Τέλειος αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλ. ο n είναι τέλειoς αν και μόνο αν σ(n) = 2n.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Οι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2, 3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6). Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.

Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128, 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176, 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216.

Άρτιοι τέλειοι αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2n−1(2n − 1):

Για n = 2:   21(22 − 1) = 6
Για n = 3:   22(23 − 1) = 28
Για n = 5:   24(25 − 1) = 496
Για n = 7:   26(27 − 1) = 8128

Παρατηρώντας ότι τα n στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2n−1(2n − 1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν το 2n − 1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο είναι πρώτος, τότε ο είναι πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2n − 1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (Mersenne), από το όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2n−1(2n − 1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι γνωστοί 48 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 48 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος από αυτούς - ο 48ος - αποτελείται από 17.425.170 ψηφία. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

Περιττοί τέλειοι αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

  • N είναι της μορφής
όπου q, p1, …, pk είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Όιλερ).
  • Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).
  • Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)
  • Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 108 (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).
  • Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 104 , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).
  • Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2ek επαναλήψεις του pk χωριστά (Kevin Hare 2005).
  • Ο N είναι μικρότερος από όπου n είναι ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10500 σύμφωνα με τους υπoλογισμούς του [1].

Κατάλογος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έως το 2016 υπήρχαν συνολικά 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Ο εκθέτης p του πρώτου αριθμού Μερσέν χρησιμοποιείται για την επαλήθευση τους με τον τύπο 2p−1× (2p − 1) όπου 2p − 1 αποτελεί πρώτο αριθμό Μερσέν. Όλοι οι ρητοί τέλειοι αριθμοί ακολουθούν αυτή την μορφή, και είναι άγνωστο εάν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί.[1][2][3][4] Η αναλογία p / σύνολο ψηφίων προσεγγίζει το log(10) / log(4) = 1.6609640474...

# p Τέλειος αριθμός Σύνολο ψηφίων Έτος Ανακαλύφθηκε από
1 2 6 1 4ος αιώνας π.Χ.[5] Ευκλείδης
2 3 28 2 4ος αιώνας π.Χ. Ευκλείδης
3 5 496 3 4ος αιώνας π.Χ. Ευκλείδης
4 7 8128 4 4ος αιώνας π.Χ. Ευκλείδης
5 13 33550336 8 1456 Σε μεσαιωνικό χειρόγραφο.[6][7]
6 17 8589869056 10 1588 Πιέτρο Κατάλντι[1]
7 19 137438691328 12 1588 Πιέτρο Κατάλντι[1]
8 31 2305843008139952128 19 1772 Λέοναρντ Όιλερ
9 61 265845599156...615953842176 37 1883 Ιβάν Περβούσιν
10 89 191561942608...321548169216 54 1911 Ραλφ Πάουερς
11 107 131640364585...117783728128 65 1914 Ραλφ Πάουερς
12 127 144740111546...131199152128 77 1876 Εντουάρ Λυκά
13 521 235627234572...160555646976 314 1952 Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
14 607 141053783706...759537328128 366 1952 Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
15 1.279 541625262843...764984291328 770 1952 Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
16 2.203 108925835505...834453782528 1.327 1952 Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
17 2.281 994970543370...675139915776 1.373 1952 Ράφαελ Μίτσελ Ρόμπινσον
18 3.217 335708321319...332628525056 1.937 1957 Χανς Ρίζελ
19 4.253 182017490401...437133377536 2.561 1961 Hurwitz
20 4.423 407672717110...642912534528 2.663 1961 Hurwitz
21 9.689 114347317530...558429577216 5.834 1963 Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
22 9.941 598885496387...324073496576 5.985 1963 Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
23 11.213 395961321281...702691086336 6.751 1963 Ντόναλντ Μπρους Γκίλις
24 19.937 931144559095...790271942656 12.003 1971 Μπράιαντ Τάκερμαν
25 21.701 100656497054...255141605376 13.066 1978 Noll & Nickel
26 23.209 811537765823...603941666816 13.973 1979 Noll
27 44.497 365093519915...353031827456 26.790 1979 Nelson & Slowinski
28 86.243 144145836177...957360406528 51.924 1982 Slowinski
29 110.503 136204582133...233603862528 66.530 1988 Colquitt & Welsh
30 132.049 131451295454...491774550016 79.502 1983 Slowinski
31 216.091 278327459220...416840880128 130.100 1985 Slowinski
32 756.839 151616570220...600565731328 455.663 1992 Slowinski & Gage
33 859.433 838488226750...540416167936 517.430 1994 Slowinski & Gage
34 1.257.787 849732889343...028118704128 757.263 1996 Slowinski & Gage
35 1.398.269 331882354881...017723375616 841.842 1996 Armengaud. Woltman. et al.
36 2.976.221 194276425328...724174462976 1.791.864 1997 Spence. Woltman. et al.
37 3.021.377 811686848628...573022457856 1.819.050 1998 Clarkson. Woltman. Kurowski. et al.
38 6.972.593 955176030521...475123572736 4.197.919 1999 Hajratwala. Woltman. Kurowski. et al.
39 13.466.917 427764159021...460863021056 8.107.892 2001 Cameron. Woltman. Kurowski. et al.
40 20.996.011 793508909365...578206896128 12.640.858 2003 Shafer. Woltman. Kurowski. et al.
41 24.036.583 448233026179...460572950528 14.471.465 2004 Findley. Woltman. Kurowski. et al.
42 25.964.951 746209841900...874791088128 15.632.458 2005 Nowak. Woltman. Kurowski. et al.
43 30.402.457 497437765459...536164704256 18.304.103 2005 Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.
44 32.582.657 775946855336...476577120256 19.616.714 2006 Cooper. Boone. Woltman. Kurowski. et al.
45 37.156.667 204534225534...975074480128 22.370.543 2008 Elvenich. Woltman. Kurowski. et al.
46 42.643.801 144285057960...837377253376 25.674.127 2009 Strindmo. Woltman. Kurowski. et al.
47 43.112.609 500767156849...221145378816 25.956.377 2008 Smith. Woltman. Kurowski. et al.
48 57.885.161 169296395301...626270130176 34.850.340 2013 Cooper. Woltman. Kurowski. et al.
49 74.207.281 451129962706...557930315776 44.677.235 2016 Cooper. Woltman. Kurowski. Blosser. et al.


Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Crilly, Tony (2007). 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing, σελ. 43. ISBN 978-1-84724-008-8. 
  2. Munch Pedersen, Jan (11 Sep 2006). «Known Perfect Numbers». http://amicable.homepage.dk/perfect.htm. Ανακτήθηκε στις 2009-09-16. 
  3. «Perfect Numbers». MIT. http://web.mit.edu/adorai/www/perfectnumbers.html. Ανακτήθηκε στις 2009-09-16. 
  4. Chris Caldwell. "Mersenne Primes: History. Theorems and Lists" at The Prime Pages. Retrieved 2016-01-19.
  5. The Penguin's Dictionary of curious and interesting numbers
  6. Munich. Bayerische Staatsbibliothek. CLM 14908. fol. 33
  7. Dickson, Leonard Eugene (1999-05-01). Divisibility and primality, σελ. 6. ISBN 9780821819340. https://books.google.com/books?id=D5GmC3zxeN0C&lpg=PR1&pg=PA6#v=onepage&q&f=false. Ανακτήθηκε στις 2011-04-13. 

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Takeshi Goto and Yasuo Ohno, Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108. Preprint, 2006. Διαθέσιμο εδώ: "Largest prime factor of an odd perfect number".
  • Kevin Hare, New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint, 2005. Διαθέσιμο εδώ: [2].
  • Douglas E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand," Mathematics of Computation, volume 68, issue 228, pages 1749–1760, 1999.
  • Douglas E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred," Mathematics of Computation, volume 69, issue 230, pages 867–879, 2000.
  • Pace P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers," Integers, vol. 3, A14, 9 pp. (electronic), 2003.
  • Pace P. Nielsen, Odd perfect numbers have at least nine different prime factors, arXiv:math.NT/0602485, 2006.
  • R. Steuerwald, Verscharfung einen notwendigen Bedingung fur die Existenz einen ungeraden vollkommenen Zahl, S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937, 69–72.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]