Ακέραιος αριθμός

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:

$\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,...\}$

Συμβολίζεται με το γράμμα $\mathbb {Z}$, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Το σύνολο $\mathbb {Z}$ ορίζεται επίσης ως εξής: $\mathbb {Z} =\{x-y:x,y\in \mathbb {N} \}$

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο $\aleph _{0}$ (άλεφ-μηδέν).

Συμβολισμοί

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα $\mathbb {Z}$, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με $\mathbb {Z} ^{-}$, οι μη αρνητικοί με $\mathbb {Z} ^{*}$και οι θετικοί με $\mathbb {Z^{+}}$. Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο $\mathbb {I}$, εκτός από το συνήθες $\mathbb {Z}$.

Αλγεβρικές Ιδιότητες

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
$a+b\in \mathbb {Z}$	$a\times b\in \mathbb {Z}$	σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
$a+b=b+a\,$	$a\times b=b\times a$	αντιμεταθετική ιδιότητα
$a+(b+c)=(a+b)+c\,$	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$	προσεταιριστική ιδιότητα
$a+0=a\,$	$a\times 1=a$	ουδέτερο στοιχείο
$a+(-a)=0\,$	δεν υπάρχει	αντίθετο στοιχείο
$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$		επιμεριστική ιδιότητα

Διάταξη

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

$...<-2<-1<0<1<2<...$

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή

Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

$(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.$

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \,/\!\sim$ ορίζει τους ακέραιους αριθμούς $\mathbb {Z}$. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους $(a,b)$ τη συμβολίζουμε με $[(a,b)]$ ή $a-b$. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός $(a,b)$ είναι θετικός, όταν $a>b$, αρνητικός όταν $a<b$ και 0 όταν $a=b$. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)].\,$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].\,$

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:

$-[(a,b)]=[(b,a)].\,$

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

$[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow a+d<b+c.\,$

Πληθάριθμος

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο $\aleph _{0}$ (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

$f(x)={\begin{cases}2|x|,&x<0\\2x+1,&x\geq 0.\end{cases}}$

Δείτε επίσης

Σύνολο των

• φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$
• ρητών αριθμών $\mathbb {Q}$
• πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$
• μιγαδικών αριθμών $\mathbb {C}$.