Ακέραιος αριθμός

Το επίσημο σύμβολο με το οποίο απεικονίζεται το σύνολο των ακεραίων αριθμών.

Στα μαθηματικά, ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Ανεπίσημα, το σύνολο των ακεραίων είναι το σύνολο:

$\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,...\}$.

Η κατασκευή των αρνητικών αριθμών (και ως αποτέλεσμα και των ακεραίων αριθμών) προέκυψε από την ανάγκη επίλυσης των εξισώσεων της μορφής $x+n=m$ για $n,m\in \mathbb {N}$. Για παράδειγμα, η εξίσωση $x+5=2$ δεν έχει λύση στους φυσικούς αλλά στους ακεραίους έχει λύση το $x=2-5=-3$. Επομένως, (ανεπίσημα) το σύνολο $\mathbb {Z}$ ορίζεται επίσης και ως

$\mathbb {Z} =\{x-y:x,y\in \mathbb {N} \}$.

Συμβολίζεται με το γράμμα $\mathbb {Z}$, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο και αριθμήσιμο.

Συμβολισμοί

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα $\mathbb {Z}$, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με $\mathbb {Z} ^{-}$, οι μη αρνητικοί με $\mathbb {Z} ^{*}$και οι θετικοί με $\mathbb {Z^{+}}$. Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο $\mathbb {I}$, εκτός από το σύνηθες $\mathbb {Z}$.

Αλγεβρικές ιδιότητες

Όπως θα δούμε παρακάτω στους ακεραίους μπορούν να οριστούν δύο πράξεις, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, που επεκτείνουν τις αντίστοιχες πράξεις των φυσικών αριθμών.

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς αυτές τις πράξεις. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και για τις δύο πράξεις, αντίθετο στοιχείο για την πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
$n+m\in \mathbb {Z}$	$n\cdot m\in \mathbb {Z}$	σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
$n+m=n+m$	$n\cdot m=m\cdot n$	αντιμεταθετική ιδιότητα
$k+(n+m)=(k+n)+m$	$k\cdot (n\cdot m)=(k\cdot n)\cdot m$	προσεταιριστική ιδιότητα
$n+0=n$	$n\cdot 1=n$	ουδέτερο στοιχείο
Δεν υπάρχει	$n\cdot 0=0$	απορροφητικό στοιχείο
$n+(-n)=0\,$	Δεν υπάρχει	αντίθετο στοιχείο
$k\cdot (n+m)=(k\cdot n)+(k\cdot m)$		επιμεριστική ιδιότητα

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Διάταξη

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

$...<-2<-1<0<1<2<...$

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Αυστηρός ορισμός

Οι διακεκομμένες μπλε γραμμές συνδέουν τα ισοδύναμα ζεύγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

$(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b$,

η οποία αντιστοιχεί στην σχέση "$a-b=c-d$" (αλλά χωρίς να χρησιμοποιεί την πράξη της αφαίρεσης που δεν έχουμε ορίσει).

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \,/\!\sim$ ορίζει τους ακέραιους αριθμούς $\mathbb {Z}$. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους $(a,b)$ τη συμβολίζουμε με $[(a,b)]$ ή $a-b$.

Ένας ακέραιος αριθμός $(a,b)$ είναι θετικός, όταν $a>b$, αρνητικός όταν $a<b$ και 0 όταν $a=b$. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής $(n,0)$, $(0,n)$ ή $(0,0)$, ο οποίος διαλέγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Παραδείγματα

• Στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του $0$ ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη $(1,1)$, $(2,2)$, $\ldots$.
• Στην κλάση ισοδυναμίας του $3$ ανήκουν τα ισοδύναμα ζεύγη $(3,0),(4,1),(5,2),\ldots$.
• Στην κλάση ισοδυναμίας του $-3$ ανήκουν τα ισοδύναμα ζεύγη $(0,3),(1,4),(2,5),\ldots$.

Πρόσθεση ακεραίων

Η πρόσθεση ορίζεται με την αντίστοιχη πράξη της πρόσθεσης στους φυσικούς αριθμούς ως εξής

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$.

Διαισθητικά, αυτό μας λέει ότι "$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$", αλλά δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το $-$ καθώς δεν το έχουμε ορίσει.

Το αντίθετο στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:

$-[(a,b)]=[(b,a)]$.

Αυτό μας επιτρέπει να ορίσουμε την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ως

$n-m=n+(-m)$.

Πολλαπλασιασμός ακεραίων

Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται με την αντίστοιχη πράξη του πολλαπλασιασμού στους φυσικούς αριθμούς ως εξής

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]$.

Διαισθητικά αυτό μας λέει ότι "$(a-b)\cdot (c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$".

Διάταξη ακεραίων

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

$[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow a+d<b+c.\,$

Χρησιμοποιώντας αυτόν ορισμό, μπορούμε επίσης να ορίσουμε τους θετικούς ακεραίους ως

$\mathbb {Z} ^{+}=\{n\in \mathbb {Z} :0<n\}$,

όπου $0=[(0,0)]$ ή ισοδύναμα ως

$\mathbb {Z} ^{+}=\{[(a,b)]\in \mathbb {Z} :b<a\}$.

Πληθάριθμος

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο $\aleph _{0}$ (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη ένα προς ένα και επί συνάρτησης $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

$f(x)={\begin{cases}2|x|,&x<0\\2x+1,&x\geq 0.\end{cases}}$

Δείτε επίσης

Σύνολο των

• φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$
• ρητών αριθμών $\mathbb {Q}$
• πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$
• μιγαδικών αριθμών $\mathbb {C}$.