Ταυτοτική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, ταυτοτική συνάρτηση (ή ταυτοτική απεικόνιση) λέγεται η συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο στον εαυτό της. Πιο συγκεκριμένα, για ένα σύνολο $S$, η ταυτοτική συνάρτηση στο $S$ είναι η συνάρτηση $\mathrm {id} _{S}:S\to S$, η οποία ικανοποιεί για κάθε στοιχείο $x\in S$, $\mathrm {id} _{S}(x)=x$.

Η ονομασία $\mathrm {id} _{S}$ είναι συντομογραφία της αγγλικής λέξης identity που σημαίνει ταυτότητα. Όταν το σύνολο $S$ είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, μπορεί να παραληφθεί, και η συνάρτηση γράφεται ως $\mathrm {id}$.

Παραδείγματα

Παραδείγματα ταυτοτικών συναρτήσεων

Ταυτοτική συνάρτηση στους φυσικούς αριθμούς.

Ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς.

Ταυτοτική συνάρτηση στο σύνολο $S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$.

• Για τους φυσικούς αριθμούς, η ταυτοτική συνάρτηση ικανοποιεί $\mathrm {id} _{\mathbb {N} }(1)=1,\mathrm {id} _{\mathbb {N} }(2)=2,\mathrm {id} _{\mathbb {N} }(3)=3,\ldots$.
• Για το πεπερασμένο σύνολο $S=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$, η ταυτοτική συνάρτηση δίνεται από $\mathrm {id} _{S}(\alpha )=\alpha ,\mathrm {id} _{S}(\beta )=\beta ,\mathrm {id} _{S}(\gamma )=\gamma ,\mathrm {id} _{S}(\delta )=\delta$.

Ιδιότητες

• Η συνάρτηση είναι επί, καθώς για κάθε στοιχείο $s\in S$, $\mathrm {id} _{S}(s)=s$.
• Η συνάρτηση είναι ένα προς ένα, καθώς καθώς αν για δύο στοιχεία $s_{1},s_{2}\in S$ έχουμε ότι $\mathrm {id} _{S}(s_{1})=\mathrm {id} _{S}(s_{2})$, τότε $s_{1}=s_{2}$.
• Έστω $X$ και $Y$ δύο σύνολα και $X\to Y$ το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το $X$ στο $Y$. Η συνάρτηση $\mathrm {id} _{X}$ είναι η δεξιά αντίστροφη ως προς τη σύνθεση συνάρτησης, καθώς για κάθε συνάρτηση $f\in X\to Y$, ισχύει ότι για κάθε $x\in X$

$(f\circ \mathrm {id} _{X})(x)=f(\mathrm {id} _{X}(x))=f(x)$.

Αντίστοιχα, η συνάρτηση $\mathrm {id} _{Y}$ είναι η αριστερή αντίστροφη.

• Επομένως, έπεται ότι η ταυτοτική συνάρτηση έχει ως αντίστροφο τον εαυτό της.
• Η ταυτοτική συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς $\mathrm {id} _{\mathbb {R} }$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη.