Ακέραια περιοχή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στην άλγεβρα ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1 ≠ 0 (δηλαδή με μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού) ο οποίος δεν έχει μηδενοδιαιρέτες. Η ιδιότητα 1 ≠ 0 απαιτείται έτσι ώστε ο μηδενικός δακτύλιος {0} να μην συμπεριλαμβάνεται στις ακέραιες περιοχές. Η έννοια της ακέραιας περιοχής αποτελεί γενίκευση των ακεραίων και προσφέρει ένα φυσικό περιβάλλον για ανάπτυξη της έννοιας της διαιρετότητας.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η έννοια της ακέραιας περιοχής μπορεί να οριστεί με διάφορους τρόπους. Ο πιο συνηθισμένος γίνεται μέσω της έννοιας του μηδενοδιαιρέτη. Συγκεκριμένα, ένας δακτύλιος (R,+,\circ) ονομάζεται ακέραια περιοχή αν είναι μεταθετικός, έχει μοναδιαίο στοιχείο διαφορετικό του μηδενικού και δεν έχει μηδενοδιαιρέτες (δηλαδή για όλα τα στοιχεία x, y του δακτυλίου, αν xy = 0 τότε είτε x = 0 ή y = 0).

Ισοδύναμοι ορισμοί είναι οι εξής:

  • ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, τέτοιος ώστε το μηδενικό ιδεώδες {0} να είναι πρώτο ιδεώδες.
  • ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που είναι υποδακτύλιος κάποιου σώματος.
  • ακέραια περιοχή είναι κάθε μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο τέτοιος ώστε για κάθε μη μηδενικό στοιχείο r του δακτυλίου, η απεικόνιση που στέλνει κάθε στοιχείο x του δακτυλίου στο γινόμενο xr να είναι ένα προς ένα.


Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το \mathbb{Z}_4 δεν είναι ακέραια περιοχή γιατί έχει μηδενοδιαιρέτες. Για παράδειγμα το [2] \in \mathbb{Z}_4 είναι ένας μηδενοδιαιρέτης καθώς [2][2]=[4]=0_{\mathbb{Z}_4} όμως [2] \ne 0_{\mathbb{Z}_4}.
  • Ο μηδενικός δακτύλιος δεν είναι ακέραια περιοχή. Αυτό συμβαίνει επειδή η συνθήκη 1 ≠ 0 στον ορισμό της ακέραιας περιοχής είναι ισοδύναμη με το ότι ο R είναι ο μη μηδενικός δακτύλιος. Πράγματι έστω ότι ισχύει 1 = 0, οπότε έχουμε ότι x=x\circ 1_R=x\circ 0_R =0_R και αυτό για κάθε x \in R, οπότε ο R είναι ο μηδενικός δακτύλιος.
  • Κάθε σώμα είναι ακέραια περιοχή. Ειδικότερα στους πεπερασμένους δακτυλίους η έννοια της ακέραιας περιοχής και του σώματος ταυτίζονται.
  • Ο δακτύλιος M_n(\mathbb{C}) των n\times n πινάκων με συντελεστές από το σώμα \mathbb{C} δεν είναι ακέραια περιοχή επειδή δεν είναι μεταθετικός.
  • Οι δακτύλιοι \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} είναι ακέραιες περιοχές.