Τομή συνόλων

Διάγραμμα Venn τομής δύο συνόλων.

Τομή δύο μη κενών συνόλων Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β.

Η τομή των Α και Β συμβολίζεται με $\Alpha \cap \Beta$ και ορίζεται ως:

$A\cap B= {x:x \in \Alpha \land x \in \Beta}$

Για παράδειγμα:

Αν Α={1,2,3,α,β,γ} και Β={1,3,4,5,6,α,γ} είναι Α $\cap$ Β={1,3,α,γ}

Αν Α={1,2,3,4} και Β={5,6,α,γ} είναι $\Alpha\cap \Beta= \varnothing$ όπου $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο, δηλαδή το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία.

Ακόμη για τα σύνολα $\Alpha\ne \varnothing, \Beta\ne \varnothing$ έχουμε: $\Alpha\cap \Beta= \varnothing \Leftrightarrow \Alpha \land \Beta$ είναι ξένα (disjoint) μεταξύ τους.

Ιδιότητες της πράξης της τομής συνόλων

Η τομή συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου Α, Β, Γ ⊆ Ω και Ø είναι το κενό σύνολο)

• $A\cap A= A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
• $A\cap \Omega=A$
• $A\cap A^c= \varnothing$
• $A\cap B=B\cap A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• $A\cap (B\cap \Gamma)=(A\cap B)\cap \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• $A\cap B \subseteq A$ και $A\cap B \subseteq B$
• $A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A$
• $A \subseteq B \Rightarrow A\cap \Gamma \subseteq B\cap \Gamma$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

• $A\cup (B\cap \Gamma)=(A\cup B)\cap(A\cup \Gamma)$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
• $A\cap (B\cup \Gamma)=(A\cap B)\cup(A\cap \Gamma)$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
• $A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων