Γεωμετρική άλγεβρα

Η γεωμετρική άλγεβρα (Γ.Α) είναι μια Κλίφορντ άλγεβρα του διανυσματικού χώρου πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών προικισμένο με μια τετραγωνική μορφή. Ο όρος επίσης μερικές φορές χρησιμοποιείται ως συλλογικός όρος για την προσέγγιση στη κλασσική, υπολογιστική και σχετικιστική γεωμετρία που εφαρμόζει αυτές τις άλγεβρες. Ο πολλαπλασιασμός Κλίφορντ που ορίζει το Γ.Σ ως μονάδα δακτυλίου ονομάζεται γεωμετρικό προϊόν. Η λειτουργία εκτός ότι συνδυάζει αυτήν σε γενικές γραμμές με πολυδιανύσματα , τα οποία είναι τα στοιχεία του δακτυλίου. Αυτό περιλαμβάνει, μεταξύ άλλων δυνατοτήτων, ένα καλά καθορισμένο τυπικό άθροισμα βαθμωτό και διανυσματικό.

Η γεωμετρική άλγεβρα διακρίνεται από την Κλίφορντ άλγεβρα σε γενικές γραμμές με τον περιορισμό του σε πραγματικούς αριθμούς και την έμφαση στην γεωμετρική ερμηνεία της και σε φυσικές εφαρμογές. Συγκεκριμένα παραδείγματα της γεωμετρικής άλγεβρας που εφαρμόζονται στο πεδίο της φυσικής περιλαμβάνουν την άλγεβρα του φυσικού χώρου, την χωροχρονική άλγεβρα, και τη σύμμορφη γεωμετρική άλγεβρα. Ο γεωμετρικός λογισμός, μια επέκταση της Γ.Α που ενσωματώνει παραγώγους και ολοκληρώματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διατυπώσει άλλες θεωρίες όπως η μιγαδική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία, π.χ. χρησιμοποιηθηκε η άλγεβρα Κλίφορντ αντί της διαφορική μορφή απο Κρις Ντοράν, ως το προτιμώμενο μαθηματικό πλαίσιο για τη φυσική. Οι υποστηρικτές ισχυρίζονται ότι παρέχει συμπαγείς και διαισθητική περιγραφές σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένων των κλασικής και κβαντική μηχανική, ηλεκτρομαγνητική θεωρία και σχετικότητας. Η Γ.Α έχει επίσης βρει χρήση ως υπολογιστικό εργαλείο στα γραφικά υπολογιστών και τη ρομποτική.

Η γεωμετρική άλγεβρα για πρώτη φορά αναφέρθηκε εν συντομία από τον Χέρμαν Γκράσμαν, ο οποίος κυρίως ενδιαφέρθηκε για την ανάπτυξη της και σύνδεσή της στενά με εξωτερική άλγεβρα, η οποία είναι η γεωμετρική άλγεβρα σε τετριμμένη τετραγωνική μορφή. Το 1878, ο Κλίφορντ επεκτάθηκε σε μεγάλο βαθμό στο έργο του Γκράσμαν, σχημάτισε αυτό που ως τώρα συνήθως ονομάζεται Άλγεβρα Κλίφορντ προς τιμήν του (αν και ο Κλίφορντ ο ίδιος επέλεξε να την αποκαλούν «γεωμετρική άλγεβρα»). Για αρκετές δεκαετίες, γεωμετρικές άλγεβρες κάπως αγνοούνταν, σε μεγάλο βαθμό επισκιάζοταν από το διανυσματικό λογισμού και στη συνέχεια αναπτύχθηκαν πρόσφατα για να περιγράψουν τον ηλεκτρομαγνητισμό. Ο όρος «γεωμετρική άλγεβρα» είχε αναδειχθεί από τον Χεστένε στη δεκαετία του 1960, ο οποίος αναγνώρισε τη σημασία του στην σχετικιστική φυσική.

Εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Για τo γεωμετρικό γινόμενο δύο τυχαίων διανυσμάτων a και b γράφουμε το άθροισμα του συμμετρικού γινομένου και του αντισυμμετρικού γινομένου::$ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)$

Έστω δύο διανύσματα a και b.Αν το γεωμετρικό τους γινόμενο ab δεν είναι αντιμεταθετικό τότε είναι κάθετα γιατί a∧b=-(b∧a) και a · b =0.Αν είναι αντιμεταθετικό τότε είναι παράλληλα γιατί a ∧ b = 0 και a · b = b · a.

Έτσι μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως το συμμετρικό γινόμενο

$a\cdot b:={\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})=g(a,b),$

το οποίο είναι ένας πραγματικός αριθμός γιατί είναι ένα άθροισμα τετραγώνων.Αντιστρόφως,το g καθορίζεται εντελώς από την άλγεβρα.Το αντισυμμετρικό μέρος είναι το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων(το εξωτερικό γινόμενο της περιεχόμενης εξωτερικής άλγεβρας):

$a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a)$

Τα εσωτερικά και εξωτερικά γινόμενα σχετίζονται με συνήθεις έννοιες της πρότυπης διανυσματικής άλγεβρας.Εικαστικά,τα a και b είναι παράλληλα αν το γεωμετρικό τους γινόμενο είναι ίσο με το εσωτερικό τους γινόμενο,ενώ είναι κάθετα αν το γεωμετρικό τους γινόμενο είναι ίσο με το εξωτερικό τους γινόμενο.Στη γεωμετρική άλγεβρα,στην οποία το τετράγωνο ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι θετικός αριθμός,το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να προσδιοριστεί με τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό της διανυσματικής άλγεβρας.Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να προσδιοριστεί από την περιοχή που περικλείεται από ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι πλευρές είναι τα διανύσματα.Ο σταυρωτός πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων στις 3 διαστάσεις με θετική τετραγωνική μορφή συνδέεται στενά με το εξωτερικό τους γινόμενο.

Τα περισσότερα παραδείγματα της γεωμετρικής άλγεβρας έχουν μία μη-εκφυλισμένη τετραγωνική μορφή.Εάν η τετραγωνική μορφή είναι πλήρως εκφυλισμένη,το εσωτερικό γινόμενο δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων είναι πάντα μηδέν,και τότε η γεωμετρική άλγεβρα είναι απλά μια εξωτερική άλγεβρα.Αν οριζόταν διαφορετικά,αυτό το άρθρο θα διαπραγματευόταν μόνο μη-εκφυλισμένες γεωμετρικές άλγεβρες.

Το εξωτερικό γινόμενο έχει επεκταθεί απλά ως μία πλήρως αντισυμμετρική πολυγραμμική λειτουργία μεταξύ οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων:

$a_{1}\wedge a_{2}\wedge \dots \wedge a_{r}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\dots a_{\sigma (r)},$

όπου το άθροισμα είναι πάνω απ'όλα μεταθέσεις των δεικτών, με $\operatorname {sgn} (\sigma )$ το πρόσημο της μετάθεσης.

Ορισμός και σημειογραφία

Λαμβάνοντας υπόψη ένα πεπερασμένο διαστάσεων πραγματικό τετραγωνικό χώρο V = Rⁿ με μία τετραγωνική μορφή (Ευκλείδιο) g : V → R, η γεωμετρική άλγεβρα για αυτόν τον τετραγωνικό χώρο είναι μια Κλίφορντ άλγεβρα Cℓ(V,g).

Το προϊόν άλγεβρα ονομάζεται γεωμετρικό προϊόν . Είναι πρότυπο για να υποδηλώσει το γεωμετρικό προϊόν με παράθεση (δηλαδή, καταστέλλοντας κάθε ρητό σύμβολο πολλαπλασιασμού). Ο παραπάνω ορισμός της γεωμετρικής άλγεβρας είναι αφηρημένος, έτσι ώστε να συνοψίσουμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών προϊόντων από το σύνολο των αξιωμάτων. Το γεωμετρικό προϊόν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

$A(BC)=(AB)C$, όπου A, B και C είναι οποιαδήποτε στοιχεία της άλγεβρας (συσχέτισης)

$A(B+C)=AB+AC$ και $(B+C)A=BA+CA$, οπου A, B και C είναι οποιαδήποτε στοιχεία της άλγεβρας (επιμεριστηκότητα)

$a^{2}=g(a,a)\in \mathbb {R}$, όπου α είναι διάνυσμα.

Ιστορία

Πριν τον 20ο αιώνα

Αν και η σύνδεση της γεωμετρίας με την άλγεβρα χρονολογείται ήδη από τον Ευκλείδης''τον 3ο αιώνα π.Χ. (Βλέπε Ελληνική γεωμετρική άλγεβρα), Γ.Α με την έννοια που χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο δεν αναπτύχθηκε μέχρι το 1844, όταν χρησιμοποιήθηκε σε ένα συστηματικό τρόπο για να περιγράψει τις γεωμετρικές ιδιότητες και μεταμορφώσεις του χώρου. Σε εκείνο το έτος, Χέρμαν Γκράσμαν εισήγαγε την ιδέα της γεωμετρικής άλγεβρας σε πλήρη γενικότητα ως ένα ορισμένο λογισμό (ανάλογο με τον προτασιακό λογισμό) που κωδικοποιούνται όλα τα Γεωμετρικά στοιχεία του χώρου. Μετά τον Γκράσμαν, το 1878 ο Κλιίφορντ εξέτασε το αλγεβρικό σύστημα του Γκράσμαν μαζί με το κβατέρνια του Χαμιλτον στο Χάρβαντ. Από την άποψή του, οι κβατέρνια περιγράφονται ορισμένες μεταμορφώσεις (τις οποίες ονόμασε δρομείς ), ενώ άλγεβρα Γκρασμαν περιέγραψε ορισμένες ιδιότητες (, όπως το μήκος, περιοχή, και όγκο). Η συμβολή του ήταν να καθορίσει ένα νέο προϊόν - το 'γεωμετρικά προϊόν' - σε μια υπάρχουσα Γκρασμαν άλγεβρα, η οποία πραγματοποίησε τις κβατέρνια όπως ζουν εντός της άλγεβρας. Στη συνέχεια ο Rudolf Lipschitz το 1886 γενικευμένη ερμηνεία του Κλίφορντ,κβατέρνια, τα εφάρμοσε στη γεωμετρία των εναλλαγών στις Ν διαστάσεις. Αργότερα, οι εξελίξεις αυτές θα οδηγήσουν άλλους μαθηματικούς του 20ου αιώνα για να επισημοποιήσουν και να εξερευνήσουν τις ιδιότητες της άλγεβρας Κλίφορντ.

Παρ 'όλα αυτά, μια άλλη επαναστατική εξέλιξη του 19ου αιώνα θα επισκιάσει τελείως τη γεωμετρικά άλγεβρα: αυτή της ανάλυση του φορέα, που αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τους Josiah Willard Gibbs και Oliver Heaviside. Διανυσματική ανάλυση υποκινήθηκε από τον James Clerk Maxwell 's μελέτες ηλεκτρομαγνητισμού, και συγκεκριμένα την ανάγκη να εκφράσουν και να χειριστουν εύκολα ορισμένες διαφορικες εξισώσεις. Διανυσματική ανάλυση είχε κάποια διαισθητική σχέση με τις ακαμψίες των νέων αλγεβρών. Οι φυσικοί και μαθηματικοί εύκολα την υιοθετήσαν ως γεωμετρική εργαλειοθήκη της επιλογής τους, ιδιαίτερα μετά την επιρροή του 1901 από τον Edwin Bidwell Wilson, και από τις διαλέξεις του Gibbs.

Blades, βαθμίδα, και κανονική βάση

'Ενα πολυδιάνυσμα το οποίο είναι το εξωτερικό γινόμενο r γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ($r\leq n$) ονομάζεται blade, και άρα blade ονομάζεται ένα πολυδιάνυσμα βαθμίδας r. Από αξίωμα, κάθε πολυδιάνυσμα της γεωμετρικής άλγεβας είναι άθροισμα of blades.

'Εστω ένα σύνολο r γραμμικά ανεξαρτήτων διανυσμάτων $\{a_{1},...,a_{r}\}$ τα οποία παράγουν έναν r-διάστατο υποχώρο του διανυσματικού χώρου. 'Εχοντας αυτά, μπορούμε να ορίσουμε ένα πραγματικό συμμετρικό πίνακα.

$[\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}$

Από το θεώρημα φάσματος, ο A μπορεί να διαγωνιοποιηθεί σε έναν διαγώνιο πίνακα D μέσω ενός ορθογώνιου Ο πίνακα, σύμφωνα με τα εξής

$\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}$

Ορίζουμε ένα νέο σύνολο διανυσμάτων $\{e_{1},...,e_{r}\}$, γνωστό ως διανύσματα ορθοκανονικής βάσης, τα οποία μετατράπηκαν από τον ορθογώνιο πίνακα:

$e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}$

Από τη στιγμή που οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο , συνεπάγεται ότι $e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}$ και επιπλέον ότι τα $\{e_{1},...,e_{r}\}$ είναι κάθετα. Με άλλα λόγια το γεωμετρικό γινόμενο δύο διάφορων διανυσμάτων $e_{i}\neq e_{j}$ είναι επακριβώς καθορισμένο από το εξωτερικό τους γινόμενο, ή πιο γενικά

${\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=\det[\mathbf {O} ]a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}$

Ως εκ τούτου κάθε blade βαθμού r μπορεί να γραφεί ως το γεωμετρικό γινόμενο r διανυσμάτων. Πιο γενικά, αν μια εκφυλισμένη γεωμετρική άλγεβρα είναι επιτρεπτή, τότε ο ορθογώνιος πίνακας αντικαθιστάται από έναν block πίνακα ο οποίος είναι ορθογώνιος στο μη εκφυλισμένο block, και ο διαγώνιος πίνακας έχει μηδενικού βαθμού καταχωρήσεις κατά μήκος των εκφυλισμένων διαστάσεων. Αν τα νέα διανύσματα του μη εκφυλισμένου υποχώρου έχουν γίνει διανύσματα ορθοκανονικής βάσης σύμφωνα με τη νόρμα,( ακολουθώντας δηλαδή τη διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Grand-Schmidt)

${\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},$

τότε αυτά τα διανύσματα πρέπει να τετραγωνίζονται στο +1 ή −1. Σύμφωνα με τον νόμο του Sylvester για την αδράνεια,ο συνολικός αριθμός των +1 και ο συνολικός αριθμός των −1 κατά μήκος του διαγώνιου πίνακα είναι αμετάβλητος. Επομένως, ο συνολικός αριθμός p των +1 και ο συνολικός αριθμός q των −1 είναι αμετάβλητος. (Αν η εκφυλισμένη περίπτωση είναι επιτρεπτή , τότε ο συνολικός αριθμός που τετραγωνίζει στο μηδέν είναι επίσης αμετάβλητος). 'Εχουμε έτσι ορίσει αυτή την άλγεβρα ${\mathcal {G}}(p,q)$. Για παράδειγμα,τα ${\mathcal {G}}(3,0)$ 3D μοντέλα Ευκλήδειου χώρου,το ${\mathcal {G}}(1,3)$ του σχετικιστικού χωροχρόνου και το ${\mathcal {G}}(4,1)$ που είναι μία 3D σύμμορφη γεωμετρική άλγεβρα.

Το σύνολο όλων των πιθανών γινομένων n διανυσμάτων ορθοκανονικής βάσης με του δείκτες σε αύξουσα σειρά, συμπεριλαμβανομένου του 1 ως το κενό γινόμενο σχηματίσει μία βάση για ολόκληρη τη Γεωμετρική 'Αλγεβρα (ανάλογο του θεωρήματος Poincare-Birkhoff-Witt ). Για παράδειγμα, αυτό που ακολουθεί είναι μία βάση για τη Γεωμετρική 'Αλγεβρα ${\mathcal {G}}(3,0)$:

$\{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{3},e_{1}e_{2}e_{3}\}$

Μία βάση σχηματισμένη με αυτό τον τρόπο ονομάζεται κανονική βάση για την γεωμετρική άλγεβρα , και κάθε άλλη ορθογώνια βάση του V παράγει άλλη μία κανονική βάση.Κάθε ορθοκανονική βάση αποτελείται από 2ⁿ στοιχεία. Κάθε πολυδιάνυσμα της γεωμετρικής άλγεβρας μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της κανονικής βάσης. Αν τα στοιχεία της κανονικής βάσης είναι {B_i | i∈S} με S να είναι ένα μη κενό σύνολο, τότε το γεωμετρικό γινόμενο δύο οποιοδήποτε πoλυδιανυσμάτων είναι

$(\Sigma _{i}\alpha _{i}B_{i})(\Sigma _{j}\beta _{j}B_{j})=\Sigma _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}\,$ly.

Προβολή Βαθμού

Χρησιμοποιώντας μία κανονική βάση, μπορεί να κατασκευαστεί ένας βαθμωτός διανυσματικός χώρος. Στοιχεία της Γεωμετρικής 'Αλγεβρας τα οποία είναι απλές βαθμωτές πολλαπλότητες του 1 είναι βαθμού-0 blades και ονομάζονται βαθμωτά. Μη μηδενικά διανύσματα που ανήκουν στο span του $\{e_{1},\cdots ,e_{n}\}$ είναι βαθμού-1 blades και είναι τα συνηθισμένα διανύσματα.Πολυδιανύσματα που βρίσκονται στο span του $\{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ είναι βαθμού -2 blades και είναι τα 2-διανύσματα. Αυτή η ονοματολογία συνεχίζει μέχρι το τελευταίο βαθμό των n διανυσμάτων. Εναλλακτικά, n βαθμωτά blades ονομάζονται ψευδοβαθμωτά, n−1 βαθμωτά blades ονομάζονται ψευδοδιανύσματα, κτλ. Πολλά από τα στοιχεία της άλγεβρας δεν έχουν καταταχθεί σύμφωνα με τη προηγούμενη διαδικασία αφού είναι αθροίσματα στοιχείων μιας διαφορετικής βαθμίδας. Τέτοια στοιχεία ονομάζονται μικτού βαθμού. Η βαθμίδα των πολυδιανυσμάτων είναι ανεξάρτητη της ορθοκανονικής βάσης που επιλέχθηκε αρχικά.

'Ενα πολυδιάνυσμα $A$ μπορεί να "αποσυντεθεί" με το χειριστή προβολής βαθμού $\langle A\rangle _{r}$,που εξάγει το βαθμού-r κομμάτι του A. Ως αποτέλεσμα έχουμε

$A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}$

Για παράδειγμα, το γεωμετρικό γινόμενο δύο διανυσμάτων $ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}$ since $\langle ab\rangle _{0}=a\cdot b\,$ and $\langle ab\rangle _{2}=a\wedge b\,$ and $\langle ab\rangle _{i}=0\,$ για i διάφορο των 0 και 2.

Η "αποσύνθεση" ενός πολυδιανύσματος $A$ μπορεί να χωριστεί σε αυτούς τους παράγοντες που είναι άρτιοι και σε αυτούς που είναι περιττοί:

$A^{+}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots$

$A^{-}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots$

Αυτό κάνει την άλγεβρα μία άλγεβρα βαθμού Z₂ ή υπεράλγεβρα μαζί μα το γεωμετρικό γινόμενο. Αφού το φεωμετρικό γινόμενο δύο άρτιων πολυδιανυσμάτων είναι άρτιο πολυδιάνυσμα, αυτά ορίζουν μία άρτια subalgebra. Η άρτια subalgebra μιας n-διάστατης γεωμετρικής άλγεβρας είναι ισομορφισμός με μία πλήρη γεωμετρική άλγεβρα (n−1) διαστάσεων. Για παράδειγμα ${\mathcal {G}}^{+}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)$ και ${\mathcal {G}}^{+}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)$.

Αναπαράσταση υποχώρων

Η Γεωμετρική Αλγεβρα αναπαριστά υποχώρους του V ως πολυδιανύσματα, και έτσι συνυπάρχουν στην ίδια άλγεβρα με τα διανύσματα από τον V. 'Ενας k-διάστατος υποχώρος W του V αναπαριστάται παίρνωντας μία ορθοκανονική βάση $\{b_{1},b_{2},\cdots b_{k}\}$ και χρησιμοποιώωντας το γεωμετρικό γινόμενο για να σχηματίσουμε το blade D = b₁b₂⋅⋅⋅b_k. Υπάρχουν πολλαπλά blades που αναπαριστούν τον W και όλα αυτά που αναπαριστούν τον W είναι βαθμωτές πολλαπλότητες του D. Αυτά τα blades χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τις θετικές πολλαπλότητες του D και τις αρνητικές πολλαπλότητες του D . Οι θετικές πολλαπλότητες του D λέμε ότι έχουν τον ίδιο προσανατολισμό με το D, ενώ οι αρνητικές αντίθετο.

Τα Blades είναι σημαντικά αφού οι γεωμετρικές λειτουργίες όπως προβολές, περιστροφές και αντικατοπτρισμοί βασίζονται στο πως το εξωτερικό γινόμενοt που παράγεται από n-blades

Διπλή βάση

Έστω $\{e_{i}\}$ είναι μια βάση του V, δηλαδή ένα σύνολο από n γραμμικά ανεξάρτητους φορείς που καλύπτουν το Ν-διαστάτο χώρο V. Η βάση που είναι διπλή για $\{e_{i}\}$ είναι το σύνολο των στοιχείων του διπλού φορέα χώρου V^∗ που σχηματίζει ένα διορθογώνιο σύστημα με βάση αυτή,και στοιχεία που δηλώνονται ως$\{e^{i}\}$ και ικανοποιούν την:

$e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},$

όπου δ είναι το Kronecker delta.

Λαμβάνοντας υπόψη μια μη εκφυλισμένη τετραγωνική μορφή οι V, V^∗ ταυτίζονται με την V και η διττή νομική βάση μπορεί να θεωρηθεί ως υποσύνολο του V, αλλά δεν είναι σε γενικές γραμμές το ίδιο σύνολο, όπως η αρχική βάση.

Λαμβάνοντας υπόψη περαιτέρω το ΓΑ στο V, έχουμε

$\epsilon =e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}$

που είναι η ψευδοσκάλα (που δεν σημαίνει απαραίτητα πλάτος έως ± 1) και σχηματίζεται από τη βάση $\{e_{i}\}$. Οι διπλοί φορείς της βάσης μπορούν να κατασκευαστούν ως

$e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})\epsilon ^{-1},$

όπου το ${\check {e}}_{i}$ υποδηλώνει ότι ο φορέας βάση της παραλείπεται από το αποτέλεσμα.

Επέκταση του εσωτερικού και του εξωτερικού γινομένου

Είναι κοινή πρακτική η επέκταση του εξωτερικού γινομένου σε φορείς σε ολόκληρη την άλγεβρα. Αυτό μπορεί να γίνει με τη χρήση του φορέα βαθμού προβολής: $C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}$ (the outer product) Αυτή η γενίκευση σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό περιλαμβάνει αντισυμμετρία. Μια άλλη γενίκευση που σχετίζονται με το εξωτερικό γινόμενο είναι αυτή του συλλέκτη:

$C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)$

Το οπισθοδρομικό γινόμενο είναι η διπλάσιο του εξωτερικού γινομένου:

$C\;\triangledown \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s-n}$

Το εσωτερικό γινόμενο για φορείς μπορεί επίσης να γενικευτεί, σε περισσότερους του ενός μη-ισοδύναμους τρόπους. Το σύγγραμμα (Ντορστ 2002) δίνει μια πλήρη ερμηνεία πολλών διαφορετικών εσωτερικών γινομένων που έχουν αναπτυχθεί για γεωμετρικές άλγεβρες καθώς και για τις μεταξύ τους σχέσεις, και έτσι ο συμβολισμός έχει ληφθεί από εκεί. Πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν το ίδιο σύμβολο για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ,αλλά για την επιλεγμένη επέκταση τους (π.χ. Hestenes και Perwass)δεν υπάρχει καμία κοινή σημειογραφία.

Μεταξύ αυτών των πολλών διαφορετικών γενικεύσεων του εσωτερικού γινομένου έχουμε και τους παρακάτω:

$\,C\;{\big \lrcorner }\;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}$   (the αριστερή συστολή)

$\,C\;{\big \llcorner }\;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}$   (the δεξιά συστολή)

$\,C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}$   (the το βαθμωτό γινόμενο)

$\,C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}$   (το γινόμενο της " (παχιάς)τελείας ")

$\,C\bullet _{H}D:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}$   (το εσωτερικό γινόμενο του Hestenes)

(Ντορστ 2002)έχει κανένα επιχείρημα για τη χρήση των συστολών κατά προτίμηση σε εσωτερικό γινόμενο Hestenes? είναι αλγεβρικά πιο τακτική και έχει καθαρότερες γεωμετρικές ερμηνείες.Ένας αριθμός των ταυτοτήτων που ενσωματώνουν τις συσπάσεις είναι έγκυρη, χωρίς περιορισμό των εισροών τους.Τα οφέλη από τη χρήση της αριστερής συστολής ως προέκταση του εσωτερικού γινομένου επί φορέων περιλαμβάνουν ότι η ταυτότητα$ab=a\cdot b+a\wedge b$ επεκτείνεται σε $aB=a\;{\big \lrcorner }\;B+a\wedge B$ για κάθε διάνυσμα a και πολυδιανύσμα B, και αυτήν την projection λειτουργίας ${\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b$ επεκτείνεται σε ${\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;{\big \lrcorner }\;B^{-1})\;{\big \lrcorner }\;B$ για κάθε διάνυσμα A και B (με μια μικρή τροποποίηση για να φιλοξενήσει τη δοσμένη βάση B)