Διαιρέτης

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Ορισμός

Ένας ακέραιος αριθμός δ ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α, αν και μόνο αν ισχύει $\,a=\pi \delta$ για κάποιον ακέραιο π. Ο π λέγεται πηλίκο της διαίρεσης. Συμβολίζουμε το παραπάνω ως $\,\delta |a$ (ο δ διαιρεί τον α).

Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3), αφού 6=3 2.

Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

Ιδιότητες

Για $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ ισχύουν τα ακόλουθα:

• $1|a$ και $-1|a$ για κάθε α.
• $a|0$ για κάθε α.
• Αν $0|a$, τότε $a=0$.
• Αν $a|b$ και $b|a$, τότε $a=b$ ή $a=-b$.
• Αν $a|b$, τότε $ac|bc$ για κάθε c.
• Αν $a|b$ και $c|d$, τότε $ac|bd$
• Αν $a|b$ και $a|c$, τότε $a|(b+c)$. Γενικότερα $a|(mb+nc)$ για κάθε $m$ και $n$.
• Αν $a|b$ και $b|c$, τότε $a|c$ (μεταβατικότητα)
• Αν $a|b$ τότε |$a|=<|b$|