Παραγοντικό

Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με ν!, διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν.

ν! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ ν

Για παράδειγμα,

2!=1·2= 2

3!=1·2·3= 6

4!=1·2·3·4= 24

5!=1·2·3·4·5= 120

8!=1·2·3·4·5·6·7·8= 40.320

10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10= 3.628.800

12!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12= 479.001.600

Το παραγοντικό ενός αριθμού ν εκφράζει και το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν στοιχεία ενός συνόλου.

• Συμβατικά: 0! = 1! = 1
• Ισχύει η σχέση: ν! = (ν-1)! ∙ ν

Ένας άλλος τρόπος να προσεγγίσουμε το 0! είναι ακολουθόντας ένα μοτίβο το οποίο έχει ως εξής.

5!=120

4!=5!/5=24

3!=4!/4=6

2!=3!/3=2

1!=2!/2=1

0!=1!/1=1

Αντιπαραγοντικό

Το αντιπαραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν συμβολίζεται με !ν, διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό, και είναι το πηλίκο όλων των θετικών ακέραιων μικρότερων ή ίσων με ν.

Ορίζεται ως 1/ν! δηλαδή είναι η πιθανότητα εντοπισμού ενός μοναδικού επιθυμητού στοιχείου από το σύνολο στοιχείων ν!. Στο !ν οι αριθμοί στοιχίζονται με αύξουσα σειρά, ξεκινώντας από το 1 και χρησιμοποιώντας μόνο θετικούς ακέραιους χωρίς να παραλειφθεί κανένας.

Για παράδειγμα,

το σύνολο 2!= 2, μας δίνει δύο στοιχεία: 1,2 και 2,1. Η πιθανότητα εύρεσης του επιθυμητού στοιχείου (1,2 ή 2,1), δίνεται από το αντιπαραγοντικό του 2 (!2) δηλαδή 1/2!= 1/2= 0.5, συνεπώς 50 %.

Ομοίως, για το 3!= 6, το αντιπαραγοντικό του (!3) είναι ίσο με 1/3!= 1/6, δηλαδή περίπου 16,6%.

• Συμβατικά: !0 = 1

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., «Factorial», από MathWorld. Ανακτήθηκε 2020-07-22.