Υποσύνολο

Διάγραμμα Βεν όπου το σύνολο $X$ είναι υποσύνολο του συνόλου $Y$.

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο $X$ ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου $Y$ και συμβολίζουμε με $X\subseteq Y$, εάν κάθε στοιχείο του $X$ είναι και στοιχείο (ανήκει) του $Y$ δηλαδή ισχύει:

$\forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)$

Για παράδειγμα, το $X=\{1,3\}$ είναι υποσύνολο του $Y=\{1,2,3,4\}$. Το σύνολο $Y$ λέγεται και υπερσύνολο του $X$ και συμβολίζεται ως $Y\supseteq X$.

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο $X$ περιέχεται στο σύνολο $Y$ ή ακόμα ότι το σύνολο $Y$ είναι υπερσύνολο του συνόλου $X$ και γράφουμε $X\subseteq Y$. Μπορούμε να θεωρήσουμε το $\subseteq$ ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(X,Y)$ για τα οποία ισχύει $X\subseteq Y$.

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του $Y$ είναι το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(Y)$.

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:

• Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων.
• $\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}$.
• $\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$.
• Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών.
• Όλα τα δυνατά υποσύνολα του $\{1,2,3\}$ είναι τα εξής:

$\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$.

Ιδιότητες

• Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή $\emptyset \subseteq X$ για κάθε σύνολο $X$.
• Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή $X\subseteq X$ για κάθε σύνολο $X$.

Γνήσιο υποσύνολο

Αν το σύνολο $X$ είναι υποσύνολο του $Y$ και επίσης ισχύει ότι $X\neq Y$, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του $Y$ το οποίο να μην ανήκει στο $X$, τότε λέμε ότι το σύνολο $X$ είναι γνήσιο υποσύνολο του $Y$ και το συμβολίζουμε με $X\subset Y$ ή με $X\subsetneq Y$. Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο $Y\supset X$ ή $X\supsetneq Y$.

Παραδείγματα

• $\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$.
• Το σύνολο των φυσικών αριθμών $\mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}$ είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}$, δηλαδή $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$.
• Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$.
• Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Δυναμοσύνολο