Χρήστης:Mkpapager/Πρόχειρο

Τομείς των μαθηματικών με τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους

Ορισμένοι τομείς των μαθηματικών που εμπίπτουν στην κατηγορία της αφηρημένης άλγεβρας έχουν τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους (η γραμμική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα). Άλλοι όμως όχι, όπως: η θεωρία ομάδων, η θεωρία δακτυλίων, και η θεωρία πεδίων είναι παραδείγματα. Σε αυτή την ενότητα, παραθέτουμε ορισμένα πεδία των μαθηματικών με τη λέξη "άλγεβρα" στο όνομά τους.

• Στοιχειώδης άλγεβρα, άλγεβρα που συνήθως διδάσκεται στα δημοτικά μαθήματα των μαθηματικών.
• Αφηρημένη άλγεβρα, στην οποία οι αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία είναι αξιωματικά ορίσμένα και διερευνημένα.
• Γραμμική άλγεβρα, στην οποία οι ειδικές ιδιότητες των γραμμικών εξισώσεων, των διανυσματικών χώρων και των πινάκων έχουν μελετηθεί.
• Αντιμεταθετική άλγεβρα, η μελέτη των αντιμεταθετικών δακτυλίων.
• Υπολογιστική άλγεβρα, η εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων, όπως οι αλγόριθμοι και τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών.
• Homological άλγεβρα, η μελέτη των αλγεβρικών δομών που έχουν θεμελιώδη σημασία για τη μελέτη τοπολογικών χώρων.
• Καθολική άλγεβρα, στην οποία μελετώνται χαρακτηριστικά που είναι κοινά σε όλες τις αλγεβρικές δομές.
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών, στην οποία οι ιδιότητες των αριθμών μελετώνται από αλγεβρική άποψη.
• Αλγεβρική γεωμετρία, ένα πεδίο της γεωμετρίας, στην πρωτόγονη μορφή της προσδιορίζοντας τις καμπύλες και επιφάνειες, όπως είναι οι λύσεις των πολυωνυμικών εξισώσεων.
• Συνδυαστική άλγεβρα, στην οποία αλγεβρικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη συνδυαστικές ερωτήσεις.

Πολλές μαθηματικές δομές ονομάζονται άλγεβρες:

• Άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο ή γενικότερα άλγεβρα πάνω από έναν δακτύλιο.
  Πολλές κατηγορίες άλγεβρας πάνω από ένα πεδίο ή έναν δακτύλιο έχουν ένα συγκεκριμένο όνομα:
  • Αντιμεταθετική άλγεβρα
  • Μη-αντιμεταθετική άλγεβρα
  • Άλγεβρα Lie
  • Άλγεβρα Hopf
  • C*-άλγεβρα
  • Συμμετρική άλγεβρα
  • Εξωτερική άλγεβρα
  • Διανυσματική άλγεβρα
• Στην θεωρία μέτρου,
  • Sigma-άλγεβρα
  • Άλγεβρα πάνω από ένα σύνολο
• Στη θεωρία κατηγοριών
  • F-άλγεβρα και F-coalgebra
  • T-άλγεβρα
• Στη λογική,
  • Σχεσιακή άλγεβρα: ένα σύνολο πεπερασμένων σχέσεων που είναι κλειστό κάτω από ορισμένες πράξεις.
  • Άλγεβρα boole, μια δομή αφαιρετικού υπολογισμού με τις λογικές τιμές ψέμα και αλήθεια. Οι δομές επίσης να έχουν το ίδιο όνομα.
  • Άλγεβρα Heyting

Στοιχειώδης άλγεβρα

Σημειογραφία αλγεβρικής έκφρασης:
  1 – δύναμη (εκθέτης)
  2 – συντελεστής
  3 – όρος
  4 – πράξη
  5 – σταθερός όρος
  x y c – μεταβλητές/σταθερές

Η Στοιχειώδης άλγεβρα είναι η πιο βασική μορφή της άλγεβρας. Διδάσκεται σε μαθητές που θεωρείται ότι δεν έχουν γνώση των μαθηματικών πέρα από τις βασικές αρχές της αριθμητικής. Στην αριθμητική, περιλαμβάνονται μόνο οι αριθμοί και οι αριθμητικές πράξεις (όπως +, −, ×, ÷). Στην άλγεβρα, οι αριθμοί συχνά αντιπροσωπεύονται από τα σύμβολα που ονομάζονται μεταβλητές (όπως a, n, x, y ή z). Αυτό είναι χρήσιμο, επειδή:

• Επιτρέπει την γενική διατύπωση αριθμητικών νόμων (όπως a + b = b + a για όλα τα a και b) και, επομένως, είναι το πρώτο βήμα για την συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών του συστήματος.
• Επιτρέπει την αναφορά σε "άγνωστους" αριθμούς, η διατύπωση των εξισώσεων και η μελέτη των λύσεών τους. (Για παράδειγμα, "Βρείτε x τέτοιο ώστε 3x + 1 = 10" ή πηγαίνοντας λίγο παραπέρα "Βρείτε x τέτοιο ώστε ax + b = c". Αυτό το βήμα μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν είναι η φύση των συγκεκριμένων αριθμών που μας επιτρέπει να το λύσουμε, αλλά οι διεργασίες που εμπλέκονται.)
• Επιτρέπει τη διαμόρφωση των λειτουργικών σχέσεων. (Για παράδειγμα, "Αν πουλάτε x εισιτήρια, τότε το κέρδος σας θα είναι 3x − 10 δολάρια, ή f(x) = 3x − 10, όπου f είναι η συνάρτηση, και x είναι ο αριθμός στον οποίο η συνάρτηση εφαρμόζεται".)

Πολυώνυμα

Η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης τρίτου βαθμού.

Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση η οποία είναι το άθροισμα των πεπερασμένων μη-μηδενικών όρων, όπου κάθε όρος αποτελείται από ένα σταθερό και πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών που είναι υψωμένοι σε ακέραιο αριθμό δυνάμεων. Για παράδειγμα, το x² + 2x − 3 είναι ένα πολυώνυμο με τη μοναδική μεταβλητή x. Μια πολυωνυμική έκφραση είναι μια έκφραση που μπορεί να ξαναγραφεί ως πολυωνυμική, με τη χρήση της αντιμεταθετικής, της προσεταιριστικής και της επιμεριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, το (x − 1)(x + 3) είναι μια πολυωνυμική έκφραση, που, στην κυριολεξία, δεν είναι πολυώνυμο. Μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από ένα πολυώνυμο, ή, αντίστοιχα, με μία πολυωνυμική έκφραση. Τα δύο προηγούμενα παραδείγματα καθορίζουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση.

Δύο σημαντικά και συναφή προβλήματα στην άλγεβρα είναι η παραγοντοποίηση πολυωνύμων, δηλαδή, η έκφραση ενός δεδομένου πολυωνύμου ως προϊόν άλλων πολυωνύμων που δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω, και ο υπολογισμός του μέγιστου κοινού πολυωνυμικού διαιρέτη. Το παραπάνω πολυωνυμικό παράδειγμα μπορεί να υπολογιστεί ως (x − 1)(x + 3). Μια σχετική κατηγορία των προβλημάτων είναι η εύρεση αλγεβρικών εκφράσεων για τις ρίζες ενός πολυωνύμου σε μια μοναδική μεταβλητή.

Εκπαίδευση

Έχει προταθεί ότι η στοιχειώδης άλγεβρα θα πρέπει να διδάσκεται σε μαθητές ηλικίας έντεκα ετών, αν και τα τελευταία χρόνια είναι κοινό για τα δημόσια σχολεία των Ηνωμένων Πολιτειών να ξεκινούν στο επίπεδο του γυμνασίου (≈ 13 χρονών ±).

Από το 1997, το Virginia Tech και μερικά άλλα πανεπιστήμια έχουν αρχίσει να χρησιμοποιούν ένα εξατομικευμένο μοντέλο διδασκαλίας της άλγεβρας, που συνδυάζει την άμεση ανατροφοδότηση από εξειδικευμένο λογισμικό ηλεκτρονικών υπολογιστών με one-on-one και μικρές ομάδες διδασκαλίας, η οποία μείωσε το κόστος και αύξησε την επίδοση των μαθητών.

Αφηρημένη άλγεβρα

Η Αφηρημένη άλγεβρα επεκτείνει τις γνωστές έννοιες που περιλαμβάνονται στη στοιχειώδη άλγεβρα και την αριθμητική των αριθμών σε πιο γενικές έννοιες. Εδώ παρατίθενται οι βασικές έννοιες στην αφηρημένη άλγεβρα.

Σύνολα: Εκτός από την εξέταση των διάφορων ειδών των αριθμών, η αφηρημένη άλγεβρα ασχολείται με την γενικότερη έννοια του συνόλου: μια συλλογή από αντικείμενα (που ονομάζονται στοιχεία) επιλέγονται για το σύνολο με βάση τις ιδιότητές τους. Όλες οι συλλογές από τα γνωστά είδη των αριθμών είναι σύνολα. Άλλα παραδείγματα συνόλων περιλαμβάνουν το σύνολο των 2x2 πινάκων, το σύνολο όλων των δευτεροβάθμιων πολυωνύμων (ax² + bx + c), το σύνολο όλων των δισδιάστατων διανυσμάτων στο επίπεδο και τις διάφορες πεπερασμένες ομάδες όπως οι κυκλικές ομάδες, οι οποίες είναι οι ομάδες των ακεραίων modulo n. Η θεωρία συνόλων είναι ένας κλάδος της λογικής και δεν είναι τεχνικά ένας κλάδος της άλγεβρας.

Δυαδικές πράξεις: Η έννοια της πρόσθεσης (+) χρησιμοποιείται για να δώσει μια δυαδική πράξη, λένε. Η έννοια της δυαδικής λειτουργία δεν έχει νόημα χωρίς το σύνολο στο οποίο ορίζεται η πράξη. Για δύο στοιχεία a και b σε ένα σύνολο S, το a ∗ b είναι ένα άλλο στοιχείο στο σύνολο, αυτή η κατάσταση ονομάζεται κλειστή. Η πρόσθεση (+), η αφαίρεση (−), ο πολλαπλασιασμός ( × ) και η διαίρεση (÷) μπορούν να είναι δυαδικές πράξεις, όταν ορίζονται σε διαφορετικά σύνολα, όπως είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πινάκων, των διανυσμάτων, και των πολυωνύμων.

Ουδέτερα στοιχεία: Οι αριθμοί μηδέν και ένα έχουν την έννοια των ουδέτερων στοιχείων για μια πράξη. Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα είναι το ουδέτερο στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό. Για μια γενική δυαδική πράξη ∗ το ουδέτερο στοιχείο e πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση a ∗ e = a και e ∗ a = a, και είναι κατ ' ανάγκη μοναδικό, αν υπάρχει. Αυτό ισχύει για την πρόσθεση ως a + 0 = a και 0 + a = a και για τον πολλαπλασιασμό a × 1 = a και 1 × a = a. Δεν έχουν όλα τα σύνολα και οι συνδυασμοί πράξεων ένα ουδέτερο στοιχείο, για παράδειγμα, το σύνολο των θετικών φυσικών αριθμών (1, 2, 3, ...) δεν έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση.

Αντίστροφα στοιχεία: Οι αρνητικοί αριθμοί οδηγούν στην έννοια του αντίστροφου στοιχείου. Για την πρόσθεση, ο αντίστροφος του α γράφεται −α, και για τον πολλαπλασιασμό το αντίστροφο είναι γραμμένο ως α^-1. Ένα γενικό δύο όψεων αντίστροφο στοιχείο a^-1 ικανοποιεί την ιδιότητα ότι a ∗ a^-1 = e και a^-1 ∗ a = e, όπου e είναι το στοιχείο ταυτότητας.

Προσεταιριστική ιδιότητα: Η πρόσθεση των ακεραίων έχει μια ιδιότητα που ονομάζεται η προσεταιριστική. Δηλαδή, η ομαδοποίηση των αριθμών που θα προστεθούν δεν επηρεάζει το τελικό άθροισμα. Για παράδειγμα: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Σε γενικές γραμμές, αυτό γίνεται (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ). Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή για τις περισσότερες δυαδικές πράξεις, αλλά όχι για την αφαίρεση ή τη διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό octonion.

Αντιμεταθετική ιδιότητα: Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι και οι δύο αντιμεταθετικές. Δηλαδή, η σειρά των αριθμών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα: 2 + 3 = 3 + 2. Σε γενικές γραμμές, αυτό γίνεται α ∗ β = β ∗ α. Αυτή η ιδιότητα δεν ισχύει για όλες τις δυαδικές πράξεις. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός πινάκων και ο πολλαπλασιασμός quaternion είναι και οι δύο μη-αντιμεταθετικοί.

Ομάδες

Συνδυάζοντας τις παραπάνω έννοιες, παίρνουμε μία από τις πιο σημαντικές δομές στα μαθηματικά: μια ομάδα. Μια ομάδα είναι ένας συνδυασμός από ένα σύνολο S και μία μονό δυαδική πράξη ∗, που ορίζεται με οποιοδήποτε τρόπο που θα επιλέξουμε, αλλά με τις ακόλουθες ιδιότητες:

• Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο ε, τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο a του S, να ισχύει ότι τα e ∗ a και a ∗ e είναι και τα δύο ισοδύναμα με το ένα.
• Κάθε στοιχείο έχει έναν αντίστροφο: για κάθε στοιχείο a του S, υπάρχει ένα στοιχείο a^-1 τέτοιο ώστε τα a ∗ a^-1 και a^-1 ∗ a να είναι ισοδύναμα με το ουδέτερο στοιχείο.
• Η πράξη είναι προσεταιριστική: αν a, b και c είναι στοιχεία του S, τότε το (a ∗ b) ∗ c είναι ισοδύναμο με a ∗ (b ∗ c).

Αν μια ομάδα είναι επίσης αντιμεταθετική, - δηλαδή για κάθε δύο στοιχεία a και b του S, το a ∗ b είναι ισοδύναμο με το b ∗ a - τότε η ομάδα είναι αβελιανή.

Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων στο πλαίσιο της πράξης της πρόσθεσης είναι μια ομάδα. Σε αυτή την ομάδα, το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0 και το αντίστροφο κάθε στοιχείου a είναι το αρνητικό, −a. Η προσεταιριστική ιδιότητα ικανοποιείται, διότι για κάθε ακέραιο a, b και c, ισχύει (a + b) + c = a + (b + c)

Οι μη-μηδενικοί ρητοί αριθμοί αποτελούν μια ομάδα με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Εδώ, το ουδέτερο στοιχείο είναι το 1, τότε θα ισχύει 1 × a = a × 1 = a για κάθε ρητό αριθμό a. Το αντίστροφο του a είναι 1/a, τότε a × 1/a = 1.

Οι ακέραιοι αριθμοί με την πράξη του πολλαπλασιασμού, ωστόσο, δεν αποτελούν ομάδα. Αυτό είναι επειδή, σε γενικές γραμμές, το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ενός ακεραίου αριθμού δεν είναι ακέραιος. Για παράδειγμα, το 4 είναι ακέραιος, αλλά το πολλαπλασιαστικό αντίστροφό του είναι το ¼ , το οποίο δεν είναι ακέραιος.

Η θεωρία των ομάδων έχει μελετηθεί στη θεωρια ομάδων. Ένα σημαντικό αποτέλεσμα σε αυτή τη θεωρία είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων, το οποίο δημοσιεύτηκε μεταξύ του 1955 και του 1983, η οποία χωρίζει τις πεπερασμένες απλές ομάδες σε περίπου 30 βασικούς τύπους.

Οι ημιομάδες, τα quasigroups, και τα μονοειδή είναι δομές παρόμοιες με ομάδες, αλλά πιο γενικές. Αποτελούνται από ένα σύνολο και μια κλειστή δυαδική πράξη, αλλά δεν πρέπει απαραίτητα να πληρούν τις υπόλοιπες προϋποθέσεις. Μία ημιομάδα έχει μία συνδυαστική δυαδική πράξη, αλλά μπορεί να μην έχει ουδέτερο στοιχείο. Ένα μονοειδές είναι μία ημιομάδα που έχει ουδέτερο στοιχείο, αλλά μπορεί να μην έχει αντίστροφο για το κάθε στοιχείο. Ένα quasigroup πληρεί την απαίτηση ότι κάθε στοιχείο μπορεί να μετατραπεί σε οποιοδήποτε άλλο είτε από ένα μοναδικό αριστερό-πολλαπλασιασμό ή δεξιό-πολλαπλασιασμό, ωστόσο, η δυαδική λειτουργία μπορεί να μην είναι προσεταιριστική.

Όλες οι ομάδες είναι μονοειδή, και όλα τα μονοειδή είναι ημιομάδες.

Παραδείγματα

Σύνολο	Φυσικοί αριθμοί N		Ακέραιοι Z		Ρητοί αριθμοί Q (επίσης πραγματικοί R και μιγαδικοί C αριθμοί)				Ακέραιοι modulo 3: Z3 = {0, 1, 2}
Πράξη	+	× (εκτός του μηδενός)	+	× (εκτός του μηδενός)	+	−	× (εκτός του μηδενός)	÷ (εκτός του μηδενός)	+	× (εκτός του μηδενός)
Κλειστή	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι
Ουδέτερο στοιχείο	0	1	0	1	0	Μη εφαρμόσιμο	1	Μη εφαρμόσιμο	0	1
Αντίστροφος	Μη εφαρμόσιμο	Μη εφαρμόσιμο	−a	Μη εφαρμόσιμο	−a	Μη εφαρμόσιμο	1/a	Μη εφαρμόσιμο	0, 2, 1, αντίστοιχα	Μη εφαρμόσιμο,1, 2, αντίστοιχα
Προσεταιριστική	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Όχι	Ναι	Όχι	Ναι	Ναι
Αντιμεταθετική	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Ναι	Όχι	Ναι	Όχι	Ναι	Ναι
Δομή	μονοειδές	αβελιανή ομάδα	μονοειδές		αβελιανή ομάδα	quasigroup	αβελιανή ομάδα	quasigroup	αβελιανή ομάδα	αβελιανή ομάδα (Z2)

Δακτύλιοι και πεδία

Οι ομάδες έχουν μόνο μία δυαδική πράξη. Για να εξηγήσουμε πλήρως τη συμπεριφορά των διάφορων τύπων των αριθμών, πρέπει να μελετηθούν οι δομές με δύο πράξεις. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι οι δακτύλιοι και τα πεδία.

Ένας δακτύλιος έχει δύο δυαδικές πράξεις (+) και (x) με το (x) να είναι επιμεριστικό επάνω στο (+). Με την πρώτη πράξη (+) αποτελεί μία αβελιανή ομάδα. Ενώ, με την δεύτερη πράξη (x) είναι προσεταιριστικός, αλλά δεν χρειάζεται να έχει ουδέτερο ή αντίστροφο στοιχείο, έτσι η διαίρεση δεν απαιτείται. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης γράφεται ως 0 και το αντίστροφο στοιχείο της πρόσθεσης γράφεται ως –a. 

Η επιμεριστικότητα γενικεύει την επιμεριστική ιδιότητα για τους αριθμούς. Για τους ακέραιους (a + b) × c = a × c + b × c και c × (a + b) = c × a + c × b, και το (x) είναι επιμεριστικό πάνω στο (+).

Οι ακέραιοι είναι ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου. Οι ακέραιοι έχουν πρόσθετες ιδιότητες που τον καθιστούν έναν αναπόσπαστο τομέα.

Ένα πεδίο είναι ένας δακτύλιος με την πρόσθετη ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία εκτός από το 0 σχηματίζουν μια αβελιανή ομάδα με το (x). Το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού γράφεται ως 1 και το αντίστροφο του α γράφεται ως a^-1.

Οι ρητοί αριθμοί, οι πραγματικοί αριθμοί και οι μιγαδικοί αριθμοί είναι όλοι παραδείγματα πεδίων.

Notes

[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]