Αβελιανή ομάδα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, αβελιανή ομάδα ή αντιμεταθετική ομάδα είναι μια ομάδα στην οποία, πέρα από τις συνήθεις ιδιότητες, η πράξη της ικανοποιεί και την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε στοιχεία , έχουμε .[1]:2[2]:1

Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel)[3]:20 διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του.[4]:39 Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».

Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι κ.ά.

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια αβελιανή ομάδα είναι μία ομάδα με σύνολο και δυαδική πράξη , η οποία ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα:

Για κάθε , ισχύει ότι .

Επομένως, συνολικά η αβελιανή ομάδα ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:

  • Κλειστότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .
  • Προσεταιριστική ιδιότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .
  • Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Υπάρχει ένα στοιχείο , ώστε για κάθε , .
  • Ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου: Για κάθε , υπάρχει ώστε .
  • Αντιμεταθετική ιδιότητα: Για κάθε , ισχύει ότι .

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση , καθώς για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς .[3]: 19 [4]: 39 
  • Κάθε κυκλική ομάδα είναι αβελιανή.[4]: 59 
  • Ως κυκλικές ομάδες, οι ακέραιοι φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την πρόσθεση, και το ίδιο και οι ακέραιοι με υπόλοιπο με πράξη την πρόσθεση, .
  • Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
  • Κάθε ομάδα με στοιχεία είναι αβελιανή.[1]: 27 
  • Κάθε ομάδα με για κάθε , είναι αβελιανή.[1]: 32 [4]: 48 

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ο πίνακας Cayley μίας αβελιανής ομάδας είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο, καθώς .[1]: 11 
  • Κάθε υποομάδα μία αβελιανής ομάδας είναι κανονική.[2]: 5 
  • Έστω ένας μονομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων και . Αν η είναι αβελιανή, τότε είναι και η .[1]: 59 [4]: 126 

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θεοδώρα (2015). Εισαγωγή στην Θεωρία Ομάδων. ΣΕΑΒ. ISBN 9789606033346. 
  2. 2,0 2,1 Γιαννόπουλος, Απόστολος (2013). «834. Θεωρία Ομάδων» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 7 Αυγούστου 2022. 
  3. 3,0 3,1 Παπίστας, Αθανάσιος Ι. (2015). Μαθήματα θεωρίας ομάδων. ΣΕΑΒ. ISBN 9789606031106. 
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 Fraleigh, John B. (2013). A first course in abstract algebra (Seventh έκδοση). Harlow, Essex. ISBN 9781292037592.