Τομή συνόλων

Διάγραμμα Venn τομής δύο συνόλων.

Τομή δύο μη κενών συνόλων Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β.

Η τομή των Α και Β συμβολίζεται με $\mathrm {A} \cap \mathrm {B}$ $\mathrm {A} \cap \mathrm {B}$ και ορίζεται ως:

A\cap B={x:x\in \mathrm {A} \land x\in \mathrm {B} }

Για παράδειγμα:

Αν Α={1,2,3,α,β,γ} και Β={1,3,4,5,6,α,γ} είναι Α $\cap$ $\cap$ Β={1,3,α,γ}

Αν Α={1,2,3,4} και Β={5,6,α,γ} είναι $\mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing$ $\mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing$ όπου $\varnothing$ $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Ακόμη για τα σύνολα $\mathrm {A} \neq \varnothing ,\mathrm {B} \neq \varnothing$ $\mathrm {A} \neq \varnothing ,\mathrm {B} \neq \varnothing$ έχουμε: $\mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing \Leftrightarrow \mathrm {A} \land \mathrm {B}$ $\mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing \Leftrightarrow \mathrm {A} \land \mathrm {B}$ είναι ξένα (disjoint) μεταξύ τους.

Ιδιότητες της πράξης της τομής συνόλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου Α, Β, Γ ⊆ Ω και Ø είναι το κενό σύνολο)

$A\cap A=A$ $A\cap A=A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
$A\cap \Omega =A$ $A\cap \Omega =A$
$A\cap A^{c}=\varnothing$ $A\cap A^{c}=\varnothing$
$A\cap B=B\cap A$ $A\cap B=B\cap A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
$A\cap (B\cap \Gamma )=(A\cap B)\cap \Gamma$ $A\cap (B\cap \Gamma )=(A\cap B)\cap \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
$A\cap B\subseteq A$ $A\cap B\subseteq A$ και $A\cap B\subseteq B$ $A\cap B\subseteq B$
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$ $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A$
$A\subseteq B\Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma$ $A\subseteq B\Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

$A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ $A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
$A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ $A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
$A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ $A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)