήλωση με θετικό τετράγωνο χωροχρονικού διαστήματος($s^{2}>0$), η μέτρηση του χωρικού χωρισμού είναι η κατάλληλη απόσταση $\Delta \sigma$:

$\Delta \sigma ={\sqrt {s^{2}}}={\sqrt {\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}$   (κατάλληλη απόσταση).

Όπως και η κατάλληλη στιγμή του χρονικού διαστήματος, έτσι και η κατάλληλη στιγμή του χωρικού χωροχρονικού διαστήματος, είναι πραγματικός αριθμός.

Μαθηματικά των χωροχρόνων

Για φυσικούς λόγους, ένα χωροχρονικό συνεχές μαθηματικά ορίζεται ως μια τεσσάρων διαστάσεων, ομαλή, συνδεδεμένη πολλαπλή του Lorentzian$(M,g)$. Αυτό σημαίνει ότι η ομαλή μονάδα μέτρησης Lorentz $g$ έχει υπογραφή $(3,1)$. Η μονάδα μέτρησης καθορίζει τη γεωμετρία του χωροχρόνου, καθώς και τον προσδιορισμό της γεωδαιτικής των σωματιδίων και των δεσμών φωτός. Σχετικά κάθε σημείο (γεγονός) σε αυτή την πολλαπλή, διαγράμματα συντεταγμένων χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν παρατηρητές σε πλαίσια αναφοράς. Συνήθως, οι καρτεσιανές συντεταγμένες $(x,y,z,t)$ χρησιμοποιούνται. Επιπλέον, για λόγους απλούστευσης, η ταχύτητα του φωτός $c$συνήθως θεωρείται ότι είναι η ενότητα.

Ένα πλαίσιο αναφοράς (παρατηρητής) μπορεί να ταυτιστεί με ένα από αυτά τα διαγράμματα συντεταγμένων, Έναν παρατηρητή μπορεί να περιγράψει κάθε είδους εκδήλωση $p$. Ένα άλλο πλαίσιο αναφοράς μπορεί να προσδιοριστεί από ένα δεύτερο διάγραμμα συντεταγμένων για $p$. Δύο παρατηρητές (έναw σε κάθε πλαίσιο αναφοράς) μπορούν να περιγράψουν το ίδιο γεγονός $p$ αλλά να λαμβάνουν διαφορετικές περιγραφές.

Συνήθως, πολλά διαγράμματα επικάλυψης συντεταγμένων απαιτούνται για την κάλυψη μίας πολλαπλής. Δεδομένων δύο διαγράμματα συντεταγμένων, το ένα περιέχει $p$ (αντιπροσωπεύει παρατηρητή) και το άλλο περιέχει$q$(που εκπροσωπεί άλλο παρατηρητή), η τομή των διαγραμμάτων αντιπροσωπεύει την περιοχή του χωροχρόνου στον οποίο και οι δύο παρατηρητές μπορούν να μετρήσουν φυσικές ποσότητες και ως εκ τούτου να συγκρίνουν τα αποτελέσματα. Η σχέση μεταξύ των δύο σειρές μετρήσεων δίνεται από ένα μη ενικό μετασχηματισμό συντεταγμένων σε αυτό το σημείο τομής. Η ιδέα των συντεταγμένων διαγραμμάτων ως τοπικούς παρατηρητές οποίοι μπορούν να εκτελέσουν μετρήσεις στην περιοχή τους κάνει επίσης καλή φυσική αίσθηση, καθώς αυτό είναι το πώς κάποιος συλλέγει πραγματικά φυσικά στοιχεία-σε τοπικό επίπεδο.

Για παράδειγμα, δύο παρατηρητές, ένας εκ των οποίων είναι στη Γη, αλλά ο άλλος που είναι σε ένα γρήγορο πύραυλο στον Δία, μπορεί να παρατηρήσει έναν κομήτη συντρίβεται στον Δία ( αυτό είναι το γεγονός $p$). Σε γενικές γραμμές, θα διαφωνούν για την ακριβή θέση και το χρονοδιάγραμμα αυτής της σύγκρουσης, δηλαδή, θα έχουν διαφορετικές 4-πλειάδες$(x,y,z,t)$ (δεδομένου ότι χρησιμοποιούν διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων). Αν και οι κινηματικές τους περιγραφές θα διαφέρουν, δυναμικοί (φυσικοί) νόμοι, όπως η διατήρηση της ορμής και ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής, θα εξακολουθούν να ισχύουν. Στην πραγματικότητα, η θεωρία της σχετικότητας απαιτεί κάτι περισσότερο από αυτό, υπό την έννοια ότι προβλέπει αυτούς (και όλους τους άλλους φυσικούς) νόμους να λαμβάνουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων. Αυτό εισάγει τανυστές στην σχετικότητα, με την οποία εκπροσωπούνται όλες οι φυσικές ποσότητες.

οι Γεωδαιτικές λέγεται ότι είναι χρoνικές, μηδενικές, ή χωρικές αν το εφαπτόμενο διάνυσμα σε ένα σημείο της γεωδαιτικής είναι αυτής της φύσης Τα Μονοπάτια των σωματιδίων και των δεσμών φωτός στον χωροχρόνο αντιπροσωπεύονται από τις χρονικές και μηδενικές (του φωτός) γεωδαιτικές, αντίστοιχα..

Τοπολογία

Οι παραδοχές που περιλαμβάνονται στον ορισμό του χωροχρόνου συνήθως αιτιολογούνται από τις ακόλουθες σκέψεις.

Η συνεκτική παραδοχή εξυπηρετεί δύο βασικούς σκοπούς. Πρώτον, διαφορετικοί παρατηρητές που κάνουν μετρήσεις (αναπαριστάμενοι από συντεταγμένες διαγραμμάτων) θα πρέπει να είναι σε θέση να συγκρίνουν τις παρατηρήσεις τους σχετικά με τη μη κενή τομή των διαγραμμάτων. Αν η συνεκτική παραδοχή αφαιρεθεί,, αυτό δεν θα ήταν δυνατό. Δεύτερον, για μια πολλαπλή, οι ιδιότητες της σύνδεσης και της συνεκτικότητας της διαδρομής είναι ισοδύναμες, και το ένα απαιτεί την ύπαρξη των διαδρομών (ιδίως, γεωδαισιακής) στο χωροχρόνο να εκπροσωπεί την κίνηση των σωματιδίων και της ακτινοβολίας.

Κάθε χωροχρόνος είναι paracompact. Αυτή η ιδιότητα, συμμαχώντας με την ομαλότητα του χωροχρόνου, δημιουργεί μία λεία [[Σύνδεση [(κύρια δέσμη)|γραμμική σύνδεση]], μια σημαντική δομή στη γενική σχετικότητα. Μερικά σημαντικά θεωρήματα για την κατασκευή χωροχρόνων από συμπαγή και μη-συμπαγή πολλαπλές περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• Μια συμπαγής πολλαπλή μπορεί να μετατραπεί σε ένα χωροχρόνο, αν, και μόνο αν, το χαρακτηριστικό του Euler είναι 0. (η ιδέα απόδειξης:. Η ύπαρξη του μέτρου Lorentz φαίνεται να είναι ισοδύναμο με την ύπαρξη ενός μη εξαφανισμένου διανυσματικού πεδίου)
• Οποιαδήποτε μη-συμπαγή 4-πολλαπλή μπορεί να μετατραπεί σε ένα χωροχρόνο.

Χωροχρονικές συμμετρίες

Συχνά στη σχετικότητα, μελετώνται χωροχρόνοι που έχουν κάποια μορφή συμμετρίας. Καθώς επίσης και βοηθούν να χαρακτηριστουν οι χωροχρόνοι, αυτές οι συμμετρίες συνήθως χρησιμεύουν ως απλουστευτική παραδοχή σε εξειδικευμένες εργασίες. Μερικές από τις πιο δημοφιλείς περιλαμβάνουν:

• Αξονοσυμμετρικοί χωροχρόνοι
• Σφαιρικά συμμετρικοί χωροχρόνοι
• Στατικοί χωροχρόνοι
• Σταθεροί χωροχρόνοι

Δομή αιτιών

Η αιτιώδης δομή ενός χωροχρόνου περιγράφει αιτιώδεις σχέσεις μεταξύ των ζευγαριών των σημείων του χωροχρόνου με βάση την ύπαρξη ορισμένων τύπων καμπύλων που ενώνουν τα σημεία.

Ο χωροχρόνος της ειδικής σχετικότητας

Η γεωμετρία του χωροχρόνου σε ειδική σχετικότητα περιγράφεται από την μονάδα μέτρησης Μινκόφσκι για R⁴. Αυτός ο χωροχρόνος ονομάζεται χώρος Μινκόφσκι. Η μονάδα μέτρησης Μινκόφσκι συνήθως συμβολίζεται$\eta$ και μπορεί να γραφεί ως τέσσερα επί τέσσερα-πλέγμα.

$\eta _{ab}\,=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)$

όπου το Landau-Lifshitz χώρου σύμβασης χρησιμοποιείται. Μια βασική παραδοχή της σχετικότητας είναι ότι οι μετασχηματισμοί των συντεταγμένων πρέπει να αφήνουν τα χωροχρονικά διαστήματα αμετάβλητα. Τα διαστήματα είναι αμετάβλητα στους μετασχηματισμούς Lorentz. Αυτή η ιδιότητα αναλλοίωτου οδηγεί στη χρήση του τεσσάρων-φορέα (και άλλους τανυστές) στην περιγραφή της φυσικής.

Για να κυριολεκτήσουμε, μπορεί κανείς να εξετάσει επίσης τα γεγονότα στην νευτώνεια φυσική ως έναν απλό χωροχρόνο. Αυτό είναι Γαλιλαίου-Νευτώνεια σχετικότητας, καθώς και τα συστήματα των συντεταγμένων σχετίζονται με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Ωστόσο, δεδομένου ότι αυτά διατηρούν χωρικές και χρονικές αποστάσεις ανεξάρτητα, ένας τέτοιος χωροχρόνος μπορεί να αναλυθεί σε χωρικές συντεταγμένες συν χρονικές συντεταγμένες, το οποίο δεν είναι δυνατό στη γενική περίπτωση.

Ο χωροχρόνος της γενικής σχετικότητας

Στη γενική σχετικότητα θεωρείται ότι ο χωροχρόνος καμπυλώνεται από την παρουσία της ύλης (ενέργεια), την καμπυλότητα που εκπροσωπείται από τον τανυστή του Riemann. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, ο τανυστής Riemann είναι ταυτόσημα μηδέν, και έτσι αυτή η έννοια της «μη-curvedness» εκφράζεται μερικές φορές από τη δήλωση ότι ο χωροχρόνος Μονκόφσκι είναι επίπεδος.

Οι παλαιότερες συζητημένες έννοιες των χρόνου, του χώρου και του φωτός διαστημάτων στην ειδική θεωρία της σχετικότητας μπορούν ομοίως να χρησιμοποιηθούν για την ταξινόμηση μονοδιάστατων καμπυλών μέσω κυρτού χωροχρόνου. Ένας χρόνος τύπου καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί ως ένα όπου το διάστημα μεταξύ δύο απειροελάχιστα κοντά γεγονότα στην καμπύλη είναι χρονοειδείς, και το ίδιο και για το φως, - και τις χωρικές καμπύλες. Τεχνικά και τα τρία είδη των καμπυλών καθορίζονται συνήθως όσον αφορά το κατά πόσον το εφαπτόμενο διάνυσμα σε κάθε σημείο της καμπύλης είναι ο χρόνοςτύπου, φωτός-, ή χώρουτύπου. Η γραμμή κόσμου από ένα πιο αργό από το φως αντικείμενο θα είναι πάντα μια χρονοειδής καμπύλη, ο γραμμικός κόσμος του χωρίς μάζα σωματιδίου όπως ένα φωτόνιο θα είναι μια φωτοειδής τύπου καμπύλη, και μία χώροειδής τύπου καμπύλη θα μπορούσε να είναι η γραμμή κόσμου ενός υποθετικού ταχυονίου. Στην γειτονιά του οποιουδήποτε γεγονότος, χρονοειδείς καμπύλες που περνούν μέσα από συμβάν θα παραμείνουν μέσα σε αυτού του γεγονότος το παρελθόν και το μέλλον κώνοι φωτός, οι φωτοειδείς -καμπύλες που περνούν μέσα στο συμβάν θα είναι στην επιφάνεια των κώνων φωτός, -χωροειδείς καμπύλες που περνούν μέσα στο συμβάν θα είναι έξω από τους κώνους φωτός. Κάποιος μπορεί επίσης να καθορίσει την έννοια των 3-διαστάσεων «χωροειδής υπερεπιφάνεια», μια συνεχής 3-διαστάσεων «φέτα», μέσω της 4-διαστάσεων μέρος την ιδιότητα ότι κάθε καμπύλη που περιέχεται εξ ολοκλήρου σε αυτή την υπερεπιφάνεια είναι ένας χώρος τύπου καμπύλη.

Πολλοί χωροχρόνος συνεχή έχουν φυσικές ερμηνείες που οι περισσότεροι φυσικοί θα θεωρούσαν παράξενο ή ανησυχητικό. Για παράδειγμα, ένας συμπαγής χωροχρόνος έχει κλειστές χρονικές καμπύλες, οι οποίες παραβιάζουν τις συνήθεις ιδέες μας της αιτιότητας (δηλαδή, μελλοντικά γεγονότα θα μπορούσαν να επηρεάσουν το παρελθόν). Για το λόγο αυτό, η μαθηματικοί φυσικοί θεωρούσαν συνήθως μόνο περιορισμένα υποσύνολα όλων των πιθανών χωροχρόνων. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να μελετήσουμε «ρεαλιστικές» λύσεις των εξισώσεων της γενικής σχετικότητας. Ένας άλλος τρόπος είναι να προσθέσουμε κάποια επιπλέον «φυσική λογική», αλλά εξακολουθεί να είναι σχετικά γενικής φύσεως γεωμετρικούς περιορισμούς και να προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ενδιαφέροντα πράγματα για τους απορρέους χωροχρόνους. Η δεύτερη προσέγγιση έχει οδηγήσει σε κάποια σημαντικά αποτελέσματα, κυρίως η Penrose Hawking μοναδικότητα θεωρημάτων.

Κβαντισμένος χωροχρόνος

Στη γενική σχετικότητα, ο χωρόχρονος είναι υποτίθεται ομαλός και συνεχής και όχι μόνο με τη μαθηματική έννοια. Στη θεωρία της κβαντομηχανικής, υπάρχει μια εγγενής παρούσα διακριτικότητα στη φυσική. Σε μια προσπάθεια να συμφιλιώσει τις δύο αυτές θεωρίες, μερικές φορές είναι δεδομένο ότι ο χωροχρόνος θα πρέπει να κβαντωθεί στις πολύ μικρότερες κλίμακες. Σύγχρονη θεωρία επικεντρώνεται στη φύση του χωροχρόνου στη κλίμακα Planck. Αιτιώδης σετ, βαρύτητα κβαντικών βρόχων, θεωρία χορδών και μαύρη τρύπα θερμοδυναμικής όλες προβλέπουν ένα κβαντισμένο χωροχρόνο με τη συμφωνία της τάξεως του μεγέθους. Η βαρύτητα κβαντικών βρόχων κάνει ακριβείς προβλέψεις για τη γεωμετρία του χωροχρόνου στην κλίμακα Planck.

Προνομιακός χαρακτήρας του 3 +1 χωροχρόνου

Υπάρχουν δύο είδη διαστάσεων, το χωροταξικό (διπλής κατεύθυνσης) και το χρόνο (μονής κατεύθυνσης). Έστω ότι ο αριθμός των χωρικών διαστάσεων είναι Β και ο αριθμός χρονικών διαστάσεων είναι Τ. To Ν = 3 και T = 1, υπόψη τις περιέχουσες συμπαγοποιημένες διαστάσεις που επικαλείται η θεωρία χορδών μη ανιχνεύσιμο μέχρι σήμερα, μπορεί να εξηγηθεί με μια έκκληση προς τις φυσικές συνέπειες του να αφήσει N '«να διαφέρει από 3 και Τ να διαφέρει από το 1. Το επιχείρημα είναι συχνά ενός ανθρωπικού χαρακτήρα.

Η έμμεση αντίληψη ότι η διάσταση του σύμπαντος είναι ειδική για πρώτη φορά δόθηκε στον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ο οποίος στο Λόγος περί Μεταφυσικής πρότεινε ότι ο κόσμος είναι «εκείνο το οποίο είναι ταυτόχρονα το πιο απλό στην υπόθεση και το πιο πλούσιο σε φαινόμενα».. Ο Ιμμάνουελ Καντ υποστήριξε ότι ο 3-διαστάσεων χώρος ήταν συνέπεια του αντιστρόφου τετραγώνου νόμος της παγκόσμιας έλξης. Αν και το επιχείρημα του Καντ είναι ιστορικά σημαντικό, ο John D. Barrow λέει ότι «... παίρνει το ζουμί πίσω προς τα εμπρός: είναι η τριών διαστάσεων του χώρου που εξηγεί γιατί βλέπουμε αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου νόμους να ισχύουν στη Φύση και όχι το αντίστροφο. "(Barrow 2002: 204). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο νόμος της βαρύτητας (ή οποιοσδήποτε άλλος νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου) προκύπτει από την έννοια της ροής και της ανάλογης σχέσης πυκνότητας ροής και την ισχύ του πεδίου. Εάν Ν = 3, τότε 3-διαστάσεων στερεά αντικείμενα έχουν εμβαδά επιφάνειας ανάλογη προς το τετράγωνο του μεγέθους τους σε οποιαδήποτε επιλεγμένη χωρική διάσταση. Συγκεκριμένα, μια σφαίρα ακτίνα r έχει έκταση 4πr ². Γενικότερα, σε ένα χώρο διαστάσεων Ν, η δύναμη της βαρυτικής έλξης μεταξύ δύο σωμάτων που χωρίζονται από μια απόσταση r θα είναι αντιστρόφως ανάλογη ως προς r^N−1.

Το 1920, ο Πάουλ Έρενφεστ έδειξε ότι αν ορίσουμε T = 1 και Έστω Ν> 3, η τροχιά ενός πλανήτη σχετικά με τον ήλιο του δεν μπορεί να παραμείνει σταθερή. Το ίδιο ισχύει για την τροχιά ενός αστεριού γύρω από το κέντρο του γαλαξία του. Ο Έρενφεστ έδειξε επίσης ότι αν το N είναι ίσο, τότε τα διάφορα τμήματα ενός κυματικού παλμού θα ταξιδέψουν σε διαφορετικές ταχύτητες. Αν Ν> 3, τότε ο κυματικός παλμός παραμορφώνεται. Μόνο αν το "Ν"=3 ή 1 αποφεύγονται και τα δύο προβλήματα. Το 1922, ο Χέρμαν Βέιλ έδειξε ότι η θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού του Μάξγουελ λειτουργεί μόνο όταν το Ν = 3 και T = 1, γράφοντας ότι το γεγονός αυτό "... δεν οδηγεί μόνο σε μια βαθύτερη κατανόηση της θεωρίας του Maxwell, αλλά και το γεγονός ότι ο κόσμος είναι τεσσάρων διαστάσεων, η οποία μέχρι τώρα,ήταν πάντοτε δεκτή ως απλώς« τυχαία », να γίνει κατανοητή μέσα από αυτό. Τελικά ο Tangherlini έδειξε το 1963 ότι όταν N> 3, η ηλεκτρονιακές τροχιές γύρω από πυρήνες δεν μπορούν να είναι σταθερές. Τα ηλεκτρόνια είτε θα πέσουν στον πυρήνα ή θα διαλυθούν.

Ιδιότητες of n+m-dimensional spacetimes

Ο Max Tegmark διευρύνει την προηγούμενη επιχειρηματολογία στον ακόλουθο ανθρωπικό τρόπο. Αν το Τ διαφέρει από 1, η συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων δεν μπορούσε να προβλεφθεί με αξιοπιστία από τη γνώση των σχετικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Σε ένα τέτοιο σύμπαν, ευφυής ζωή ικανό να χειρίζεται την τεχνολογία δεν θα μπορούσε να προκύψει. Επιπλέον, αν Τ> 1, Ο Tegmark υποστηρίζει ότι τα πρωτόνια και ηλεκτρόνια θα είναι ασταθή και θα μπορούσαν να διασπαστούν σε σωματίδια με μεγαλύτερη μάζα από ό, τι τον εαυτό τους. (Αυτό δεν είναι ένα πρόβλημα, αν τα σωματίδια έχουν μια αρκετά χαμηλή θερμοκρασία.) Αν το Ν> 3, το επιχείρημα του Έρενφεστ πάνω κατέχει. τα άτομα όπως τα ξέρουμε (και ίσως πιο σύνθετες δομές) δεν θα μπορούσαν να υπάρξουν. Αν το N <3, η βαρύτητα κάθε είδους γίνεται προβληματική, και το σύμπαν είναι πιθανώς πάρα πολύ απλό για να περιλαμβάνει παρατηρητές. Για παράδειγμα, όταν Ν <3, τα νεύρα δεν μπορούν να διασχίσουν χωρίς να διασταυρώνονται.

Σε γενικές γραμμές, δεν είναι σαφές το πώς κάποιος φυσικός νόμος θα μπορούσε να λειτουργήσει αν το Τ διέφερε από 1. Αν το Τ> 1, υποατομικά σωματίδια τα οποία φθείρονται μετά από μια ορισμένη περίοδο δεν θα συμπεριφέρονται προβλέψιμα, επειδή ο χρονοειδής γεωδαιτικός δεν θα είναι κατ 'ανάγκην η μέγιστος. N = 1 και Τ = 3, έχει την παράξενη ιδιότητα ότι η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι ένα κάτω φράγμα για την ταχύτητα της ύλης. Όλη η ύλη αποτελείται από ταχυόνια. Εντούτοις, η υπογραφή (1,3) και (3,1) είναι πρακτικά ισοδύναμες. Το να καλούμε χρονικά διανύσματα με θετικό «μήκος» Minkowski είναι απλά μια σύμβαση που εξαρτάται από τη σύμβαση για την ένδειξη του μετρικού τανυστή. Πράγματι, οι φυσικοί σωματιδίων τείνουν να χρησιμοποιούν μια μονάδα μέτρησης με την υπογραφή (+ ---) που οδηγεί σε θετικό «μήκος» Minkowski για χρονικά διαστήματα και ενέργειας, ενώ οι χωρικοί διαχωρισμοί έχουν αρνητικό «μήκος» Minkowski. Σχετικιστές, ωστόσο, τείνουν να χρησιμοποιούν την αντίθετη σύμβαση (- + + +), έτσι ώστε οι χωρικοί διαχωρισμών έχουν θετικό μήκος Minkowski.

Ως εκ τούτου, ανθρωπικά και άλλα επιχειρήματα αποκλείουν όλες τις περιπτώσεις, εκτός από Ν = 3 και T = 1 (ή Ν = 1 και Τ = 3 σε διαφορετικές συμβάσεις) - που συμβαίνει να περιγράφουν τον κόσμο για μας. Περιέργως, οι υποθέσεις Ν = 3 ή 4 έχουν την πλουσιότερη και πιο δύσκολη γεωμετρία και τοπολογία. Υπάρχουν, για παράδειγμα, γεωμετρικές δηλώσεις των οποίων η αλήθεια ή το ψεύδος είναι γνωστή για όλα τα Ν, εκτός από 3 και 4.. Το N = 3 ήταν η τελευταία περίπτωση των εικασιών του Poincaré που αποδείχθηκε.

Για μια στοιχειώδη επεξεργασία του προνομιακού καθεστώτος του Ν = 3 και Τ = 1, βλ. κεφ.. 10 (ιδίως σχήμα. 10.12) του Barrow Για εμβάθυνση, βλ. § 4.8 του Barrow και Tipler (1986) και Tegmark. Ο Barrow έχει αναφέρει κατ 'επανάληψη το έργο του Whitrow.

Η θεωρία χορδών υποθέτει ότι η ύλη και η ενέργεια αποτελούνται από μικροσκοπικές παλλόμενες χορδές διαφόρων τύπων, οι περισσότερες εκ των οποίων είναι ενσωματωμένες σε διαστάσεις που υπάρχουν μόνο σε μια κλίμακα όχι μεγαλύτερη από το μήκος Planck. Ως εκ τούτου τα Ν = 3 και Τ = 1 δεν χαρακτηρίζουν τη θεωρία χορδών, η οποία ενσωματώνει δονούμενες χορδές σε δίκτυο συντεταγμένων που έχουν 10 ή ακόμα και 26 διαστάσεις.

Ο Αιτιώδης Δυναμικός Τριγωνισμός (CDT), θεωρία είναι μια ανεξάρτητη υποβάθρου θεωρία που ανάγει το παρατηρούμενο 3 +1 χωροχρόνο από ένα ελάχιστο σύνολο των υποθέσεων, και δεν χρειάζεται προσαρμοσμένους παράγοντες. Δεν υποθέτει καμία προϋπάρχουσα αρένα (τρισδιάστατο χώρο), αλλά αντίθετα προσπαθεί να δείξει πώς το χωροχρονικό ύφασμα το ίδιο εξελίσσεται. Δείχνει τον χωροχρόνο να είναι 2-διαστάσεων κοντά στην κλίμακα Planck, και αποκαλύπτει μια φράκταλ δομή με τις φέτες σταθερού χρόνου, αλλά ο χωροχρόνος γίνεται 3 +1- διαστάσεων στις κλίμακες σημαντικά μεγαλύτερη από ό, τι του Planck. Έτσι, το CDT μπορεί να γίνει η πρώτη θεωρία που δεν υποθέτει, αλλά πραγματικά εξηγεί παρατηρημμένο αριθμό των χωροχρονικών διαστάσεων.

Βιβλιογραφία

• The Big Bang (Universal theory).
• Barrow, John D.· Tipler, Frank J. (1988). The Anthropic Cosmological Principle. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-282147-8. LCCN 87028148. 
• Ehrenfest, Paul (1920). "How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions?" Annalen der Physik 366: 440.
• Ellis, George F.· Williams, Ruth M. (1992). Flat and curved space–times. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-851164-7. 
• Isenberg, J. A. (1981). «Wheeler–Einstein–Mach spacetimes». Phys. Rev. D 24 (2): 251–256. doi:10.1103/PhysRevD.24.251. Bibcode: 1981PhRvD..24..251I. 
• Kant, Immanuel (1929). "Thoughts on the true estimation of living forces" in J. Handyside, trans., Kant's Inaugural Dissertation and Early Writings on Space. Univ. of Chicago Press.
• Hendrik. A. Lorentz, Albert Einstein, Hermann Minkowski and Hermann Weyl (1952). The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs. Dover.
• Lucas, John Randolph (1973). A Treatise on Time and Space. London: Methuen.
• Penrose, Roger (2004). The Road to Reality (Chpts. 17–18). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-679-45443-8. 
• Poe, Edgar Allan (1848). Eureka; An Essay on the Material and Spiritual Universe. Hesperus Press Limited. ISBN 1-84391-009-8. 
• Robb, A. A. (1936). Geometry of Time and Space. University Press. 
• Schrödinger, Erwin (1950). Space–time structure. Cambridge Univ. Press.
• Schutz, J. W. (1997). Independent axioms for Minkowski Space–time. Addison-Wesley Longman. ISBN 0-582-31760-6. 
• Tangherlini, F. R. (1963). «Schwarzschild Field in n Dimensions and the Dimensionality of Space Problem». Nuovo Cimento 14 (27): 636. 
• E. F. Taylor· John A. Wheeler (1963). Spacetime Physics. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1. 
• Wells, H.G. (2004). The Time Machine. New York: Pocket Books. σελίδες 5–6. ISBN 0-671-57554-6. 
• DiSalle, Robert. «Space and Time: Inertial Frames». Stanford Encyclopedia of Philosophy.