Μικρό θεώρημα του Φερμά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

To Μικρό θεώρημα του Φερμά αναφέρει πως αν ο p είναι πρώτος αριθμός, τότε για οποιονδήποτε ακέραιο a ο αριθμός apa είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του p. Με το συμβολισμό της αριθμητικής για τα ισοϋπόλοιπα, αυτό γράφεται ως:

Για παράδειγμα, αν a = 2 και p = 7, τότε 27-2 = 128−2 = 126 = 7 × 18, που είναι πολλαπλάσιο του 7.

Αν το a δεν διαιρείται από το p, τότε το Μικρό θεώρημα του Φερμά είναι ισοδύναμο με το ότι το ap − 1 − 1 είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του p, ή με σύμβολα: [1][2]

Για παράδειγμα, αν a = 2 και p = 7, τότε 26-1 = 64−1 = 63 = 7 × 9, που είναι πολλαπλάσιο του 7.

Ο Φερμά στο Ζ5 παρατήρησε ότι 24=1, 34=1, 44=1, 54=0, 64=1, δηλ. α4=1 μόνο όταν το α δεν διαιρείται από το 5.

Το θεώρημα χρησιμοποιείται για να βρεθεί το υπόλοιπο μίας (μεγάλης) δύναμης με έναν πρώτο αριθμό. Για παράδειγμα, αν ψάχνουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 3100.000 με τον πρώτο αριθμό 53, από το θεώρημα έχουμε 352=1. Παρατηρούμε ότι 3100.000 ≡ 352 × 1923 + 4 ≡ (352)1923 × 34 ≡ 11923 × 34 ≡ 81 ≡ 28 (mod 53).

Αν θέλουμε να βρούμε το υπόλοιπο μίας (μεγάλης) δύναμης με οποιονδήποτε αριθμό, τότε θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα του Όιλερ, το οποίο είναι γενίκευση αυτού εδώ του θεωρήματος.

Το Μικρό θεώρημα του Φερμά είναι η βάση για τη "δοκιμή του Φερμά για το αν ένας αριθμός είναι πρώτος" και ένα από τα θεμελιώδη αποτελέσματα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθμών. Το θεώρημα ονομάστηκε από τον Πιέρ ντε Φερμά, που το διατύπωσε το 1640 και έλαβε το όνομα "μικρό θεώρημα" για να το ξεχωρίσουμε από το "τελευταίο θεώρημα" του Φερμά. Το απέδειξε ο Λέοναρντ Όιλερ το 1736, ο οποίος και το γενίκευσε με το Θεώρημα του Όιλερ. Το όνομα "μικρό θεώρημα του Φερμά" το έδωσε το 1913 ο Κουρτ Χένσελ.

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Long 1972, σελίδες 87–88.
  2. Pettofrezzo & Byrkit 1970, σελίδες 110–111.
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Fermat's little theorem της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).