Αρμονικός μέσος

Στα μαθηματικά, ο αρμονικός μέσος $n$ θετικών πραγματικών αριθμών $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ορίζεται ως εξής

${\overline {a}}_{H}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}.$

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου, ο αρμονικός μέσος είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμητικού και του γεωμετρικού μέσου.

Παράδειγμα

Ο αρμονικός μέσος των αριθμών $\{2.3,7.6,9.1,12.7\}$, υπολογίζεται ως

${\overline {a}}_{H}={\frac {4}{{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{7.6}}+{\frac {1}{9.1}}+{\frac {1}{12.7}}}}=5.298..\ .$

Γεωμετρική κατασκευή

Σχήμα για την κατασκευή του γεωμετρικού μέσου (${\rm {HM}}$).

Έστω $\alpha ,\beta$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\alpha >\beta$.

1. Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {NM=\alpha }}$.
2. Θεωρούμε το σημείο του ${\rm {\Sigma }}$ ώστε ${\rm {\Sigma M=\beta }}$.
3. Επίσης θεωρούμε το μέσο ${\rm {O}}$ του ${\rm {N\Sigma }}$, δηλαδή ${\textstyle {\rm {NO=O\Sigma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$.
4. Με κέντρο το ${\rm {O}}$ χαράζουμε κύκλο $C$ με ακτίνα ${\rm {O\Sigma }}$.
5. Θεωρούμε μία από τις δύο εφαπτόμενες από το σημείο ${\rm {M}}$ στον κύκλο $C$.
6. Έστω ${\rm {\Gamma }}$ το σημείο επαφής.
7. Τέλος, θεωρούμε το ύψος ${\rm {\Gamma H}}$ του τριγώνου ${\rm {A\Gamma M}}$. Το μήκος του ${\rm {HM}}$ είναι ίσο με τον αρμονικό μέσο των $\alpha ,\beta$.

Απόδειξη  

Έχουμε ότι ${\rm {N\Sigma }}={\rm {MN}}-{\rm {M\Sigma }}=\alpha -\beta$. Καθώς το ${\rm {O}}$ είναι το μέσο του ${\rm {N\Sigma }}$, έχουμε ότι

${\rm {\Sigma O}}={\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )$

και επίσης

${\rm {MO}}={\rm {MN}}-{\rm {\Sigma O}}=\alpha -{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )$.

Το τρίγωνο ${\rm {\Gamma MO}}$ είναι ορθογώνιο, συνεπώς από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

${\begin{aligned}{\rm {\Gamma M}}&={\sqrt {{\rm {MO}}^{2}-{\rm {\Gamma O}}^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}(\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2})-{\frac {1}{4}}(\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2})}}\\&={\sqrt {\alpha \beta }}.\end{aligned}}$

Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm {\Gamma MO}}$ και ${\rm {\Gamma MH}}$ είναι όμοια (καθώς έχουν μία οξεία γωνία ίση). Επομένως,

${\frac {\rm {HM}}{\rm {\Gamma M}}}={\frac {\rm {\Gamma M}}{\rm {MO}}}$,

δηλαδή

${\rm {HM}}={\frac {({\sqrt {\alpha \beta }})^{2}}{\frac {\alpha +\beta }{2}}}={\frac {2}{{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}}}$.

Δείτε επίσης

• Αρμονική πρόοδος
• Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου
• Μέσος όρος