Ένωση συνόλων

Στην θεωρία συνόλων, ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ (συμβολισμός $A\cup B$ ) ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

Μαθηματικά, η ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ ορίζεται ως εξής:^[1]^[2]^[3]^[4]^:113

A\cup B=\{x:x\in A

ή

x\in B\}

.

Η ύπαρξη αυτού του συνόλου συνήθως είναι ένα από τα αξιώματα του αξιωματικού συστήματος.^[4]^: 118,148

Για παράδειγμα, για $A=\{1,2,3,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ και $B=\{1,3,4,5,6,\alpha ,\gamma \}$ είναι $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ .

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ένωση συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου $A,B,\Gamma \subseteq \Omega$ και $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο)

$A\cup A=A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
$A\cup A^{c}=\Omega$
$A\cup B=B\cup A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
$A\cup (B\cup \Gamma )=(A\cup B)\cup \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
$A\cup B=\varnothing \Longleftrightarrow A=\varnothing$ και $B=\varnothing$
$A\cup \varnothing =\varnothing \cup A=A$
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
$A\subseteq B\Rightarrow A\cup \Gamma \subseteq B\cup \Gamma$
$A\subseteq A\cup B$ και $B\subseteq A\cup B$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

$A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
$A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
$A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας και Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ Παντζιου, Γραμματη. «Στοιχεία λογικής και θεωρίας συνόλων» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ Αδάμ, Μαρία. «Συνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.
↑ ^4,0 ^4,1 Hamilton, A. G. (1982). Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521287616.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Union (set theory) στο Wikimedia Commons

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Μοσχοβάκης, Γιάννης Ν. «Σημειώσεις στη συνολοθεωρία» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Καλιφόρνιας και Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[2] Παντζιου, Γραμματη. «Στοιχεία λογικής και θεωρίας συνόλων» (PDF). Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[3] Αδάμ, Μαρία. «Συνολα» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.

[H82-4] 4,0 ^4,1 Hamilton, A. G. (1982). Numbers, sets and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521287616.

[1]

[2]

[3]

[4]