Εξισώσεις Μάξγουελ

Για σχέσεις θερμοδυναμικής, βλέπε τις σχέσεις Μάξουελ. Για την ιστορία των εξισώσεων, βλέπε Ιστορία των εξισώσεων Μάξουελ

Οι εξισώσεις του Μάξουελ είναι ένα σύνολο των μερικών διαφορικών εξισώσεων που, σε συνδυασμό με το νόμο της δύναμης Λόρεντζ, αποτελούν τα θεμέλια της κλασικής ηλεκτροδυναμικής, της κλασικής οπτικής, και των ηλεκτρικών κυκλωμάτων.Τα πεδία αυτά με τη σειρά τους αποτελούν τη βάση των σύγχρονων ηλεκτρικών και των επικοινωνιακών τεχνολογιών. Οι εξισώσεις του Μάξουελ περιγράφουν πώς τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία δημιουργούνται και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους από τις γομώσεις και τα ρεύματα. Πήραν το όνομά τους από τον Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ, ο οποίος δημοσίευσε μια πρώιμη μορφή των εξισώσεων αυτών μεταξύ 1861 και 1862.

Οι εξισώσεις έχουν δύο σημαντικές παραλλαγές. Η "μικροσκοπική προσέγγιση" των εξισώσεων Μάξουελ χρησιμοποιεί ολικά φορτία και  ρεύματα, συμπεριλαμβανομένων των περίπλοκων φορτίων και ρευμάτων των υλικών σε ατομική κλίμακα. Έχει καθολική εφαρμογή, αλλά συνήθως είναι ανέφικτο να υπολογιστεί. Η «μακροσκοπική προσέγγιση»  των εξισώσεων Μάξουελ ορίζει δύο νέα βοηθητικά πεδία που περιγράφουν μεγάλης κλίμακας συμπεριφορές χωρίς να χρειάζεται να εξεταστούν αυτά τα στοιχεία ατομική κλίμακα, αλλά απαιτεί τη χρήση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες των σχετικών υλικών.

Ο όρος "εξισώσεις του Μάξγουελ" χρησιμοποιείται συχνά για άλλες μορφές των εξισώσεων Μάξουελ. Για παραδειγμα, οι διατυπώσεις χωροχρόνου χρησιμοποιούνται συνήθως σε υψηλή ενέργεια και της βαρυτική Φυσική. Αυτές οι διατυπώσεις ορίζονται στον χωροχρόνο καλύτερα από ότι στον χώρο και στον χρόνο χωριστά, είναι προδήλως συμβατές με την ειδική και την γενική σχετικότητα. Στην κβαντική μηχανική και αναλυτική μηχανική, οι εκδόσεις των εξισώσεων Μάξουελ με βάση τα ηλεκτρικά και μαγνητικά δυναμικά προτιμώνται.

Από τα μέσα του 20ου αιώνα, έχει γίνει κατανοητό ότι οι εξισώσεις του Μάξουελ δεν είναι ακριβείς νόμοι του σύμπαντος, αλλά είναι μια κλασική προσέγγιση με την πιο ακριβή και θεμελιώδη θεωρία της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής. Στις περισσότερες περιπτώσεις, όμως, η κβαντικές αποκλίσεις από τις εξισώσεις του Μάξουελ είναι αφάνταστα μικρές. Εξαιρέσεις συμβαίνουν όταν η σωματιδιακή φύση του φωτός είναι σημαντική ή για πολύ ισχυρά ηλεκτρικά πεδία.

Διατύπωση σε όρους ηλεκτρικών φορτίων

Για να περιγράψουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό σε αυτήν την διατύπωση, χρησιμοποιείται η ισχυρή γλώσσα του διανυσματικού λογισμού. Τα σύμβολα με τους έντονους χαρακτήρες αναπαριστούν διανυσματικές ποσότητες και τα σύμβολα με πλάγιους χαρακτήρες αναπαριστούν βαθμωτές ποσότητες ,εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.

Οι εξισώσεις εισάγουν το ηλεκτρικό πεδίο Ε, ένα διανυσματικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο Β, ένα αξονικό πεδίο , όπου το καθένα έχει γενικά χρονική εξάρτηση. Οι πηγές αυτών των πεδίων είναι ηλεκτρικά πεδία και ηλεκτρικά ρεύματα, που μπορούν να εκφραστούν ως τοπικές πυκνότητες και συγκεκριμένα πυκνότητα πεδίου ρ και πυκνότητα ρεύματος J. Ένας ξεχωριστός νόμος της φύσης, ο νόμος της δύναμης Lorentz, περιγράφει πως το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ενεργούν σε φορτισμένα σωματίδια και ρεύματα. Μια εκδοχή του νόμου αυτού είχε συμπεριληφθεί στις αρχικές εξισώσεις του Maxwell, αλλά κατά συνθήκη δεν ισχύει πλέον.

Στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία οι εξισώσεις Μάξγουελ είναι μία τετράδα εξισώσεων που διατυπώθηκαν από τον Σκοτσέζο φυσικό και μαθηματικό Τζέημς Κλαρκ Μάξγουελ (James Clerk Maxwell) και περιγράφουν τη συμπεριφορά ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων καθώς και τις αλληλεπιδράσεις τους με την ύλη. Η αρχική δημοσίευση του Μάξγουελ αναφερόταν σε οκτώ συνολικά, αλληλοσχετιζόμενες εξισώσεις. Η μορφή των τεσσάρων εξισώσεων, όπως χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα και όπως περιγράφεται παρακάτω, σχηματοποιήθηκε από τον αυτοδίδακτο Άγγλο φυσικό και μαθηματικό Όλιβερ Χέβισάϊντ, ο οποίος τις αναδιατύπωσε χρησιμοποιώντας διανυσματικό λογισμό, απλοποιώντας τις αποδείξεις τους και συμπυκνώνοντάς τις από 8 σε 4.

Οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ περιγράφουν αντίστοιχα (με τη συνηθισμένη σειρά γραφής τους) το πως ηλεκτρικά φορτία παράγουν ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Gauss), την πειραματική απουσία μαγνητικών μονοπόλων, πως τα ηλεκτρικά ρεύματα και τα μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία παράγουν μαγνητικά πεδία (Νόμος των Αμπέρ και Μάξγουελ) και το πως η μεταβολή ενός μαγνητικού πεδίου παράγει ηλεκτρικά πεδία (Νόμος του Φάραντεϊ για την επαγωγή).

Η ακριβής διατύπωση των εξισώσεων Maxwell εξαρτάται από τον ακριβή ορισμό των σχετικών ποσοτήτων. Οι συμβάσεις διαφέρουν με τα μοναδιαία συστήματα: επειδή οι διάφοροι ορισμοί και οι διαστάσεις αλλάζουν από την απορρόφηση διαστατικών παραγόντων, όπως η ταχύτητα του φωτός c. Αυτο κάνει τις σταθερές να βγαίνουν διαφορετικές.

Διατύπωση σε όρους των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων

Για να περιγράψει τον ηλεκτρομαγνητισμό, η ισχυρή γλώσσα του διανυσματικού λογισμού χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο. Σύμβολα με έντονους χαρακτήρες αντιπροσωπεύουν διανυσματικές ποσότητες, και τα σύμβολα με πλάγιους χαρακτήρες αντιπροσωπεύουν βαθμωτές (scalar) ποσότητες, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.

Οι εξισώσεις εισαγάγουν το ηλεκτρικό πεδίο E, ένα διανυσματικό πεδίο, και το μαγνητικό πεδίο B, ένα ψευδοδιανυσματικό πεδίο (pseudovector field), όπου το καθένα έχει γενικά χρονική εξάρτηση. Οι πηγές αυτών των πεδίων είναι ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως τοπικές πυκνότητες που ονομάζονται πυκνότητα φορτίου ρ και ένταση ρεύματος J. Ένας ξεχωριστός νόμος της φύσης, ο νόμος της δύναμης Lorentz, περιγράφει πώς το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο σε πράξη φορτισμένα σωματίδια και τα ρεύματα. Μια έκδοση του νόμου αυτού είχε συμπεριληφθεί στις αρχικές εξισώσεις του Maxwell, αλλά, κατά συνθήκη, δεν συμπεριλαμβάνεται πλέον.

Στις σχέσεις ηλεκτρικού-μαγνητικού πεδίου υπάρχουν τέσσερις εξισώσεις. Δύο από αυτές περιγράφουν πώς τα πεδία μεταβάλλονται στο χώρο και λόγω πηγών, εάν υπάρχουν. Τα ηλεκτρικά πεδία που προέρχονται από τα ηλεκτρικά φορτία στο νόμο του Gauss, και τα μαγνητικά πεδία, όπως κλειστές γραμμές του πεδίου που δεν οφείλεται σε μαγνητικά μονόπολα του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό. Τα άλλα δύο περιγράφουν πώς τα πεδία «κυκλοφορούν» γύρω από τις αντίστοιχες πηγές τους. Το μαγνητικό πεδίο "κυκλοφορεί" γύρω από ηλεκτρικά ρεύματα και χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία του νόμου του Ampere με την προσθήκη του Maxwell, ενώ το ηλεκτρικό πεδίο «κυκλοφορεί» γύρω από χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδία του νόμου του Faraday.

Η ακριβής διατύπωση των εξισώσεων Maxwell εξαρτάται από τον ακριβή ορισμό των σχετικών ποσοτήτων. Συμβάσεις διαφέρουν στα διάφορα συστήματα μονάδων. Επειδή οι διάφοροι ορισμοί και οι διαστάσεις αλλάζουν από την απορρόφηση πολυδιάστατων (dimensionful) παραγόντων όπως η ταχύτητα του φωτός c. Αυτό κάνει σταθερές βγαίνουν διαφορετικά.

Συμβατική διατύπωση σε μονάδες του διεθνούς συστήματος μονάδων SI

Οι εξισώσεις σε αυτή την ενότητα δίνονται βάσει τις μονάδες μέτρησης του SI. Άλλες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι οι μονάδες μέτρησης Gaussian με βάση το σύστημα CGS, οι μονάδες μέτρησης Lorentz-Heaviside (χρησιμοποιούνται κυρίως στη φυσική των σωματιδίων), και οι μονάδες μέτρησης Planck (που χρησιμοποιούνται στη θεωρητική φυσική). Δείτε παρακάτω τις σχέσεις με μονάδες μέτρησης Gaussian .

Όνομα	Ολοκληρωματικές Εξισώσεις	Διαφορικές Εξισώσεις
Νόμος του Γκάους	${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
Νόμος του Γκάους για το μαγνητισμό	${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Εξίσωση Μάξγουελ–Φαραντέι (νόμος της επαγωγής του Φαραντέι)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Κλιμακωτός νόμος του Αμπέρ (με την προσθήκη του Μάξγουελ)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$
Όπου: Ε είναι το ηλεκτρικό πεδίο , B  είναι το μαγνητικό πεδίο , J είναι η πυκνότητα ρεύματος , ρ είναι η συνολική πυκνότητα φορτίου , ε0 είναι η διηλεκτρική σταθερά  (permittivity) του κενού , µ0 είναι η μαγνητική διαπερατότητα (permeability)του κενού , και στις ολοκληρωτικές εξισώσεις, Ω δηλώνει έναν όγκο , και ∂ Ω είναι η κλειστή επιφάνεια που τον περικλείει, με την κανονική κατεύθυνση από μέσα προς τα έξω dV δηλώνει ένα διαφορικό στοιχείο όγκου του Ω, Σ δηλώνει μία μη-κλειστή επιφάνεια (με την υπόθεση ότι είναι ανεξάρτητη του χρόνου), dS δηλώνει ένα διαφορικό διανυσματκής περιοχής στοιχείο του ∂Ω ή Σ , παράλληλο προς την κανονική επιφάνεια, και ∂Σ είναι ο κλειστός βρόχος που κυκλοφορούν γύρω από την Σ , αριστερόστροφα (σύμφωνα με το dS).

Οι παγκόσμιες σταθερές που εμφανίζονται στις εξισώσεις είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού ε₀ και  η μαγνητική διαπερατότητα του κενού, ένα γενικό χαρακτηριστικό των θεμελιωδών επίπεδων εξισώσεων (field equations).

Στις διαφορικές εξισώσεις, μια τοπική περιγραφή των πεδίων είναι η εξής: το σύμβολο ανάδελτα ∇ δηλώνει το τρισδιάστατο διάνυσμα κλίσης, και από αυτό ∇· υποδηλώνεται ο τελεστής απόκλισης και από το ∇× δηλώνεται το διάνυσμα στροφή. Οι πηγές μπορούν να θεωρηθούν ως τοπικές πυκνότητες φορτίου και ρεύματος.

Στις παρακάτω εξισώσεις ολοκληρωμάτων που περιγράφουν πεδία σε μια περιοχή του χώρου: Ω είναι οποιοδήποτε σταθερός όγκος με επιφάνεια-σύνορο ∂Ω, και το Σ είναι οποιαδήποτε σταθερή ανοικτή επιφάνεια με σύνορο ∂Σ. Εδώ "σταθερή" σημαίνει ο όγκος ή η επιφάνεια δεν αλλάζουν στο χρόνο. Αν και είναι δυνατόν να διατυπωθούν οι εξισώσεις Maxwell με χρόνο-εξαρτώμενες επιφάνειες και όγκους, αυτό δεν είναι πραγματικά απαραίτητο: οι εξισώσεις είναι σωστές και πλήρεις με το χρόνο-ανεξάρτητες επιφάνειες. Οι πηγές στις οποίες αντιστοιχούν οι συνολικές ποσότητες φορτίου και το ρεύματος στο εσωτερικό αυτών των όγκων και επιφανειών, βρέθηκαν από την ολοκλήρωση. Το τριπλό ολοκλήρωμα - όγκος της συνολικής πυκνότητας φορτίου ρ ορισμένο σε οποιοδήποτε όγκο Ω είναι το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο που περιέχεται στο Ω:

$Q=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\,,$

και το καθαρό ηλεκτρικό ρεύμα είναι το διπλό ολοκλήρωμα του ηλεκτρικού ρεύματος πυκνότητας J , δια μέσου οποιασδήποτε ανοικτής σταθερής επιφάνειας Σ:

$I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,$

όπου dS δηλώνει το διαφορικό διάνυσμα-στοιχείο της επιφάνειας S κάθετο (normal) προς την επιφάνεια Σ. (Η διανυσματική περιοχή συμβολίζεται επίσης με A παρά με S, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με το μαγνητικό δυναμικό, ένα ξεχωριστό διανυσματικό πεδίο).

Το «συνολικό φορτίο ή ρεύμα»  αναφέρεται στη συμπερίληψη των ελεύθερων και των δεσμευμένων φορτίων, ή ελεύθερων και δεσμευμένων ρευμάτων. Αυτά χρησιμοποιούνται στις παρακάτω μακροσκοπικές προσεγγίσεις.

Σχέσεις μεταξύ των διαφορικών και ολοκληρωτικών διατυπώσεων

Οι διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις είναι μαθηματικά ισοδύναμες, από το θεώρημα απόκλισης στην περίπτωση του νόμου του Gauss και του νόμου του Gauss για το μαγνητισμό, και από το θεώρημα Kelvin-Stokes, στην περίπτωση του νόμου του Faraday και του νόμου του Ampere. Τόσο οι διαφορικές όσο και και οι ολοκληρωτικές εξισώσεις είναι χρήσιμες. Η ολοκληρωτική διατύπωση μπορεί συχνά να χρησιμοποιηθεί απλά και άμεσα για τον υπολογισμό πεδίων από συμμετρική κατανομή των φορτίων και των ρευμάτων. Από την άλλη πλευρά, οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα πιο φυσικό σημείο εκκίνησης για τον υπολογισμό των πεδίων σε πιο περίπλοκες (λιγότερο συμμετρικές) καταστάσεις, για παράδειγμα χρησιμοποιώντας ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων.

Ροές και αποκλίσεις

Κλειστός όγκος Ω και το σύνορο του ∂Ω, που περικλείει μια θετική πηγή (+) και αρνητική πηγή (-) ενός διανυσματικού πεδίου F. Εδώ, F μπορούσε να είναι το E πεδίο με ηλεκτρικά φορτισμένη πηγή , αλλά όχι το πεδίο B που όπως φαίνεται στο σχήμα δεν έχει μαγνητικά φορτία. Το κάθετο με κατεύθυνση προς τα έξω διάνυσμα είναι το n.

Τα «πεδία που προέρχονται από τις πηγές» μπορούν να συναχθούν από τα διπλά ολοκληρώματα των πεδίων διαμέσου της κλειστής επιφάνειας ∂Ω , που ορίζεται ως η ηλεκτρική ροή ${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ και η μαγνητική ροή ${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$, καθώς και από τις αντίστοιχες αποκλίσεις τους ∇ · E και ∇ · B. Αυτά τα επιφανειακά ολοκληρώματα και οι αποκλίσεις συνδέονται με το θεώρημα απόκλισης.

Ανοικτή επιφάνεια Σ και σύνορο ∂Σ. Το F θα μπορούσε να είναι το E ή το B πεδίο. Πάλι το n είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα.  (Η στροφή ενός διανυσματικού πεδίου δε μοιάζει κυριολεκτικά με τις "κυκλοφορίες", αυτό είναι ένα ευρετική απεικόνιση).

Κυκλοφορία (circulation) και στροφή

Η «κυκλοφορία των πεδίων» μπορεί να ερμηνευθεί από τα γραμμικά ολοκληρώματα των πεδίων γύρω από την κλειστή καμπύλη ∂ Σ:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }},\quad \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,,$

όπου dℓ είναι το διαφορικό διανυσματικό στοιχείο ενός μονοπατιού μήκους εφαπτομενικό με τη διαδρομή / καμπύλη, όπως και οι στροφές τους:

$\nabla \times \mathbf {E} ,\quad \nabla \times \mathbf {B} \,.$

Αυτά τα γραμμικά ολοκληρώματα και οι στροφές συνδέονται με το θεώρημα του Stokes, και είναι ανάλογες με τις ποσότητες στην κλασική δυναμική ρευστού: η κυκλοφορία ενός ρευστού είναι το γραμμικό ολοκλήρωμα της ροής πεδίου ταχύτητος του ρευστού γύρω από ένα κλειστό βρόχο, και ο στροβιλισμός του ρευστού είναι η στροφή του πεδίου ταχύτητας.

Χρονική εξέλιξη

Η «δυναμική» ή η «χρονική εξέλιξη των πεδίων" οφείλονται στις μερικές παραγώγους των πεδίων σε σχέση με το χρόνο:

${\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.$

Αυτές οι παράγωγοι είναι ζωτικής σημασίας για την πρόβλεψη της διάδοσης ενός πεδίου υπό μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Δεδομένου ότι η επιφάνεια θεωρείται ότι είναι ανεξάρτητη από το χρόνο, μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη μετάβαση στο νόμο του Faraday:

${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,$

δείτε παραγώγιση ολοκληρώματος για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό το αποτέλεσμα.

Εννοιολογική περιγραφές

Ο νόμος του Gauss

Ο νόμος του Gauss περιγράφει τη σχέση ανάμεσα σε ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο και τα ηλεκτρικά φορτία που το προκαλούν: Τα στατικά ηλεκτρικά πεδία κατευθύνονται από τα θετικά φορτία προς τα αρνητικά φορτία. Στο πεδίο της γραμμικής περιγραφής, οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου ξεκινούν μόνο από θετικά ηλεκτρικά  φορτία και τελειώνουν μόνο σε αρνητικά φορτία. Επομένως «μετρώντας» τον αριθμό των δυναμικών γραμμών που διέρχονται μέσω μιας κλειστής επιφάνειας παίρνουμε το συνολικό φορτίο (περιλαμβανομένου του δεσμευμένου φορτίου λόγω πόλωσης του υλικού) που περικλείεται από την επιφάνεια αυτή δια της διαπερατότητας του ελεύθερου χώρου (της διηλεκτρικής σταθεράς του κενού). Πιο τεχνικά, ο νόμος του Gauss εκφράζει τη σχέση που έχει η ηλεκτρική ροή μέσα από κάθε υποθετική κλειστή "Γκαουσιανή επιφάνεια" με το περικλειόμενο στην επιφάνεια ηλεκτρικό φορτίο.

Νόμος του Gauss για τον μαγνητισμό

Νόμος του Gauss για το μαγνητισμό

Ο νόμος του Gauss για το μαγνητισμό δηλώνει ότι δεν υπάρχουν «μαγνητικά φορτία» (που ονομάζονται επίσης και μαγνητικά μονόπολα), ανάλογα με τα ηλεκτρικά φορτία. Αντ 'αυτού, το μαγνητικό πεδίο που οφείλεται στα υλικά που παράγεται από μια διάταξη που ονομάζεται δίπολο. Τα μαγνητικά δίπολα είναι εκπροσωπούνται καλύτερα ως βρόχοι ρεύματος, αλλά μοιάζουν με θετικά και αρνητικά «μαγνητικά φορτία», άρρηκτα συνδεδεμένα μεταξύ τους, που δεν έχουν καθαρό «μαγνητικό φορτίο». Από άποψη των δυναμικών γραμμών, αυτή η εξίσωση δηλώνει ότι οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου δεν αρχίζουν ούτε τελειώνουν, αλλά κάνουν βρόχους ή επεκτείνονται στο άπειρο και γυρνάνε πάλι πίσω. Με άλλα λόγια, κάθε γραμμή μαγνητικού πεδίου που εισέρχεται σε ένα δεδομένο όγκο πρέπει από κάπου να βγει από αυτόν τον όγκο. Ισοδύναμες τεχνικές καταστάσεις είναι το ότι το συνολικό άθροισμα της μαγνητικής ροής μέσω οποιασδήποτε Gaussian επιφάνειας είναι μηδέν, ή ότι το μαγνητικό πεδίο είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο.

Νόμος του Faraday

Σε μια γεωμαγνητική καταιγίδα, μια απότομη αύξηση της ροής των φορτισμένων σωματιδίων αλλάζει προσωρινά το μαγνητικό πεδίο της γης, η οποία δημιουργεί ηλεκτρικά πεδία στην ατμόσφαιρα της γης, προκαλώντας έτσι κύματα σε ηλεκτρικά δίκτυα παροχής ηλεκτρικής ενέργειας. (Απόδοση του καλλιτέχνη - τα μεγέθη δεν είναι υπό κλίμακα.)

Οι τύποι των εξισώσεων Maxwell-Faraday του νόμου του Faraday περιγράφουν πως ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί («επάγει») ένα ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό δυναμικά επάγει ένα ηλεκτρικό πεδίο που έχει κλειστές τις δυναμικές γραμμές ακριβώς όπως το μαγνητικό πεδίο, αν δεν υπερκαλύπτεται (if not superposed) από ένα στατικό (προκαλούμενο από φορτίο) ηλεκτρικό πεδίο. Αυτή η πτυχή της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής είναι η αρχή λειτουργίας πίσω από πολλές ηλεκτρικές γεννήτριες: για παράδειγμα, ένας περιστρεφόμενος μαγνήτης δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο, το οποίο με τη σειρά του δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο σε ένα κοντινό καλώδιο.

Ο νόμος του Ampere με την προσθήκη του Maxwell

Η μαγνητική μνήμη πυρήνα (1954) είναι μια εφαρμογή του νόμου Ampere. Κάθε πυρήνας αποθηκεύει ένα bit δεδομένων.

Ο νόμος του Ampere με την προσθήκη του Maxwell δηλώνει ότι τα μαγνητικά πεδία μπορούν να δημιουργηθούν με δύο τρόπους: με ηλεκτρικό ρεύμα (αυτός ήταν ο αρχικός «νόμος του Ampere») και με μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά πεδία (αυτήν ήταν η "προσθήκη του Maxwell").

Η προσθήκη του Maxwell στον νόμο του Ampere είναι ιδιαίτερα σημαντική: δείχνει ότι όχι μόνο ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο προκαλεί ένα ηλεκτρικό πεδίο, αλλά και ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο προκαλεί ένα μαγνητικό πεδίο Ως εκ τούτου, αυτές οι εξισώσεις επιτρέπουν αυτάρκη (self-sustaining) "ηλεκτρομαγνητικά κύματα" να ταξιδέψουν στο κενό χώρο (δείτε την ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση).

Η ταχύτητα που υπολογίζεται για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, η οποία θα μπορούσε να προβλεφθεί από πειράματα σχετικά με τα φορτία και τα ρεύματα, ταιριάζει ακριβώς με την ταχύτητα του φωτός. Πράγματι, το φως είναι μια μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (όπως είναι ακτίνες Χ, τα ραδιοκύματα, και άλλα). Ο Maxwell κατανόησε τη σύνδεση μεταξύ των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων και του φωτός το 1861, ενώνοντας έτσι τις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της οπτικής.

Εξισώσεις του κενού, ηλεκτρομαγνητικά κύματα και ταχύτητα του φωτός

Για περισσότερες πληροφορίες βλέπε: Ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση, Ανομοιογενές ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση και Ημιτονοειδές επίπεδες-κυματικές λύσεις μιας ηλεκτρομαγνητικής κυματικής εξίσωσης

Σε μια περιοχή με μηδενικό φορτίο (ρ = 0) και χωρίς ρεύματα (J = 0), όπως στο κενό, οι εξισώσεις του Maxwell απλοποιούνται σε:

Αυτό το 3D διάγραμμα δείχνει ένα διαδιδόμενο γραμμικά πολωμένο κύμα που εκπέμπεται από αριστερά προς τα δεξιά με τις ίδιες εξισώσεις κύματος, όπου  E = E₀ sin(−ωt + k ⋅ r) και B = B₀ sin(−ωt + k ⋅ r)

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {E} =\ -&{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}&{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$

Λαμβάνοντας την στροφή (στροβιλισμό) ((∇×)) των στροφικών εξισώσεων, και χρησιμοποιώντας την στροφή της ταυτοτικής στροφής ∇×(∇×X) = ∇(∇·X) − ∇²X

παίρνουμε τις κυματικές εξισώσεις

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0\,,\quad {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\,,$

που προσδιορίζονται με την ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο:

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\mathrm {m~s} ^{-1}$

Σε υλικά με σχετική διηλεκτρική σταθερά ε_r και σχετική μαγνητική διαπερατότητα μ_r, η ταχύτητα φάσης του φωτός γίνεται

$v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}}$

η οποία είναι συνήθως λιγότερη από c. 

Επιπλέον, τα E και B είναι αμοιβαία κάθετα μεταξύ τους και προς την κατεύθυνση της διάδοσης κυμάτων, και είναι σε φάση μεταξύ τους. Ένα ημιτονοειδές επιφανειακό κύμα είναι μία ειδική λύση των εξισώσεων αυτών. Οι εξισώσεις του Maxwell εξηγούν πώς αυτά τα κύματα μπορούν φυσικά να διαδίδονται μέσα στο χώρο. Το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο μέσω του νόμου του Faraday. Με τη σειρά του, το ηλεκτρικό αυτό πεδίο δημιουργεί ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο μέσω της προσθήκης του Maxwell στον νόμο του Ampere. Αυτός ο ατέρμων κύκλος επιτρέπει αυτά τα κύματα, τώρα γνωστά ως ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, να περνούνε μέσα στο χώρο με ταχύτητα c.

"Μικροσκοπική προσέγγιση"  έναντι "μακροσκοπικής προσέγγισης"

Η μικροσκοπική παραλλαγή της εξίσωσης του  Maxwell εκφράζει το ηλεκτρικό πεδίο E  και το μαγνητικό πεδίο B  σε σχέση με  το συνολικό φορτίο και το συνολικό ρεύμα του που εμφανίζεται συμπεριλαμβανομένων των φορτίων και των ρευμάτων σε ατομικό επίπεδο. Μερικές φορές ονομάζεται γενική μορφή των εξισώσεων Maxwell ή "εξισώσεις του Maxwell στο κενό". Η μακροσκοπική παραλλαγή της εξίσωσης του Maxwell είναι εξίσου γενική, παρ'όλα αυτά, με τη διαφορά είναι από άποψης υπολογισμού (with the difference being one of bookkeeping).

"Η Μακροσκοπική προσέγγιση των εξισώσεων του Maxwell", επίσης γνωστών ως "εξισώσεις του Maxwell στην ύλη" , είναι περισσότερο παρόμοιες με αυτές που παρουσίασε ο Maxwell μόνος του.

Όνομα	Ολοκληρωματικές Εξισώσεις	Διαφορικές Εξισώσεις
Νόμος του Γκάους	${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$
Νόμος του Γκάους για το μαγνητισμό	${\scriptstyle \partial \Omega }$$\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Εξίσωση των Μάξγουελ–Φαραντέι (Νόμος της επαγωγής του Φαραντέι)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
(Circuital) Νόμος του Αμπέρ (με την προσθήκη του Maxwell)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

Σε αντίθεση με τις εξισώσεις της "μικροσκοπικής προσέγγισης", οι εξισώσεις της «μακροσκοπικής προσέγγισης» διαχωρίζουν το δεσμευμένο φορτίο Q_b και την ένταση του ρεύματος I_b για να προκύψουν εξισώσεις που να εξαρτώνται μόνο από τα ελεύθερα φορτία Q_f και από τις εντάσεις των ρευμάτων I_f. Αυτή η παραγοντοποίηση μπορεί να γίνει με τη διαχώριση του συνολικού ηλεκτρικού φορτίου και το ρεύματος ως εξής:

$Q=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$

$I=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Το κόστος αυτής της παραγοντοποίησης είναι ότι τα πρόσθετα πεδία, το πεδίο των μετατοπίσεων D και το μαγνητίζον πεδίο H έχουν, οριστεί και πρέπει να καθοριστούν. Φαινομενολογικά τα συστατικά αυτά των εξισώσεων συσχετίζουν τα πρόσθετα πεδία με το ηλεκτρικό πεδίο E και το μαγνητικό πεδίο B, συχνά μέσα από μια απλή γραμμική σχέση.

Το κόστος αυτής της παραγοντοποίησης είναι ότι τα πρόσθετα πεδία, το πεδίο των μετατοπίσεων D και το μαγνητίζον πεδίο- Η έχουν, οριστεί και πρέπει να καθοριστούν.Φαινομενολογική εξισώσεις συστατικό συσχετίζουν τα πρόσθετα πεδία με το ηλεκτρικό πεδίο Ε και το μαγνητικό πεδίο Β, συχνά μέσα από μια απλή γραμμική σχέση.

Για μια λεπτομερή περιγραφή των διαφορών μεταξύ μικροσκοπικών ( συνολικό φορτίο και ένταση ρεύματος, συμπεριλαμβανομένων των υλικών συμβάλλει ή στον αέρα /κενό) και μακροσκοπικών (χωρίς φορτίο και ρεύμα - πρακτική για χρήση σε υλικά) παραλλαγών των εξισώσεων του Maxwell, δείτε παρακάτω.

Δεσμευμένο φορτίο και δεσμευμένο ρεύμα

Αριστερά: μία σχηματική όψη του πώς μια συναρμολόγηση των μικροσκοπικών διπόλων παράγει αντίθετα φορτία σε επιφάνεια, όπως φαίνεται στο επάνω και κάτω μέρος. Δεξιά: Πώς μια συνέλευση μικροσκοπικών βρόχων ρεύματος προστίθενται μαζί για να παράγουν ένα κυκλοφορούμενο μακροσκοπικά ρεύμα βρόχου. Μέσα στα όρια, οι επιμέρους συνεισφορές τείνουν να ακυρωθούν, αλλά και στα όρια δε συμβαίνει ακύρωση.

Κύρια άρθρα: Πυκνότητα ρεύματος , Δεσμώτης φορτίου και Δεσμώτης ρεύμα

Όταν ένα ηλεκτρικό πεδίο εφαρμόζεται σε ένα διηλεκτρικό υλικό  τα μόρια του ανταποκρίνονται με τον σχηματισμό μικροσκοπικών ηλεκτρικών διπόλων- οι ατομικοί τους πυρήνες κινούνται σε μικρή απόσταση στην κατεύθυνση του πεδίου, ενώ τα ηλεκτρόνια τους κινούνται σε μικρή απόσταση προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτό παράγει ένα  μακροσκοπικό δεσμευμένο φορτίο στο υλικό, ακόμη και αν το σύνολο των φορτίων συνδέονται με τα μεμονωμένα μόρια. Για παράδειγμα, αν κάθε μόριο αποκρίνεται με παρόμοιο με αυτόν που φαίνεται στο σχήμα, αυτές οι μικροσκοπικές κινήσεις φόρτισης συνδυάζονται για να παράγουν ένα στρώμα θετικού δεσμευμένου φορτίου στη μία πλευρά του υλικού και ένα στρώμα αρνητικού φορτίου στην άλλη πλευρά. Το δεσμευμένο φορτίο είναι πιο βολικό να το περιγράψεις με τον όρο της πόλωσης Ρ του υλικού, τη διπολική ροπή του ανά μονάδα όγκου. Αν Ρ είναι ομοιόμορφη, ένας  μακροσκοπικός  διαχωρισμός του φορτίου παράγεται μόνο στις επιφάνειες όπου Ρ εισέρχεται και αφήνει το υλικό. Για μη ομοιόμορφες Ρ , ένα φορτίο παράγεται επίσης στο κύριο μέρος του. ^[ 5 ]

Κάπως ανάλογα, σε όλα τα υλικά τα συστατικά του ατόμου εμφανίζονται μαγνητικές ροπές που συνδέονται άρρηκτα με την στροφορμή των συστατικών των ατόμων, κυρίως των ηλεκτρονίων . Η σύνδεση με στροφορμή δείχνει την εικόνα ενός συγκροτήματος από μικροσκοπικούς βρόχους ρεύματος. Έξω από το υλικό, η συναρμολόγηση αυτών των μικροσκοπικών βρόχων ρεύματος δεν είναι διαφορετική από ένα μακροσκοπικό βρόχο ρεύματος που κυκλοφορεί γύρω από την επιφάνεια του υλικού, παρά το γεγονός ότι καμία μεμονωμένη χρέωση δεν διανύει μεγάλη απόσταση. Αυτά τα δεσμευμένα ρεύματα μπορούν να περιγράφουν με την μαγνήτιση Μ . ^[ 6 ]

Τα πολύ περίπλοκα και κοκκώδη δεσμευμένα φορτία και δεσμευμένα ρεύματα, ως εκ τούτου, μπορούν να εκπροσωπούνται στο μακροσκοπικό επίπεδο συναρτήσει της P και της M τα οποία υπολογίζουν κατά μέσο όρο αυτές τις κατηγορίες και τα ρεύματα σε αρκετά μεγάλη κλίμακα ώστε να μην φαίνεται η διασπορά των μεμονωμένων ατόμων, αλλά και επαρκώς μικρές ώστε να ποικίλλουν με τη θέση στο υλικό. Ως εκ τούτου, οι μακροσκοπικές  εξισώσεις του Μάξγουελ αγνοούν πολλές λεπτομέρειες σε λεπτή χρονική κλίμακα που μπορεί να είναι ασήμαντες για θέματα κατανόησης σε πολύ μεγάλη κλίμακα υπολογίζοντας πεδία που είναι κατά μέσο όρο πάνω από κάποιο κατάλληλο όγκο.

Βοηθητικά πεδία, πόλωση και μαγνήτιση

Οι ορισμοί (όχι συστατικές σχέσεις) των βοηθητικών πεδία είναι:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),$

όπου P είναι η πόλωση πεδίου  και M είναι η μαγνήτιση τπεδίου οι οποίες ορίζονται από την άποψη των μικροσκοπικών δεσμευμένων φορτίων και το φερόμενο ρεύμα, αντίστοιχα. Η μακροσκοπική

δεσμευμένη πυκνότητα φορτίου ρ _β και η δεσμευμένη πυκνότητα ρεύματος J _β. όσον αφορά την πόλωση P και μαγνήτισης M στη συνέχεια ορίζεται ως

$\rho _{\text{b}}=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,$

$\mathbf {J} _{\text{b}}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.$

Αν ορίσουμε την ελεύθερη, δέσμευση  συνολικού φορτίου και την πυκνότητα ρεύματος ως

$\rho =\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\$

$\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},$

και να χρησιμοποιήσετε τις παραπάνω καθορισμένες σχέσεις για την εξάλειψη D και H , οι "μακροσκοπικές" εξισώσεις του Maxwell αναπαράγουν τις "μικροσκοπικές"εξισώσεις.

Καταστατικές (Συνακτικές) σχέσεις 

Προκειμένου να εφαρμοστούν οι «μακροσκοπικές εξισώσεις του Maxwell, είναι αναγκαίο να προσδιοριστούν οι σχέσεις μεταξύ της μετατόπισης πεδίο D και του ηλεκτρικού πεδίου  Ε , καθώς και της έντασης του μαγνητικού πεδίου Η και του μαγνητικού πεδίο Β . Αντίστοιχα, θα πρέπει να καθορίσετε την εξάρτηση της πόλωσης P (εξ ου και το δεσμευμένο φορτίο) και ο μαγνητισμός M (εξ ου και το δεσμευμένο  ρεύμα) για το εφαρμοσμένο ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο. Οι εξισώσεις που καθορίζουν την απάντηση αυτή ονομάζονται συστατικές σχέσεις . Για πραγματικά υλικά, οι συστατικές σχέσεις είναι σπανίως απλές, εκτός από ορισμένες εξαιρέσεις, και συνήθως καθορίζονται από το πείραμα. Δείτε το κύριο άρθρο σχετικά με συστατικές σχέσεις για μια πληρέστερη περιγραφή.

Για τα υλικά, χωρίς πόλωση και μαγνητισμό ("κενό"), οι συστατικές σχέσεις είναι $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B}$

για βαθμωτές σταθερές ε ₀ και μ ₀ . Δεδομένου ότι δεν υπάρχει δεσμευμένο φορτίο, το σύνολο και η ελευθέρωση

φορτίου και ρεύματος είναι ίσες.

Γενικότερα, για τα γραμμικά υλικά  οι συστατικές σχέσεις είναι

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B}$

όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά και μ η διαπερατότητα του υλικού. Ακόμη και η γραμμική περίπτωση

μπορεί να έχει διάφορες επιπλοκές, ωστόσο

·  Για ομοιογενή

υλικά, ε και μ είναι σταθερές σε όλο το υλικό, ενώ για ανομοιογενή υλικά εξαρτώνται από την τοποθεσία εντός του υλικού (και ίσως χρόνου).

· Για ισότροπα υλικά, ε και μ είναι βαθμωτά μεγέθη, ενώ για ανισοτροπικών υλικά (π.χ. λόγω κρυσταλλική δομή) είναι τανυστές .

· Όταν τα  υλικά είναι γενικά διασποράς , τόσο ε και μ εξαρτάται από την συχνότητα του κάθε περιστατικού ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Ακόμη πιο γενικά, στην περίπτωση των μη γραμμικών υλικών (βλέπε για παράδειγμα μη γραμμικά οπτικά ), D και Ρ δεν είναι αναγκαστικά ανάλογα με Ε , ομοίως το Β δεν είναι αναγκαστικά ανάλογο με Η ή Μ . Σε γενικές γραμμές D και H εξαρτώνται τόσο από Ε και Β , σε τόπο και χρόνο, και, ενδεχομένως,από  άλλες φυσικές ποσότητες.

Σε εφαρμογές έχει κανείς επίσης να περιγράψει πώς τα ελεύθερα ρεύματα και η πυκνότητα των φορτίων συμπεριφέρονται σε όρους Ε και Β ενδεχομένως σε συνδυασμό με άλλες φυσικές ποσότητες όπως πίεση, και η μάζα, η πυκνότητα του αριθμού, και η ταχύτητα των σωματιδίων φέρουσα φορτίο. Π.χ., οι αρχικές εξισώσεις που δόθηκαν από Maxwell (βλ.Ιστορία των εξισώσεων του Maxwell ) περιλαμβάνουν τον  νόμου του Ohm με τη μορφή

$\mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} \,.$

Εξισώσεις σε μονάδες Gauss

Οι μονάδες Gauss είναι ένα δημοφιλές σύστημα μονάδων, που αποτελεί μέρος του συστήματος μονάδων  εκατοστού-γραμμαρίου δευτερολέπτου. Όταν χρησιμοποιείται αυτό το σύστημα μονάδων είναι σύνηθες να χρησιμοποιείται ένας  ελαφρώς διαφορετικός  ορισμός του ηλεκτρικού πεδίου Ε _οαδ = γ ^-1 E _SI . Αυτό συνεπάγεται ότι το τροποποιημένο ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίου έχουν τις ίδιες μονάδες (στη σύμβαση SI αυτό δεν είναι η περίπτωση: π.χ. για το ΕΜ κύματα στο κενό, | Ε | _SI , καθιστώντας διαφορετική τη  διαστατική ανάλυση των εξισώσεων). Τότε χρησιμοποιεί μια μονάδα φορτίου που ορίζεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε η διαπερατότητα του κενού να είναι  ε ₀ = 1 / (4 πc ) , ως εκ τούτου, μ ₀ = 4 π / c .Χρησιμοποιώντας αυτές τις διαφορετικές συμβάσεις, οι εξισώσεις του Maxwell γίνονται: ^[ 7 ]

Εξισώσεις σε Γκαουσιανές μονάδες

Όνομα	Μικροσκοπικές εξισώσεις	Μακροσκοπικές εξισώσεις
Νόμοι του Gauss	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$
Νόμοι του Gauss για μαγνητισμό	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	το ίδιο με το μικροσκοπικό
εξισώσεις Maxwell-Faraday	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	το ίδιο με το μικροσκοπικό
Nόμοι του Ampere	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)$

Οι εξισώσεις του Maxwell σε κοντομάνικο μπλουζάκι. Ο θεμελιώδης ρόλος των εξισώσεων στην ηλεκτροδυναμική και την οπτική τονίζεται με μια αναφορά στο βιβλίο της Γένεσης:

Και είπεν ο Θεός:
(Εξισώσεις Μάξγουελ)
και εγένετο φως.

Formalism	Formulation	Ομογενείς εξισώσεις	Μη ομογενείς εξισώσεις
Διανυσματικός λογισμός	Πεδία 3-Δ Ευκλείδιος χώρος + χρόνος	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ $\nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J}$
	Δυναμικά (any theory|gauge) 3-Δ Ευκλείδιος χώρος + χρόνος	$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$ $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ $\Box \mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J}$
	Δυναμικάμικά (gauge|Lorenz gauge) 3-Δ Ευκλείδιος χώρος + χρόνος	$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$ $\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$	$\Box \varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ $\Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}$
Λογισμός Τανυστής	formulation_of_classical_electromagnetism#Maxwell's_equations_in_vacuo|Fields Χωροχρόνος Μινκόβσκι	$\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$	$\partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=\mu _{0}J^{\beta }$
	Δυναμικά μετρητής (gauge) χωροχρόνος Μινκόβσκι	$F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	$\partial _{\alpha }\partial ^{[\beta }A^{\alpha ]}=\mu _{0}J^{\beta }$
	Δυναμικά (Lorenz gauge) χωροχρόνος Μινκόβσκι	$F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$ $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\Box A^{\alpha }=-\mu _{0}J^{\alpha }$
	Πεδία χωροχρόνος	$\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=\nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$	$\nabla _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\beta \alpha })=\mu _{0}J^{\beta }$
	Potentials (any gauge) any space-time	$F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}=\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}$	$\nabla _{\alpha }({\sqrt {-g}}\nabla ^{[\beta }A^{\alpha ]})=\mu _{0}J^{\beta }$
	Potentials (Lorenz gauge) any space-time	$F_{\alpha \beta }=\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}=\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]},$ $\nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\Box A^{\alpha }-R^{\alpha }{}_{\beta }A^{\beta }=-\mu _{0}J^{\alpha }$
calculus|Differential forms	Fields any space-time	$\mathrm {d} F=0$	$\mathrm {d} {*}F=\mu _{0}J$
	Potentials (any gauge) any space-time	$F=\mathrm {d} A$	$\mathrm {d} {*}\mathrm {d} A=\mu _{0}J$
	Potentials (Lorenz gauge) any space-time	$F=\mathrm {d} A$ $\mathrm {d} {\star }A=0$	${\star }\Box A=\mu _{0}J$

όπου

· Στην διανυσματική διατύπωση για Ευκλείδειο χώρο και χρόνο, είναι το  ηλεκτρικό δυναμικό , Α είναι το διανυσματικό δυναμικό και είναι ο φορέας D'Alembert .

· Στην θεωρία των τανυστών του διαφορικού λογισμού, ο ηλεκτρομαγνητικός τανυστής  είναι ένας αντισυμμετρικός συναλλοίωτος τανυστής δεύτερης τάξης, το τεσσάρων διαστάσεων δυναμικό  είναι ένα συναλλοίωτο διάνυσμα, το ρεύμα είναι η πυκνότητα διανύσματος, η αγκύλη [ ] συμβολίζει αντισυμμετρικούς δείκτες , είναι η παράγωγος των  συντεταγμένων  . Στους χώρους Minkowski οι συντεταγμένες του χώρου επιλέγονται σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα  έτσι ώστε ο μετρικός τανυστής που χρησιμοποιείται για την αύξηση και τη μείωση των δεικτών είναι . Ο D'Alembert για Minkowski χώρους είναι όπως στη σύνθεση διανυσμάτων. Σε τυχαίους χωροχρόνους  το σύστημα συντεταγμένων είναι αυθαίρετο.

Άλλες διατυπώσεις περιλαμβάνουν τη γεωμετρική διαμόρφωση της άλγεβρας και μια αναπαράσταση μήτρας των εξισώσεων Maxwell. Ιστορικά, χρησιμοποιήθηκε μια τετραπλή διατύπωση ^{[ 8 ] [ 9 ]} .

Λύσεις

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις που συνδέουν τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μεταξύ τους και με τα ηλεκτρικά φορτία και ρεύματα. Συχνά, τα τέλη και τα ρεύματα εξαρτώνται από τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, μέσω της εξίσωσης της δύναμης του Lorentz και των καταστατικών εξισώσεων. Όλα αυτά αποτελούν ένα σύνολο συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συχνά είναι πολύ δύσκολο να επιλυθούν. Στην πραγματικότητα, οι λύσεις των εξισώσεων αυτών περιλαμβάνουν όλες τα ποικίλα φαινόμενα σε ολόκληρο το πεδίο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Μια διεξοδική συζήτηση αυτή είναι πέρα από το πεδίο εφαρμογής του άρθρου, αλλά ακολουθούν μερικές γενικές παρατηρήσεις.

Όπως κάθε διαφορική εξίσωση, οι οριακές,καθώς και οι αρχικές συνθήκες είναι απαραίτητες για μια μοναδική λύση. Για παράδειγμα, ακόμα και χωρίς φορτία και ρεύματα οπουδήποτε στον χωροχρόνο, πολλές λύσεις στις εξισώσεις του Maxwell είναι δυνατές, δεν είναι μόνο η προφανής λύση E = B = 0. Μια άλλη λύση είναι Ε=σταθερά , Β= σταθερά, ενώ ακόμη άλλες λύσεις έχουν τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που γεμίζουν τον χωροχρόνο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Μάξγουελ επιλύονται μέσω άπειρου χώρου, και οι οριακές συνθήκες δίνονται ως ασυμπτωτικά όρια του απείρου. Σε άλλες περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Maxwell λύνονται μόνο σε μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, με κατάλληλες οριακές συνθήκες για αυτή την περιοχή: Για παράδειγμα, το όριο θα μπορούσε να είναι ένα τεχνητό απορροφητική όριο που αντιπροσωπεύει το υπόλοιπο σύμπαν, οι περιοδικές οριακές καταστάσεις, ή (όπως με ένα κυματοδηγό ή κοιλότητα συντονισμού) τις οριακές συνθήκες μπορεί να περιγράφουν τα τείχη που απομονώνουν μία μικρή περιοχή από τον έξω κόσμο.

Οι εξισώσεις Jefimenko (ή οι στενά συνδεδεμένες δυνατότητες Liénard-Wiechert) είναι η ρητή λύση των εξισώσεων Maxwell για τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία που δημιουργούνται από κάθε δεδομένη κατανομή των φορτίων και των ρευμάτων. Υποθέτει συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες για να ληφθεί η λεγόμενη «καθυστερημένη λύση», όπου τα μόνα πεδία του παρόντος είναι αυτά που δημιουργούνται από τα φορτία. Οι εξισώσεις Jefimenko δεν είναι τόσο χρήσιμες σε περιπτώσεις όπου τα φορτία και τα ρεύματα τους επηρεάζονται από τα πεδία που δημιουργούν.

Οι αριθμητικές μέθοδοι για διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση των εξισώσεων του Maxwell όταν μια ακριβής λύση είναι αδύνατη. Αυτές οι μέθοδοι συνήθως απαιτούν έναν υπολογιστή, και περιλαμβάνουν τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και το πεδίο του χρόνου μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ. Υπολογισιμος ηλεκτρομαγνητισμό.

Οι εξισώσεις του Maxwell φαίνεται υπερπροσδιορισμένες, υπό την έννοια ότι περιλαμβάνουν έξι αγνώστους (οι τρεις συνιστώσες του E και Β), αλλά οκτώ εξισώσεις (ένα για κάθε έναν από τους δύο νόμους του Gauss, τρεις συνιστώσες φορέα καθένα για Faraday και τους νόμους του Ampere).(Τα ρεύματα και τα φορτία δεν είναι άγνωστοι, είναι ελεύθερα οι ιδιαιτερότητες που υπόκειται φορτίο διατήρησης) Αυτό συνδέεται με ένα συγκεκριμένο περιορισμένο είδος πλεονασμού στις εξισώσεις του Μάξγουελ: Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σύστημα που ικανοποιείτο νόμο του Faraday και τον νόμο του Ampere αυτόματα ικανοποιεί και τους δύο νόμους του Gauss, όσο αρχική κατάσταση του συστήματος το επιτρέπει. Παρόλο που είναι δυνατό να αγνοήσουμε απλώς τις δύο νόμους Gauss σε μία αριθμητική αλγόριθμο (εκτός από τις αρχικές συνθήκες), η ατελής ακρίβεια των υπολογισμών μπορεί να οδηγήσει σε ολοένα αυξανόμενες παραβιάσεις των νόμων αυτών. Με την εισαγωγή ψευδομεταβλητών που χαρακτηρίζουν αυτές τις παραβιάσεις, οι τέσσερις εξισώσεις δεν γίνονται υπερορισμένες μετά από όλα. Η προκύπτουσα σύνθεση μπορεί να οδηγήσει σε πιο ακριβείς αλγορίθμους που λαμβάνονται υπόψιν και οι τέσσερις νόμοι.

Περιορισμοί για μια θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού

Ενώ οι εξισώσεις του Maxwell (μαζί με το υπόλοιπο της κλασικής ηλεκτρομαγνητισμού) είναι εξαιρετικά επιτυχείς στην εξήγηση και την πρόβλεψη μιας ποικιλίας φαινομένων, δεν είναι ακριβείς, αλλά προσεγγιστικές. Σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, μπορεί να είναι αισθητά ανακριβείς. Παραδείγματα περιλαμβάνουν εξαιρετικά ισχυρά πεδία (βλέπε Euler-Heisenberg Lagrangian) και εξαιρετικά μικρές αποστάσεις (βλέπε πόλωση κενού). Επιπλέον, διάφορα φαινόμενα συμβαίνουν στον κόσμο, ακόμη και αν οι εξισώσεις του Maxwell τα προβλέπουν να είναι αδύνατα, όπως το "nonclassical light» και η κβαντική διεμπλοκή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων (βλ. κβαντική οπτική). Τέλος, οποιοδήποτε φαινόμενο που σχετίζεται με μεμονωμένα φωτόνια, όπως το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, ο νόμος του Planck, το δίκαιο Duane-Hunt, single-φωτονίων ανιχνευτές φωτός, κλπ., θα ήταν δύσκολο ή αδύνατο να εξηγήσει κανείς αν και οι εξισώσεις του Μάξγουελ ήταν ακριβώς αληθινοί, μιας και οι εξισώσεις του Maxwell δεν περιλαμβάνουν τα φωτόνια. Για τις πιο ακριβείς προβλέψεις σε όλες τις περιπτώσεις, οι εξισώσεις του Maxwell έχουν αντικατασταθεί από την κβαντική ηλεκτροδυναμική.

Παραλλαγές

Δημοφιλείς παραλλαγές στις εξισώσεις Maxwell, ως κλασσική θεωρία των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων είναι σχετικά σπάνιες, επειδή οι τυπικές εξισώσεις έχουν αντέξει στη δοκιμασία του χρόνου εξαιρετικά καλά.

μαγνητικά μονόπολα

Οι εξισώσεις του Maxwell υποθέτουν ότι υπάρχει ηλεκτρικό φορτίο, αλλά όχι μαγνητικό φορτίο (ονομάζεται επίσης μαγνητικά μονόπολα), στο σύμπαν. Πράγματι, μαγνητικό φορτίο δεν έχει παρατηρηθεί ποτέ (παρά τις εκτεταμένες αναζητήσεις) και μπορεί να μην υπάρχει. Αν δεν υπάρχουν, ο νόμος τόσο του Gauss για το μαγνητισμό και νόμος του Faraday θα πρέπει να τροποποιηθούν, και οι προκύπτουσες τέσσερις εξισώσεις θα είναι απόλυτα συμμετρικές υπό την ανταλλαγή των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων.

Ιστορικές Εκδόσεις

• Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell, "Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

Τα επιτεύγματα πριν την θεωρία της σχετικότητας

• Larmor|Joseph Larmor (1897) "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (το 3ο και τελευταίο σε μια σειρά με βιβλία- σημειώσεις με το ίδιο όνομα).
• Lorentz|Hendrik Lorentz (1899) "Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems", Proc. Acad. Science Amsterdam, I, 427–43.
• Lorentz|Hendrik Lorentz (1904) "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669–78.
• Poincaré|Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction", Archives Néerlandaises, V, 253–78.
• Poincaré|Henri Poincaré (1902) La Science et l'Hypothèse
• Poincaré|Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
• James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity And Magnetism Vols 1 and 2 1904—most readable edition with all corrections—Antique Books Collection κατάλληλη για διαδικτυακό διάβασμα
• Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 1 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
• Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 2 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
• On Faraday's Lines of Force – 1855/56 Maxwell's first paper (Part 1 & 2) – Compiled by Blaze Labs Research (PDF)
• Physical_Lines_of_Force.pdf|On Physical Lines of Force – 1861 Maxwell's 1861 paper describing magnetic lines of Force – Predecessor to 1873 Treatise
• Maxwell, James Clerk, "Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf|A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865). (Το άρθρο συνόδεύε μια παρουσίαση στις 8 Δεκεμβρίου 1864 του Maxwell στο Royal Society.)
• Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current". Wireless World, March 1979. Αρχειοθετήθηκε 2008-05-06 στο Wayback Machine.
• Reprint from Dover Publications (ISBN 0-486-60636-8)
• Full text of 1904 Edition including full text search.
• A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field – 1865 Maxwell's 1865 paper describing his 20 Equations in 20 Unknowns – Predecessor to the 1873 Treatise

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Maxwell equations», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/m063140 
• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• Mathematical aspects of Maxwell's equation are discussed on the Dispersive PDE Wiki.

Modern treatments

• Electromagnetism Αρχειοθετήθηκε 2011-06-03 στο Wayback Machine., B. Crowell, Fullerton College
• Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
• MIT Video Lecture Series (36 x 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Lewin|Walter Lewin.

Other

• Feynman's derivation of Maxwell equations and extra dimensions Αρχειοθετήθηκε 2015-04-20 στο Wayback Machine.
• Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations