Ρητός αριθμός

Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι το σύνολο των αριθμών που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με ακέραιους όρους και παρονομαστή διάφορο του μηδενός. Συμβολίζεται με $\mathbb {Q}$. Το σύνολο των ρητών περιγράφεται από το σύνολο:

$\left\{{\frac {\mu }{\nu }}:\mu ,\nu \in \mathbb {Z} ,\nu \neq 0\right\}$

και ισοδύναμα από το:

$\left\{{\frac {\mu }{\nu }}:\mu \in \mathbb {Z} ,\nu \in \mathbb {N} \right\}$

Όλοι οι ρητοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με άπειρους διαφορετικούς τρόπους ως πηλίκα δύο ακεραίων μ/ν όπου το ν δεν είναι ίσο με μηδέν. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος γραφής κάθε ρητού στην μορφή μ/ν με ν φυσικό, όπου ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, μκδ(μ, ν) των μ και ν είναι η μονάδα η οποία είναι και η πιο απλή μορφή του.

Η δεκαδική αναπαράσταση κάθε ρητού αριθμού είναι πάντα περιοδική.

Το σύνολο των ρητών είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δηλαδή πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται άρρητοι. Επιπλέον το σύνολο των ακεραίων και κατά συνέπεια και το σύνολο των φυσικών, είναι υποσύνολο αυτού των ρητών αφού κάθε ακέραιος α γράφεται στη μορφή α/1 που είναι ρητός.

Αριθμητική

Δύο ρητοί αριθμοί ${\frac {\alpha }{\beta }}$ και ${\frac {\gamma }{\delta }}$ λέμε ότι είναι ίσοι και γράφουμε ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}$ αν και μόνο αν $\alpha \delta =\beta \gamma$

Γενικά οι ρητοί αριθμοί όπως και οι ακεραίοι έχουν την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.

Η πρόσθεση δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

${\frac {\alpha }{\beta }}+{\frac {\gamma }{\delta }}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\beta \delta }}$

Ο πολλαπλασιασμός δύο ρητών ορίζεται ως ακολούθως:

${\frac {\alpha }{\beta }}\cdot {\frac {\gamma }{\delta }}={\frac {\alpha \gamma }{\beta \delta }}$

Ιδιότητες

Αλγεβρικές ιδιότητες

• Το σύνολο των ρητών αριθμών αποτελεί ένα διατεταγμένο σώμα. Είναι το μικρότερο σώμα με χαρακτηριστική 0 και για το λόγο αυτό είναι πρώτο σώμα.

Απαρίθμηση των ρητών αριθμών

• Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Υπάρχει δηλαδή μια ένα προς ένα συνάρτηση από το $\mathbb {Q}$ στο σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$. Ο πληθάριθμος του συνόλου των ρητών αριθμών επομένως είναι $\aleph _{0}$ (άλεφ-μηδέν), όπως και του συνόλου των φυσικών.

Τοπολογικές ιδιότητες

• Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι πυκνό στο σύνολο των πραγματικών. Με αυτό εννοούμε ότι μεταξύ δύο οποιονδήποτε πραγματικών μπορεί να βρεθεί πάντα ένας ρητός και κατά συνέπεια μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μπορούν να βρεθούν άπειροι σε πλήθος ρητοί αριθμοί.

• Επίσης είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι και μεταξύ δύο οποιονδήποτε ρητών αριθμών μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον ένας άλλος ρητός αριθμός και κατά συνέπεια άπειροι σε πλήθος ρητοί.

Θεωρητική Κατασκευή

Κάθε γραμμή του διαγράμματος (χωρίς το 0) αντιστοιχεί σε μια κλάση ισοδυναμίας

Οι ρητοί αριθμοί κατασκευάζονται από κλάσεις ισοδυναμίας διατεταγμένων ζεύγων ακεραίων (μ, ν) με ν διάφορο του μηδενός. Θεωρούμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού:

$(\mu ,\nu )+(\kappa ,\lambda )=(\mu \cdot \lambda +\nu \cdot \kappa ,\,\nu \cdot \lambda )$

$(\mu ,\nu )\cdot (\kappa ,\lambda )=(\mu \cdot \kappa ,\,\nu \cdot \lambda )$

Οι πράξεις αυτές αντιστοιχούν σε αυτές των κλασμάτων (βλ. Αριθμητική).

Ως σχέση ισοδύναμίας ορίζουμε

$(\mu ,\nu )\sim (\kappa ,\lambda )\Leftrightarrow \mu \cdot \lambda =\nu \cdot \kappa$

που αντιστοιχεί στην ισοδυναμία κλασμάτων (π.χ. 1/2=2/4 αφού 1.4=2.2).

Το σύνολο $\mathbb {Q}$ είναι σύμφωνα με τα παραπάνω ισοδύναμο με το σύνολο πηλίκο $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \{0\}/\sim \,$