Θεωρία αριθμών

Πρότυπο:Επιστημονικό πεδίο Η Θεωρία των αριθμών είναι ένας κλάδος των καθαρών μαθηματικών αφιερωμένος κατά κύριο λόγο με τη μελέτη των ακεραίων. Οι Θεωρητικοί μελετούν τους πρώτους αριθμούς, καθώς και τις ιδιότητες των αντικειμένων που κατασκευάζονται από ακεραίους (π.χ. ορθολογικοί αριθμοί) ή ορίζονται ως γενικεύσεις των ακεραίων (π.χ., αλγεβρικοί ακέραιοι)

Το αντικείμενο της Θεωρίας

Οι Ακέραιοι μπορεί να θεωρηθούν είτε από μόνοι τους είτε ως λύσεις εξισώσεων (Diophantine γεωμετρία). Οι ερωτήσεις στη θεωρία αριθμών γίνονται συχνά καλύτερα κατανοητές μέσα από τη μελέτη της αναλυτική των αντικείμενων (π.χ., η Ζήτα συνάρτηση) που κωδικοποιεί τις ιδιότητες των ακεραίων και των πρώτων ή άλλες θεωρίες αριθμών αντικειμένων με κάποιο τρόπο (αναλυτική αριθμοθεωρία). Κάποιος μπορεί να μελετήσει, επίσης, πραγματικούς αριθμούς σε σχέση με τους ορθολογικούς αριθμούς, π.χ., όπως προσεγγίζεται από την τελευταία (Diophantine προσέγγιση).

Ο παλαιότερος όρος για αριθμό θεωρία είναι αριθμητική. Από τις αρχές του εικοστού αιώνα, είχε αντικατασταθεί από το "Θεωρία Αριθμών". </ref Group=note> Ήδη από το 1921, T. L. Heath έπρεπε να εξηγήσει: ". Με αριθμητική, εννοούσε ο Πλάτων, δεν είναι η αριθμητική λογική μας, αλλά η επιστήμη που εξετάζει τους αριθμούς από μόνους τους, με άλλα λόγια, ότι εννοούμε με τη θεωρία των αριθμών" (Heath 1921, σελ. 13) </ ref> (Η λέξη «αριθμητική» χρησιμοποιείται από το ευρύ κοινό και σημαίνει "στοιχειώδες υπολογισμοί" έχει αποκτήσει και άλλες έννοιες στη μαθηματική λογική, την αριθμητική Πεάνο, και επιστήμη υπολογιστών, όπως και το κυμαινόμενο αριθμητική σημείο.) Η χρήση του όρου αριθμητική για την αριθμητική θεωρία ανέκτησε κάποιο έδαφος κατά το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, αναμφισβήτητα οφείλεται εν μέρει σε γαλλική επιρροή. </ref group=note> Πάρτε, π.χ. Serre 1973. Το 1952, Davenport έπρεπε ακόμη να διευκρινιστεί ότι εννοούσε Το Ανώτερο Αριθμο. Hardy και Wright έγραψαν στην εισαγωγή τους στο Μια Εισαγωγή στη θεωρία των αριθμών (1938): «Προτείναμε κάποια στιγμή να αλλάξει [ο τίτλος] για να Μια εισαγωγή στην αριθμητική, μια πιο νέα και κατά κάποιο τρόπο ένα πιο κατάλληλο τίτλο, αλλά επισημάνθηκε ότι αυτό θα μπορούσε να οδηγήσει σε παρανοήσεις σχετικά με το περιεχόμενο του βιβλίου ». (Hardy & Wright 2008) </ ref> Ειδικότερα,το αριθμητικό προτιμάται ως επίθετο για την θεωρίας αριθμών.

Ιστορία

Origins

Dawn της αριθμητικής

Η πρώτη ιστορική εύρεση μιας αριθμητικής φύσης είναι ένα κομμάτι ενός πίνακα: ή σπασμένη πήλινη Plimpton 322 (. Larsa, στη Μεσοποταμία, περίπου 1800 π.Χ.) περιέχει έναν κατάλογο «πυθαγόρειες τριάδες", δηλαδή, ακέραιοι integers $\scriptstyle (a,b,c)$ such that $\scriptstyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Τα τρίκλινα είναι πάρα πολλά και πολύ μεγάλα για να έχουν ληφθεί από την ωμή βία. Η επικεφαλίδα πάνω από την πρώτη στήλη αναφέρει: "Η takiltum της διαγωνίου που έχει αφαιρείται έτσι ώστε το πλάτος ..." </ref> Neugebauer & Sachs 1945, σελ. 40. Ο όρος takiltum είναι προβληματικός. Robson προτιμά την απόδοση «Η κατοχή-τετράγωνο της διαγωνίου από τα οποία 1 σχιστεί έξω, έτσι ώστε η μικρή πλευρά έρχεται ..." Robson 2001, σελ. 192. </ Ref>

Η Plimpton 322 δισκία

Την διάταξη του τραπεζιού προτείνει ο </ref> Robson 2001, σελ. 189. Άλλες πηγές δίνουν τον σύγχρονο τύπο $\scriptstyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})$. Van der Waerden δίνει τόσο το σύγχρονο τύπο και αυτό που ισοδυναμεί με τη μορφή που προτιμάται ο Robson (van der Waerden 1961, σελ. 79). </ Ref> που κατασκευάστηκε με τη βοήθεια ποσοτήτων, στη σύγχρονη γλώσσα , την ταυτότητα

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

η οποία είναι αυτονόητη στη ρουτίνα των Παλιών ασκήσεων των Βαβυλωνίων . Εάν κάποια άλλη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε, </ref> Neugebauer (Neugebauer 1969, σελίδες 36-40) ασχολείται με τον πίνακα στην λεπτομέρεια και αναφέρει το πέρασμα από μέθοδο του Ευκλείδη στη σύγχρονη σημειογραφία (Neugebauer 1969, σελ. 39) </ ref> τα τρίκλινα κατασκευάστηκαν για πρώτη φορά και στη συνέχεια αναδιατάσσονται από $c/a$, προφανώς για την πραγματική χρήση ως «πίνακα», δηλαδή, με σκοπό τις εφαρμογές.

Δεν είναι γνωστό ποιες είναι αυτές οι εφαρμογές που μπορεί να έχουν, ή αν θα μπορούσε να υπάρξει κάποια Βαβυλωνιακή αστρονομία, για παράδειγμα, πραγματικά άνθισαν μόνο αργότερα. Έχει προταθεί, αντίθετα, ότι ο πίνακας ήταν μια πηγή των αριθμητικών παραδειγμάτων για τα προβλήματα του σχολείου . </ref Group=note> Robson 2001, σελ. 201 . Αυτό είναι αμφιλεγόμενο. Δείτε Plimpton 322. Το άρθρο Robson είναι γραμμένο επιθετικά (Robson 2001, σελ. 202​​) με σκοπό να «ίσως [...] χτυπούν [Plimpton 322] από το βάθρο της" {{harv | Robson | 2001 | p = 167} }? την ίδια στιγμή, που εγκαθιστά στο συμπέρασμα ότι

[...] το ερώτημα «πώς ήταν το tablet υπολογίζεται;" δεν πρέπει να έχουν την

ίδια απάντηση στο ερώτημα «τι προβλήματα έχει το σύνολο tablet;" Η πρώτη μπορεί να απαντηθεί πιο ικανοποιητικά από αμοιβαία ζεύγη, ως πρώτος πρότεινε πριν από μισό αιώνα, και το δεύτερο με κάποιο είδος δεξιού τριγώνου προβλήματα (Robson 2001, σελ. 202​​). </ blockquote> Robson παίρνει το θέμα με την έννοια ότι ο γραφέας που παράγεται Plimpton 322 (που έπρεπε να «δουλεύουν για να ζουν», και δεν θα ανήκε σε μια «αβίαστο μεσαία τάξη») θα μπορούσαν να έχουν κίνητρο από την δική τους «απλή περιέργεια» στην απουσία "της αγοράς για τα νέα μαθηματικά" (Robson 2001, σελίδες 199-200). </ ref>

Ενώ η βαβυλωνιακή θεωρία αριθμών ή ό, τι σώζεται από Βαβυλώνας μαθηματικά που μπορεί να ονομαστεί έτσι, αποτελείται από αυτό το ενιαίο, εντυπωσιακό κομμάτι, βαβυλωνιακή άλγεβρα (στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση η αίσθηση της «άλγεβρα») ήταν εξαιρετικά ανεπτυγμένη. Πρότυπο:SFN Αργά πηγές Νεοπλατωνική </ref name="vanderW2"> Ιάμβλιχος, Η ζωή του Πυθαγόρα, (μτφρ. π.χ. {{harvnb | Guthrie | 1987} }) που αναφέρονται στο van der Waerden 1961, σελ. 108. Δείτε επίσης Πορφύριος, Η ζωή του Πυθαγόρα, παράγραφος 6, στο Guthrie 1987 Van der Waerden (van der Waerden 1961, σελίδες 87-90) στηρίζει την άποψη ότι η Thales γνώριζαν βαβυλώνια μαθηματικά </ ref> αναφέρουν ότι ο Πυθαγόρας έμαθε μαθηματικά από τους Βαβυλώνιους.. Πολύ νωρίτερα πηγές </ref name="stanencyc"> Ηρόδοτος (II. 81) και Ισοκράτης ( Βούσιρις 28), παρατίθεται στο: Huffman 2011. Στις Thales, βλέπε Ευδήμου ap. Ο Πρόκλος, 65.7, (π.χ. Morrow 1992, σελ. 52) που αναφέρονται στο: O'Grady 2004, σελ. 1. Ο Πρόκλος χρησιμοποιούσε ένα έργο από Εύδημος της Ρόδου (χαμένες σήμερα), ο κατάλογος των γεωμετρών. Βλ., επίσης, την εισαγωγή, Morrow 1992, σελ. xxx για reliabilty Πρόκλου »</ ref> αναφέρουν ότι ο Θαλής και Πυθαγόρας ταξίδεψαν και σπούδασαν στην Αίγυπτος..

Euclid IX 21-34 είναι πολύ πιθανόν Πυθαγόρειο? </ref Name="Becker"> Becker 1936, σελ. 533, παρατίθεται στο: van der Waerden 1961, σελ. 108 . </ ref> είναι πολύ απλό υλικό («περίεργο φορές είναι ακόμη ακόμη", "αν μια περίεργη μέτρα αριθμός [= χωρίζει] ζυγό αριθμό, τότε μετρά επίσης [= χωρίζει] το μισό από αυτό»), αλλά είναι το μόνο που χρειάζεται να αποδείξει ότι $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ είναι παράλογη . Πυθαγόρειοι μυστικιστές έδωσαν μεγάλη σημασία στην περίεργη και ακόμα . Η ανακάλυψη ότι $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ είναι παράλογη πιστώνεται στις αρχές των Πυθαγόρειων (pre- Θεόδωρος). </ref Name="Thea"> Πλάτωνα, "«Θεαίτητος, p. 147 B, (π.χ. Jowett 1871), που αναφέρεται σε von Fritz 2004, σελ. 212: "Θεόδωρος έγραφε για μας κάτι για τις ρίζες, όπως οι ρίζες των τριών ή πέντε ετών, που δείχνει ότι είναι ασύγκριτα από τη μονάδα? ..." Δείτε επίσης Σπείρα Θεόδωρος </ ref> Με την αποκάλυψη (με σύγχρονους όρους) ότι οι αριθμοί θα μπορούσαν να είναι παράλογη, αυτή η ανακάλυψη φαίνεται να έχουν προκαλέσει την πρώτη θεμελιακή κρίση στη μαθηματική ιστορία?. Απόδειξη ή κοινολόγηση της είναι μερικές φορές πιστώνεται στο Hippasus, ο οποίος είχε απελαθεί ή χωρίζεται από το Πυθαγόρειο αίρεση Πρότυπο:SFN. είναι μόνο εδώ ότι μπορούμε να αρχίσουμε να μιλάμε για μια ισχυρή και συνειδητή κατανομή μεταξύ αριθμοί (ακέραιοι και οι ρητοί-τα θέματα της αριθμητικής) και μήκη (πραγματικούς αριθμούς, είτε ορθολογική ή μη).

Η Πυθαγόρεια παράδοση μίλησε, επίσης,για τους λεγόμενους πολυγωνικούς ή εικονιστικούς αριθμούς Ενώ η πλατεία αριθμούς, κυβικά αριθμούς, κλπ. , θεωρούνται πλέον ως πιο φυσικό από τριγωνικών αριθμών, τετράγωνοι αριθμοί, πεντάγωνο αριθμούς, κλπ., η μελέτη των ποσών τριγωνικών και πενταγωνικών αριθμών θα αποδειχθεί γόνιμη στις αρχές της σύγχρονης περιόδου (17ο έως τις αρχές του 19ου αιώνα).

Δεν γνωρίζουμε κανένα σαφή αριθμητικό υλικό αρχαίας Αιγύπτου ή Vedic πηγές, αν υπάρχει κάποια άλγεβρα και στις δύο. Το Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων εμφανίζεται ως μια άσκηση </ref> Sun Zi, Suan Ching, κεφάλαιο 3, Πρόβλημα 26. Αυτό μπορεί να βρεθεί σε Lam & Ang 2004, σελίδες 219-220, το οποίο περιέχει μια πλήρη μετάφραση του Suan Ching (με βάση Qian 1963). Βλέπε επίσης τη συζήτηση στο Lam & Ang 2004, σελίδες 138-140 </ ref> στο Sun Zi. 'S Suan Ching (επίσης γνωστή ως Η Μαθηματική Classic της Sun Zi (3ο, 4ο ή 5ο αιώνα μ.Χ..) </ref name="YongSe"> Η ημερομηνία του κειμένου έχει περιοριστεί στο 220-420 μ.Χ. (Yan Dunjie) ή στο 280-473 μ.Χ. (Wang Ling) μέσω των εσωτερικών στοιχείων (= φορολογικών συστημάτων που ανέλαβε το κείμενο) Βλέπε Lam & Ang 2004, σελίδες 27-28.. </ ref> (υπάρχει ένα σημαντικό βήμα παραβλέψαμε σε λύση της Sun Zi είναι:. </ref group=note> Sun Zi, Suan Ching, Κεφ. 3, πρόβλημα 26,

σε Lam & Ang 2004, σελίδες 219-220:

[26] Τώρα υπάρχει ένας άγνωστος αριθμός των πράγματα. Αν μετρήσουμε από τριάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 2? Αν μετρήσουμε από πεντάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 3? Αν μετρήσουμε από εφτάρια, υπάρχει ένα υπόλοιπο 2. Βρείτε τον αριθμό των πραγμάτων. Απάντηση : 23.

Μέθοδος: Αν μετρήσουμε από τριάρια και υπάρχει ένα υπόλοιπο 2, κατέβασε 140. Αν μετρήσουμε από πεντάρια και υπάρχει υπόλοιπο 3, κατέβασε 63. Αν μετρήσουμε από εφτάρια και υπάρχει ένα υπόλοιπο 2, κατέβασε 30. Προσθέτουμε ώστε να αποκτήσουν 233 και αφαιρέσουμε 210 για να πάρουμε την απάντηση. Αν μετρήσουμε από τριάρια και υπάρχει ένα υπόλοιπο 1, κατεβάζουμε 70. Αν μετρήσουμε από πεντάρια και υπάρχει υπόλοιπο 1, κατεβάζουμε 21. Αν μετρήσουμε από εφτάρια και υπάρχει ένα υπόλοιπο 1, κατεβάζουμε 15. Όταν ο [αριθμός a] υπερβαίνει το 106, το αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με την αφαίρεση 105 </ blockquote> </ ref> αυτό είναι το πρόβλημα που αργότερα επιλυθεί με Αριαμπάτα s 'kuṭṭaka - βλ. . κατωτέρω)

Αυτό είναι το τελευταίο πρόβλημα στην Sun Zi είναι διαφορετικά matter-of-fact πραγματεία. </ Ref>, αλλά, σε αντίθεση με εκείνη των Πυθαγορείων, φαίνεται να δεν οδήγησαν πουθενά. Όπως στους τέλειους αριθμούς των Πυθαγορείων », μαγικά τετράγωνα έχουν περάσει από την δεισιδαιμονία στην αναψυχή.

Κλασική Ελλάδα και η πρώιμη Ελληνιστική περίοδο

Εκτός από λίγα θραύσματα, τα μαθηματικά της κλασικής Ελλάδα είναι γνωστή σε μας είτε μέσω των μη μαθηματικών εκθέσεων της σύγχρονης εποχής ή μέσω μαθηματικών έργων από την πρώιμη ελληνιστική περίοδο . Στην περίπτωση της θεωρίας των αριθμών, αυτό σημαίνει ότι, σε γενικές γραμμές είναι γνωστά σε εμάς μέσω του Πλάτων και Ευκλείδης, αντίστοιχα.

Ο Πλάτων είχε ένα έντονο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, και διακρίνονται σαφώς μεταξύ της αριθμητικής και του υπολογισμού. (Με την αριθμητική εννοούσε, εν μέρει,τη θεωρητικοποίηση σχετικά με τον αριθμό, αντί για αυτό αριθμητική ήαριθμό θεωρίας έχουν καταλήξει να σημαίνει.) Είναι μέσω ενός από τους διαλόγους του Πλάτωνα, δηλαδή, Θεαίτητος - που γνωρίζουμε ότι Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι $\scriptstyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ είναι παράλογες.Ο Θεαίτητος ήταν, όπως ο Πλάτωνας, ένας μαθητής από το Θεόδωρο? Εργάστηκε στη διάκριση διαφόρων ειδών incommensurables, και ήταν επομένως αναμφισβήτητα πρωτοπόρος στη μελέτη του αριθμού συστήματος. (Βιβλίο Χ της Στοιχεία του Ευκλείδη περιγράφεται από τον Πάππου. Ως βασίζονται σε μεγάλο βαθμό στο έργο του Θεαίτητος)

Ο Ευκλείδης αφιέρωσε ένα μέρος της Elements του στους προνομιακούς αριθμούς και τη διαιρετότητα, θέματα που ανήκουν σαφώς στη θεωρία αριθμών και τις βασικές αρχές αυτές στα(Βιβλία VII έως IX του Στοιχεία του Ευκλείδη). Συγκεκριμένα, έδωσε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών (ο αλγόριθμος του Ευκλείδη? Στοιχεία, Πρότ VII.2) και την πρώτη γνωστή απόδειξη του,η [απεραντοσύνη [των πρώτων αριθμών] ] ( Στοιχεία, Πρότ IX.20).

Το 1773,ο Lessing δημοσίευσε ένα επίγραμμα που είχε βρεθεί σε ένα χειρόγραφο κατα την διάρκεια της εργασίας του ως βιβλιοθηκάριος? Ισχυρίστηκε ότι είναι μια επιστολή που απέστειλε ο Αρχιμήδης στο [[Ερατοσθένης] ] Πρότυπο:SFN. Πρότυπο:SFN Το επίγραμμα που προτείνει αυτό που έχει γίνει γνωστό ως Βοοειδή πρόβλημα του Αρχιμήδη '?Η λύση του (απουσιάζει από το χειρόγραφο), απαιτεί την επίλυση μιας ασαφούς εξίσωσης (που μειώνει σε ό,τι αργότερα θα misnamed εξίσωση Pell του). Σε ό, τι γνωρίζουμε, όπως εξισώσεις για πρώτη φορά με επιτυχία αντιμετωπίζεται από την Ινδικό σχολείο. Δεν είναι γνωστό εάν ο Αρχιμήδη ο ίδιος είχε μια μέθοδο διαλύματος.

Διόφαντος

Αρχείο:. Διόφαντος-cover.jpg

Σελίδα τίτλου της έκδοσης 1621 του «Διόφαντος Αριθμητικά, μεταφράζεται σε Λατινικά από το Claude Gaspard de Bachet Méziriac

Πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με τονΔιόφαντου της Αλεξάνδρειας? Που πιθανότατα έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ., δηλαδή, περίπου πεντακόσια χρόνια μετά τον Ευκλείδη. Έξι από τα δεκατρία βιβλία του Διοφάντου Αριθμητικά επιβιώσαν στο πρωτότυπο κείμενο στα ελληνικά.Τέσσερα βιβλία επιβιώσαν σε μια αραβική μετάφραση. Η Arithmetica είναι μια συλλογή από λυμένα προβλήματα, όπου ο στόχος είναι πάντα να βρούμε λογικές λύσεις σε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μορφή $\scriptstyle f(x,y)=z^{2}$ or $\scriptstyle f(x,y,z)=w^{2}$. Έτσι, στις μέρες μας, μιλάμε για Diophantine εξισώσεις όταν μιλάμε για πολυωνυμικές εξισώσεις στις οποίες ορθολογικοί ή ακέραιος πρέπει να βρεθούν ως λύσεις.

Κάποιος μπορεί να πει ότι Διόφαντος σπούδαζε ορθολογικά σημεία - δηλαδή, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι λογικό - να είναι καμπύλη s και αλγεβρικό ποικιλίες.Ωστόσο, σε αντίθεση με τους Έλληνες της κλασικής εποχής, που έκανε ό,τι θα αποκαλούσαμε τώρα βασική άλγεβρα και γεωμετρικά χαρακτηριστικά.Ο Διόφαντος έκανε αυτό που θα ονομάζαμε σήμερα βασικό αλγεβρική γεωμετρία με καθαρά αλγεβρικό όρους. Στη σύγχρονη γλώσσα, τι έκανε ο Διόφαντος όταν ήταν να βρει ορθολογική parametrizations των ποικιλιών? Δηλαδή, δίνεται μια εξίσωση της μορφής (ας πούμε) $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$,και ο στόχος του ήταν να βρει (στην ουσία) τρεις ορθολογική λειτουργίες $\scriptstyle r$ and $\scriptstyle s$ τέτοια ώστε, για όλες τις τιμές της $\scriptstyle x_{i}=g_{i}(r,s)$, θέτοντας $\scriptstyle i=1,2,3$ δίνει μια λύση για $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Ο Διόφαντος μελέτησε επίσης τις εξισώσεις μερικών μη ορθολογικών καμπύλών, για τις οποίες δεν υπάρχει ορθολογική παραμετροποίηση όσο είναι δυνατόν. Κατάφερε να βρει κάποια λογικά σημεία σε αυτές τις καμπύλες (ελλειπτικών καμπυλών, όπως συμβαίνει, σε ό, τι φαίνεται να είναι η πρώτη γνωστή εμφάνιση τους) μέσω αυτού που ανέρχεται σε εφαπτόμενη κατασκευής: μεταφράζεται σε γεωμετρία συντεταγμένων (η οποία δεν υπήρχε στο χρόνο Diophantus '), η μέθοδος του θα απεικονιστεί αφού χαραχθεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα γνωστό ορθολογική σημείο, και στη συνέχεια βρίσκοντας το άλλο σημείο της τομής της εφαπτομένης με την καμπύλη δηλαδή ότι το άλλο στοιχείο είναι ένα νέο ορθολογική σημείο. (Ο Διόφαντος κατέφυγε επίσης σε ό,τι θα μπορούσε να ονομαστεί σήμερα σαν μια ειδική περίπτωση μιας τέμνουσας κατασκευής.)

Ενώ ο Διόφαντος ήταν εν πολλοίς με λογικές λύσεις, ανέλαβε κάποια αποτελέσματα σχετικά με ακέραιους αριθμούς, μεταξύ άλλων, ότι κάθε ακέραιος είναι το άθροισμα των τεσσάρων τετραγώνων (αν και ποτέ δεν δήλωσε τόσο ρητά).

Indian School: Αριαμπάτα, Brahmagupta, Bhaskara

Ενώ η ελληνική αστρονομία-χάρη στον Αλέξανδρος και τις κατακτήσεις και πιθανώς επηρεασμένος απο την ινδική μάθηση, και το μέχρι τοτε σημείο της εισαγωγής της τριγωνομετρίας, Πρότυπο:SFN φαίνεται να είναι η περίπτωση ότι τα ινδικά μαθηματικά είναι διαφορετικά την εγχώρια παράδοση. </ref name="Plofbab"> Κάθε πρώιμη επαφή μεταξύ των Βαβυλωνίων και των ινδικών μαθηματικών παραμένει εικαστική (Plofker 2008, σελ. 42) </ ref> ειδικότερα,αφού δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι τα στοιχεία του Ευκλείδη έφθασαν στην Ινδία πριν από το 18ο αιώνα Πρότυπο:SFN.

Ο Αριαμπάτα (476-550 CE), έδειξε ότι ζεύγη των ταυτόχρονων ισοτιμιών $\scriptstyle n\equiv a_{1}{\pmod {m}}_{1}$, $\scriptstyle n\equiv a_{2}{\pmod {m}}_{2}$ θα μπορούσε να λυθεί με μια μέθοδο που ονομάζεται kuṭṭaka, ή ψεκαστήρας </ref> Αριαμπάτα, Aryabhatiya, κεφάλαιο 2, στίχοι 32-33, παρατίθεται στο: Plofker 2008, σελίδες 134-140. Δείτε επίσης Clark 1930, σελίδες 42-50. Μια ελαφρώς πιο σαφής περιγραφή του kuṭṭaka δόθηκε αργότερα στον Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3-5 (στο Colebrooke 1817, σελ. 325, που αναφέρεται στο Clark 1930) </ ref> Αυτό είναι μια διαδικασία (μια γενίκευση) του αλγόριθμος του Ευκλείδη, η οποία ανακαλύφθηκε πιθανότατα ανεξάρτητα από την Ινδία Πρότυπο:SFN.Ο Αριαμπάτα φαίνεται να είχε στο μυαλό εφαρμογές σε αστρονομικούς υπολογισμούς Πρότυπο:SFN

Ο Brahmagupta (628 CE) ξεκίνησε την συστηματική μελέτη του αορίστου τετραγωνικής εξισώσεις, ιδίως, η misnamed εξίσωση Pell, όπου ο Αρχιμήδης μπορεί να είχε προηγουμένως ενδιαφέρθει, και το οποίο δεν λύθηκε στη Δύση μέχρι την εποχή του Fermat και Euler. Αργότερα σανσκριτικοί συγγραφείς θα ακολουθήσουν, χρησιμοποιώντας τεχνική ορολογίας Brahmagupta του. Μια γενική διαδικασία (το chakravala, ή «κυκλική μέθοδος") για την επίλυση της εξίσωσης Pell όταν τελικά βρέθηκε από Jayadeva (αναφέρεται στην ενδέκατο αιώνα? Το έργο του ηταν διαφορετικά χάνεται)? Η πρώτη έκθεση επιζών εμφανίζεται στο [ . [Bhaskara II]] 's Bija-Ganita (το δωδέκατο αιώνα) Πρότυπο:SFN

Δυστυχώς, τα ινδικά μαθηματικά παρέμειναν σε μεγάλο βαθμό άγνωστα στη Δύση μέχρι το τέλος του δέκατου όγδοου αιώνα καθώς ο Πρότυπο:SFN Brahmagupta και το έργο Bhaskara είχε μεταφραστεί στα Αγγλικά το 1817 από Henry Colebrooke . Πρότυπο:SFN

Arithmetic in the Islamic golden age

Al-Haytham seen by the West: frontispice of Selenographia, showing Alhasen [sic] representing knowledge through reason, and Galileo representing knowledge through the senses.

Στις αρχές του ένατου αιώνα, ο χαλίφης Al-Ma'mun διέταξε να γίνουν μεταφράσεις πολλών Ελλήνων μαθηματικών έργων και τουλάχιστον ένα σανσκριτικά εργασίας (η Sindhind, η οποία μπορεί να </ref> Colebrooke 1817, σελ. LXV, αναφέρεται στην Hopkins 1990, σελ. 302. Δείτε επίσης τον πρόλογο στο Sachau 1888 αναφέρεται στην Smith 1958, σελίδες 168 </ ref> ή δεν μπορεί Weil 1984, σελ. 118.. Αυτό ήταν περισσότερο στην θεωρία αριθμών από ό, τι σε άλλους κλάδους (παρατήρηση Mahoney 1994, σελ. 284). Δικές του αποδείξεις Bachet ήταν "γελοία αδέξια" (Weil 1984, σελ. 33) </ ref> Έκανε την επανειλημμένη χρήση της μαθηματικής επαγωγής, με την εισαγωγή της μεθόδου της άπειρη κάθοδο..

Ένα από τα πρώτα ενδιαμφερόντων του Fermat ήταν ο τέλειος αριθμός s (που εμφανίζονται σε Euclid, Στοιχεία IX) και οι φιλικοί αριθμοί ? </ref Group=note> Perfect και ιδιαίτερα οι φιλικό αριθμοί οι οποιοι έχουν μικρό ή καθόλου ενδιαφέρον στις μέρες μας. Το ίδιο δεν ίσχυε στο μεσαίωνα - είτε στη Δύση ή τον αραβόφωνων κόσμο - εν μέρει λόγω της σημασίας που αποδίδεται σε αυτούς από το Neopythagorean (και ως εκ τούτου μυστικιστική) Νικομάχου (περ. 100 CE), ο οποίος έγραψε ένα πρωτόγονο αλλά με επιρροή »Εισαγωγή στην Αριθμητική". Βλ. van der Waerden 1961, Ch. IV. </ Ref> αυτό τον οδήγησε να εργαστεί στο ακέραιο διαιρέτης s, η οποία ήταν από την αρχή μεταξύ των θεμάτων της αλληλογραφία (1636 και μετά) που τον έφερε σε επαφή με τη μαθηματική κοινότητα της ημέρας </ref> Mahoney 1994, σελίδες 48, 53-54.. Τα πρώτα θέματα της αλληλογραφίας του Φερμά περιλαμβάνουν διαιρέτες ("μέρη δείγμα») και πολλά θέματα εκτός της θεωρία αριθμών.Δείτε τη λίστα με επιστολή του Fermat σε Roberval, 22.IX.1636, Βυρσοδεψείο & Henry 1891, νοί. II, σελ. 72, 74, αναφέρεται στην Mahoney 1994, σελ. 54 </ ref> Είχε ήδη προσεκτικά μελετηθεί ο Bachet. S 'έκδοση του Διόφαντου Πρότυπο:SFN από το 1643, τα συμφέροντά του είχαν μετατοπιστεί σε μεγάλο βαθμό στα Diophantine προβλήματα και τα ποσά των τετραγώνων Πρότυπο:SFN (επίσης να αντιμετωπίζονται με τις θεωρείς του Διόφαντος ).

Επιτεύγματα του Φερμά στην αριθμητική περιλαμβάνουν:

• Μικρό θεώρημα του Φερμά (1640), </ref> Βυρσοδεψείο & Henry 1891, Vol. II, p. 209, Επιστολή XLVI από Fermat σε Frenicle, 1640,

αναφέρεται στην Weil 1984, σελ. 56 </ ref> αναφέροντας ότι, αν ένα δεν είναι διαιρετό από μια προνομιακή p, τότε $\scriptstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$ Βυρσοδεψείο & Henry 1891, Vol. II, p. 204, αναφέρεται στον Weil 1984, σελ. 63. Όλες οι ακόλουθες αναφορές από το Βαρειά Φερμά Opera έχουν ληφθεί από τον Weil 1984, Chap. II. Το πρότυπο Βυρσοδεψείο & Henry έργο που περιλαμβάνει την αναθεώρηση του Φερμά μεταθανατών Βαρειά Opera Mathematica αρχικά παρασκευάστηκε από το γιο του (Fermat 1679) </ ref> και Κάθε προνομιακή συμφονία με 1 modulo 4. μπορεί να γραφτεί στη μορφή $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$ Πρότυπο:SFN Αυτές οι δύο δηλώσεις χρονολογούνται επίσης και από το 1640.Το 1659,ο Fermat δήλωσε στην Huygens ότι είχε αποδείξει την τελευταία δήλωση του, [μέθοδος [καθόδου]] Πρότυπο:SFN ​​Fermat και Frenicle έκαναν επίσης κάποια εργασία με (μερικές από τις εσφαλμένες ή μη αυστηρές) Πρότυπο:SFN σε άλλες τετραγωνικές μορφές.

Ο Fermat θέτει το πρόβλημα της επίλυσης $\scriptstyle x^{2}-Ny^{2}=1$ ως πρόκληση για τους Αγγλους μαθηματικους (1657). Το πρόβλημα λύθηκε μέσα σε λίγους μήνες από Wallis και Brouncker Πρότυπο:SFN.Ο Fermat θεωρησε την λύση τους έγκυρη, αλλά επεσήμανε ότι είχε παράσχει έναν αλγόριθμο χωρίς απόδειξη (όπως είχαν Jayadeva και Bhaskara, αν και ο Fermat ποτέ δεν θα το γνωρίζε αυτό.) Δηλώνει ότι η απόδειξη μπορεί να βρεθεί από την κάθοδο.

• Ο Fermat ανάπτυξε μεθόδους για (να κάνει ό, τι στην άποψη μας) την εξεύρεση σημείων σε καμπύλες γένος 0 και 1. Όπως και στο Διόφαντο, υπάρχουν πολλές ειδικές διαδικασίες και μια εφαπτόμενη κατασκευή, αλλά όχι τη χρήση ενός secant κατασκευής Πρότυπο:SFN

• Ο Fermat δηλώνει και αποδεικνύει (από κάθοδο) στο προσάρτημα Παρατηρήσεις για Διόφαντος (Obs. XLV) Πρότυπο:SFN ότι $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{4}$ δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις στους ακέραιους.Ο Fermat ανέφερε επίσης στους ανταποκριτές του ότι $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=z^{3}$ δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις, και ότι αυτό θα μπορούσε να αποδειχθεί από την κάθοδο Πρότυπο:SFN. Η πρώτη γνωστή απόδειξη οφείλεται σε Euler (1753 και μάλιστα με την κάθοδό) Πρότυπο:SFN.

Ο ισχυρισμός του Φερμά ("Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά") το οποίο δείχνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις που να $\scriptstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}$ για όλους $\scriptstyle n\geq 3$ (γεγονός που οι μόνες γνωστές αποδείξεις από τις οποίες ήταν εντελώς πέρα ​​από τις μεθόδους του) εμφανίζεται μόνο στις σημειώσεις του στο περιθώριο του αντιγράφου του Διοφάντου ο ίδιος ποτέ δεν ισχυρίστηκε αυτό σε άλλους Πρότυπο:SFN και ως εκ τούτου δεν θα είχαν ανάγκη να υποχωρούν, αν βρεθεί κάποιο λάθος στο έργο του υποτιθέμενη απόδειξη.

Euler

Leonhard Euler

Κριτήρια διαιρετότητας

Η μελέτη της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών μπορεί να μας δώσει κάποια κριτήρια διαιρετότητας για τους ακεραίους. Για παράδειγμα ένας αριθμός είναι άρτιος (διαιρείται με το 2) αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο (0, 2, 4, 6, 8). Αντίστοιχα ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, τότε το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για το 9.

Τα κριτήρια αυτά μας βοηθάνε να κάνουμε υπολογισμούς χρήσιμους στη Θεωρία Αριθμών ταχύτερα.