Πίνακας περιστροφής

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Περιστροφή του σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων κατά γωνία .

Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία , ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με[1]:280[2]:112[3]:60-61

,

όπου είναι το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας .

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών,[1]:282[4] την ρομποτική,[5]:1-2 την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

Στις δύο διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τύπος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιστροφή του σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων κατά γωνία , ώστε να πάρουμε το . Η γωνία είναι η γωνία του με την αρχή των αξόνων και είναι το μήκος του (και του ).

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεωρούμε ένα σημείο στο επίπεδο. Έστω η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και η γωνία μεταξύ του και του άξονα xx'. Τότε και .

Έστω το σημείο περιεστρεμμένο κατά γωνία αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του με τον xx' είναι και το μήκος του είναι . Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι

και

Συνεπώς, ισχύει ότι

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Περιστροφή του κατά γωνία μας δίνει το σημείο , που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο
  • Η περιστροφή κατά αντιστοιχεί στην
  • Η περιστροφή του σημείου κατά γωνία δίνεται από τον τύπο
.
Παραδείγματα περιστροφών ως προς την αρχή των αξόνων
Περιστροφή του .
Περιστροφή κατά .
Γενικό παράδειγμα περιστροφής.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον . Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.
  • Η Ορίζουσα του πίνακα .
  • Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες και είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία , δηλαδή .

Στις τρεις διαστάσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περιστροφή γύρω από τους άξονες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:[6]:307[3]:62

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:

και


Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Καδιανακης, Ν.· Καρανασιος, Σ. (2014). Γραμμική άλγεβρα, αναλυτική γεωμετρία και εφαρμογές. Αθήνα. ISBN 960-91725-0-4. 
  2. Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  3. 3,0 3,1 Μουστάκας, Κ.· Παλιόκας, Ι.· Τσακίρης, Α.· Τζοβάρας, Δ. (2015). Γραφικά και εικονική πραγματικότητα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-255-4. 
  4. Αριστίδου, Ανδρέας. «Γραφικά υπολογιστών Βασικά μαθηματικά: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί» (PDF). Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022. 
  5. Ασβεστας, Π. «Εισαγωγή στη Ρομποτική: Μετασχηματισμοί στις 2 διαστάσεις» (PDF). Σχολή Μηχανικών, Τμήμα Μηχανικών Βιοιατρικής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής. Ανακτήθηκε στις 4 Σεπτεμβρίου 2022. 
  6. Sernesi, E. (1993). Linear algebra : a geometric approach (English language έκδοση). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-40680-2.