Ακέραιος αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Αριθμητική
Ταξινόμηση
Dewey 513
MSC2010 97Fxx

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:

συμβολίζεται με το γράμμα , αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Το σύνολο ορίζεται επίσης ως εξής:

.

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν).

Αλγεβρικές Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
αντιμεταθετική ιδιότητα
προσεταιριστική ιδιότητα
ουδέτερο στοιχείο
δεν υπάρχει αντίθετο στοιχείο
επιμεριστική ιδιότητα

Διάταξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Représentation des classes d'équivalence pour les nombres de -5 à 5
Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ορίζει τους φυσικούς αριθμούς . Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους τη συμβολίζουμε με ή . Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός είναι θετικός, όταν , αρνητικός όταν και 0 όταν . Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους:

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

Πληθάριθμος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης , σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα

Σύνολο των