Διαιρέτης

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας ακέραιος αριθμός δ ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α, αν και μόνο αν ισχύει $\,a=\pi \delta$ $\,a=\pi \delta$ για κάποιον ακέραιο π. Ο π λέγεται πηλίκο της διαίρεσης. Συμβολίζουμε το παραπάνω ως $\,\delta |a$ $\,\delta |a$ (ο δ διαιρεί τον α).

Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3), αφού 6=3 2.

Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ $a,b,c,d\in {\mathbb {Z}}$ ισχύουν τα ακόλουθα:

$1|a$ $1|a$ και $-1|a$ $-1|a$ για κάθε α.
$a|0$ $a|0$ για κάθε α.
Αν $0|a$ $0|a$ , τότε $a=0$ $a=0$ .
Αν $a|b$ $a|b$ και $b|a$ $b|a$ , τότε $a=b$ $a=b$ ή $a=-b$ $a=-b$ .
Αν $a|b$ $a|b$ , τότε $ac|bc$ $ac|bc$ για κάθε c.
Αν $a|b$ $a|b$ και $c|d$ $c|d$ , τότε $ac|bd$ $ac|bd$
Αν $a|b$ $a|b$ και $a|c$ $a|c$ , τότε $a|(b+c)$ $a|(b+c)$ . Γενικότερα $a|(mb+nc)$ $a|(mb+nc)$ για κάθε $m$ $m$ και $n$ $n$ .
Αν $a|b$ $a|b$ και $b|c$ $b|c$ , τότε $a|c$ $a|c$ (μεταβατικότητα)
Αν $a|b$ $a|b$ τότε | $a|=<|b$ $a|=<|b$ |