Γραμμική απεικόνιση

Έστω $V\,$ και $W\,$ διανυσματικοί χώροι επί του σώματος $F\,$. Μια απεικόνιση

$T:V\to W$ με $T:u\in V\to w=T(u)\in W$

ονομάζεται γραμμική απεικόνιση ή γραμμικός μετασχηματισμός όταν για κάθε $u,w\in V$ και $\alpha \in F$ ισχύουν οι σχέσεις

$T(u+v)=T(u)+T(v)\,$ και $T(\alpha u)=\alpha T(u)\,$

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας. Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με την σχέση

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)\,$

για κάθε $u,v\in V$ και $\alpha ,\beta \in F$, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός ορισμός της έννοιας του γραμμικού μετασχηματισμού. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γενικευθεί για $n\,$ διανύσματα

$T(\alpha _{1}u_{1}+...+\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+...+\alpha _{n}T(u_{n})\,$

με $u_{1},u_{2},...,u_{n}\in V\,$ και $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in F\,$

Αν οι διανυσματικοί χώροι $V\,$ και $W\,$ ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.