Ακέραιος αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Αριθμιτική
Ταξινόμηση
Dewey 513
MSC2010 97Fxx

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:

\mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\}

συμβολίζεται με το γράμμα \mathbb{Z}, αρχικό της λέξης Zahlen που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.

Το σύνολο \mathbb{Z} ορίζεται επίσης ως εξής:

\mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\}

.

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο \aleph_0 (άλεφ-μηδέν).

Αλγεβρικές Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς προσθεση και πολλαπλασιασμο και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδη απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
a+b\in\mathbb{Z} a\times b\in\mathbb{Z} σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
a+b=b+a\, a\times b=b\times a αντιμεταθετική ιδιότητα
a+(b+c)=(a+b)+c\, a\times (b\times c)=(a\times b)\times c προσεταιριστική ιδιότητα
a+0=a\, a\times 1=a ουδέτερο στοιχείο
a+(-a)=0\, δεν υπάρχει αντίθετο στοιχείο
a\times(b+c)=(a\times b) + (a\times c) επιμεριστική ιδιότητα

Διάταξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Représentation des classes d'équivalence pour les nombres de -5 à 5
Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο \mathbb{N} \times \mathbb{N} των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

(a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b.

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας \mathbb{N} \times \mathbb{N} \,/\! \sim ορίζει τους φυσικούς αριθμούς \mathbb{Z}. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a, b) τη συμβολίζουμε με [(a, b)] ή a- b. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός (a, b) είναι θετικός, όταν a > b, αρνητικός όταν a < b και 0 όταν a = b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

[(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)].\,
[(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)].\,

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζευγους:

-[(a,b)] = [(b,a)].\,

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

[(a,b)]<[(c,d)] \Leftrightarrow a+d < b+c.\,

Πληθάριθμος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο \aleph_0 (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπάρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}, σύναρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

f(x) = \begin{cases} 2|x|,  & x < 0 \\ 2x+1, &  x \ge 0. \end{cases}

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σύνολο των