Γραμμική απεικόνιση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνισηγραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων και επί του σώματος είναι μία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί

  • , για κάθε , και
  • , για κάθε και .

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

, για κάθε και .

Αν οι διανυσματικοί χώροι και ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση :

  • .
  • Για οποιαδήποτε διανύσματα και σταθερές , ισχύει ότι
.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Η συνάρτηση για είναι γραμμική.
  • Η μηδενική συνάρτηση είναι γραμμική.
  • Για κάθε πίνακα η συνάρτηση είναι γραμμική (για ).
  • Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση
είναι γραμμική.
  • Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων η συνάρτηση
είναι γραμμική.

Πίνακας μετασχηματισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε κάθε διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω μία βάση του διανυσματικού χώρου . Τότε κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως

,

για κάποια . Επομένως για έναν μετασχηματισμό έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

.

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα δεν εξαρτώνται από το , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του .

Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιστροφή του κατά γωνία .
Περιστροφή του κατά γωνία .

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από