Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

Ακολουθεί ένας κατάλογος σημαντικών τύπων που περιλαμβάνουν τη μαθηματική σταθερά π. Πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να βρεθούν εδώ → Π.

Ευκλείδεια γεωμετρία

$\pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}$

όπου C είναι η περιφέρεια ενός κύκλου, d είναι η διάμετρος και r είναι η ακτίνα. Γενικότερα,

$A=\pi r^{2}$

όπου A είναι το εμβαδόν ενός κύκλου. Γενικότερα,

$A=\pi ab$

όπου A είναι το εμβαδόν που περικλείεται από μια έλλειψη με μεγάλο άξονα τον a και μικρό άξονα τον b.

$C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)$

όπου C είναι η περιφέρεια μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα τον a και μικρό άξονα τον b και $a_{n},b_{n}$ είναι οι αριθμητικές και γεωμετρικές επαναλήψεις του $\operatorname {agm} (a,b)$, δηλαδή του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (όρου) των a και b με αρχικές τιμές $a_{0}=a$ και $b_{0}=b$.

$A=4\pi r^{2}$

όπου A είναι το εμβαδόν μεταξύ της μάγισσας της Ανιέσι και της ασυμπτωτικής γραμμής της. Το r είναι η ακτίνα του κύκλου που ορίζουμε.

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}$

όπου A είναι το εμβαδόν μιας επικυκλοειδούς καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο να έχει ακτίνα r και τον μεγαλύτερο κύκλο να έχει ακτίνα kr ($k\in \mathbb {N}$), υποθέτοντας ότι το αρχικό σημείο βρίσκεται στον μεγαλύτερο κύκλο.

$V={4 \over 3}\pi r^{3}$

όπου V είναι ο όγκος μιας σφαίρας και r είναι η ακτίνα.

$SA=4\pi r^{2}$

όπου SA είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας και r είναι η ακτίνα.

$H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}$

όπου H είναι ο υπερόγκος μιας 3-σφαίρας και r είναι η ακτίνα.

$SV=2\pi ^{2}r^{3}$

όπου SV είναι ο όγκος της επιφάνειας μιας 3-σφαίρας και r είναι η ακτίνα.

Κανονικά κυρτά πολύγωνα

Άθροισμα S εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με n πλευρές:

$S=(n-2)\pi$

Εμβαδόν A ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με n πλευρές και μήκος πλευράς s:

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Φυσική

• Η κοσμολογική σταθερά:

  $\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$

• Η αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ:

  $\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• Ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτρική δύναμη στο κενό:

  $F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• Μαγνητική διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου:

  $\mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}$

• Περίοδος απλού εκκρεμούς με μικρό πλάτος ταλάντωσης:

  $T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Περίοδος απλού εκκρεμούς με πλάτος $\theta _{0}$ ($\operatorname {agm}$ είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)):

  $T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Περίοδος συστήματος ελατηρίου-μάζας με σταθερά ελατηρίου $k$ και μάζα $m$:

  $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

• Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών:

  ${\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$

• Ο τύπος λυγισμού:

  $F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}$

Τύποι που υπολογίζουν το π

Ολοκληρώματα

$2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi$ (ολοκληρώνουμε δύο φορές την συνάρτηση $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ για να πάρουμε το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου)

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi$

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi$ (κατανομή Κωσύ)

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi$ (ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ (ολοκλήρωμα Γκάους).

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$ (όταν η διαδρομή της ολοκλήρωσης "τυλίγεται" μια φορά αριστερόστροφα γύρω από το 0. Δείτε επίσης Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ).

$\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi$

$\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi$

$\int _{0}^{1}{x^{2}(1+x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx=\pi -{17 \over 15}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}$ (όπου $\operatorname {agm}$ είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος). Δείτε επίσης Ελλειπτικό ολοκλήρωμα)

Παρατηρήστε ότι στις άρτιες συναρτήσεις, $f(-x)=f(x)$, οι τύποι της μορφής ${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$ μπορούν επίσης να γραφτούν ως ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$.

Αποτελεσματικές άπειρες σειρές

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}$ (δείτε επίσης Διπλό παραγοντικό)

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}(2k+1)!!}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}$ (αλγόριθμος Chudnovsky)

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}$ (βλέπε σειρά του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν)

Τα ακόλουθα είναι αποτελεσματικά για τον υπολογισμό αυθαίρετων δυαδικών ψηφίων του π:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi$ (τύπος των Bailey–Borwein–Plouffe)

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=2\pi$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi$

Σειρά Plouffe για τον υπολογισμό αυθαίρετων δεκαδικών ψηφίων του π:

$\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3$

Άλλες άπειρες σειρές

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (δείτε επίσης Πρόβλημα της Βασιλείας και Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν)

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$, όπου B_2n είναι ένας αριθμός Μπερνούλι.

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7^{n}-1}{8^{n}}}\,\zeta (n+1)=(1+{\sqrt {2}})\pi$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}$ (τύπος του Λάιμπνιτς)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$ (Νεύτων, Second Letter to Oldenburg, 1676)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$ (σειρά Madhava)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

Γενικότερα,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

όπου $E_{2k}$ είναι ο $2k$-οστός αριθμός Όιλερ.

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3$ (σειρά Nilakantha)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}$ (όπου $F_{n}$ είναι ο n-οστός αριθμός Φιμπονάτσι)

$\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}$ (όπου $\sigma$ είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρετών)

$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\epsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots$(όπου $\epsilon (n)$ είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ του $n$)

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$(όπου $\varepsilon (n)$ είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής $p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$ του $n$)

$\pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}$

$\pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}$

Οι δύο τελευταίοι τύποι

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}$

είναι ειδικές περιπτώσεις που παράγουν άπειρους ανάλογους τύπους για το $\pi$, όταν το $x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .$

Τύποι του Τζον Μασίν

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ (ο αρχικός τύπος του Μασίν)

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

Άπειρα γινόμενα

${\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots$ (Όιλερ)

όπου οι αριθμητές είναι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί. Κάθε παρονομαστής είναι το πολλαπλάσιο του 4 που είναι πιο κοντά στον αριθμητή.

${\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots$

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$ (βλέπε επίσης γινόμενο Γουάλις)

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots$ (άλλη μορφή του γινομένου του Γουάλις)

Ο τύπος του Viète:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots$

Ένας τύπος διπλού άπειρου γινομένου που περιλαμβάνει την ακολουθία Θουέ-Μορς:

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},$

όπου $\epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}$ και $t_{n}$ είναι η ακολουθία Θουέ-Μορς (Tóth 2020).

Τύποι με τόξο εφαπτομένης

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2$

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

όπου $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ τέτοιο ώστε $a_{1}={\sqrt {2}}$.

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

όπου $F_{k}$ είναι ο κ-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

όταν ισχύει ότι $a+b+c=abc$ και $a$, $b$, $c$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια ειδική περίπτωση είναι:

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Μιγαδικές συναρτήσεις

$e^{i\pi }+1=0$ (ταυτότητα του Όιλερ)

Οι παρακάτω ισοδυναμίες ισχύουν για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό $z$:

$e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z}$

$e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z}$

Επίσης,

${\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .$

Συνεχή κλάσματα

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}$

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

$2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}$

$\pi =4-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1-{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{1-{\cfrac {2}{1+{\cfrac {3}{1-{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

Επαναληπτικοί αλγόριθμοι

$a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}$

$a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}$ (Στενά συνδεδεμένο με τον τύπο του Viète)

$\forall k\in \mathbb {N} ,\,a_{1}=2^{-k},\,a_{n+1}=a_{n}+2^{-k}(1-\tan(2^{k-1}a_{n})),\,\pi =2^{k+1}\lim _{n\to \infty }a_{n}$ (τετραγωνική σύγκλιση)

$a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}$ (κυβική σύγκλιση)

$a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatorname {hm} (a_{n},b_{n}),\,b_{n+1}=\operatorname {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ (αλγόριθμος του Αρχιμήδη, βλέπε επίσης αρμονικός μέσος και γεωμετρικός μέσος)

Ασυμπτωτικοί τύποι

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$ (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των κεντρικών διωνυμικών συντελεστών)

$C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}$ (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των Καταλανικών αριθμών)

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ (Τύπος Στίρλινγκ)

$\log n!\simeq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n-n+{\frac {\log 2\pi }{2}}$

$\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$ (όπου $\varphi$ είναι η συνάρτηση Όιλερ)

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}$

Το σύμβολο $\sim$ σημαίνει ότι η αναλογία της αριστερής πλευράς και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 1 όσο το $n\to \infty$.

Το σύμβολο $\simeq$ σημαίνει ότι η διαφορά μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 0 όσο το $n\to \infty$.

Ανάμικτοι τύποι

$\Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}$ (τύπος ανάκλασης του Όιλερ, βλέπε Συνάρτηση γάμμα)

$\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)$ (η συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν)

$e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}$

$e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}$ (όπου $\zeta (s,a)$ είναι η συνάρτηση ζήτα του Hurwitz και η παράγωγος λαμβάνεται ως προς την πρώτη μεταβλητή)

$\pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}$ (δείτε επίσης Συνάρτηση βήτα)

$\pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}$

$i\pi =\operatorname {Log} (-1)=\lim _{n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)$ (όπου $\operatorname {Log}$ είναι η κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου)

$1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})$ (όπου ${\textstyle n{\bmod {k}}}$ είναι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του n με το k)

$\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{cases}}$ (αθροίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου)

$\pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}$ (άθροισμα Ρίμαν για τον υπολογισμό του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου)

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}$ (συνδυάζοντας τον τύπο του Στίρλινγκ με το γινόμενο Γουάλις)

Παραπομπές

• Tóth, László (2020), «Transcendental Infinite Products Associated with the +-1 Thue-Morse Sequence», Journal of Integer Sequences 23: 20.8.2, https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL23/Toth/toth46.pdf .

Περαιτέρω ανάγνωση

• Borwein, Peter (2000). «The amazing number π». Nieuw Archief voor Wiskunde. 5th series 1 (3): 254–258. . https://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2000-01-3-254.pdf. 
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, (ISBN 0-8218-0863-X).