Παράλληλες ευθείες

Δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$.

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$.

Ιδιότητες

• Έστω $\varepsilon$ μία ευθεία και ${\rm {P}}$ ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {P}}$ και είναι παράλληλη στην $\varepsilon$. (Αξίωμα παραλληλίας)
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$, τότε και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{1}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Για καμία ευθεία $\varepsilon$ δεν ισχύει ότι $\varepsilon \parallel \varepsilon$ (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{2}$ και επιπλέον $\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}$ τότε $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}$.
• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και η $\varepsilon _{3}$ τέμνει την $\varepsilon _{1}$, τότε τέμνει και την $\varepsilon _{2}$.

Απόδειξη  

Έστω οι ευθείες $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{3}$ μία ευθεία η οποία τέμνει την $\varepsilon _{1}$ στο σημείο έστω ${\rm {A}}$. Υποθέτουμε ότι η ευθεία $\varepsilon _{3}$ δεν τέμνει την $\varepsilon _{2}$ τότε η ευθεία $\varepsilon _{3}$ θα είναι παράλληλη στην η ευθεία $\varepsilon _{2}$, δηλαδή από το σημείο ${\rm {A}}$ θα διέρχονται δύο παράληλες προς την ευθεία $\varepsilon _{3}$ πράγμα άτοπο (από το αξίωμα παραλληλίας). Συνεπώς η ευθεία $\varepsilon _{3}$ τέμνει και την $\varepsilon _{2}$.$\quad \square$

• Αν $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$, και επιπλέον $\varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}$.
• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}$.
• Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
• Αν δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι ίσα.

Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα

Οι ίσες γωνίες που δημιουργούνται όταν δύο παράλληλες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία.

Έστω δύο παράλληλες ευθείες $\delta$ και $\varepsilon$ που τέμνονται από την ευθεία $\zeta$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$. Τότε,

• οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (${\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{1}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{2}$).
• οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (${\hat {\rm {A}}}_{1}={\hat {\rm {B}}}_{1}$, ${\hat {\rm {A}}}_{2}={\hat {\rm {B}}}_{2}$, ${\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{3}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{4}$)
• οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (${\hat {\rm {A}}}_{3}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{2}$ και ${\hat {\rm {A}}}_{4}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{1}$).

Αναλυτική γεωμετρία

Συνθήκη παραλληλίας

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y=\lambda _{1}x+\beta _{1}\quad (\varepsilon _{1})$,

$y=\lambda _{2}x+\beta _{2}\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι παράλληλες αν και μόνο αν

$\lambda _{1}=\lambda _{2}$ και $\beta _{1}\neq \beta _{2}$.

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$A_{1}x+B_{1}y+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})$,

$A_{2}x+B_{2}y+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι παράλληλες αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω

$B_{1}=B_{2}=0$, $\quad A_{1}\cdot A_{2}\neq 0\quad$ και $\quad {\mathit {\Gamma }}_{1}\cdot A_{2}\neq {\mathit {\Gamma }}_{2}\cdot A_{1}$,

ή

$A_{1}\cdot B_{2}=A_{2}\cdot B_{1}\quad$ και $\quad B_{1}\cdot B_{2}\neq 0$.

Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών

Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι το μήκος του κόκκινου ευθυγράμμου τμήματος.

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})$,

$Ax+By+{\mathit {\Gamma }}_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})$,

έχουν απόσταση

$d={\frac {|{\mathit {\Gamma }}_{2}-{\mathit {\Gamma }}_{1}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή παράλληλης στην $\varepsilon$ που διέρχεται από δοσμένο σημείο ${\rm {A}}$.

Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ${\rm {A}}$ και είναι παράλληλη στην $\varepsilon$ είναι η ακόλουθη:

1. Έστω ${\rm {B}}$ τυχόν σημείο της $\varepsilon$.
2. Χαράζουμε τον κύκλο με κέντρο το ${\rm {B}}$ και ακτίνα ${\rm {AB}}$ και έστω ${\rm {\Gamma }}$ ένα κοινό του σημείο του κύκλου με την $\varepsilon$.
3. Με την ίδια ακτίνα, χαράζουμε τους κύκλους με κέντρα ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {A}}$, οι οποίοι τέμνονται στο ${\rm {B}}$ και σε ένα άλλο σημείο, έστω $\Delta$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από τα ${\rm {A\Delta }}$ είναι η παράλληλη στην $\varepsilon$ (καθώς το ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι ρόμβος).

Θεωρήματα και σχετικές έννοιες

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι ${\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$.

• (Θεωρημα Θαλή) Έστω $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ δύο παράλληλες ευθείες, και $\Sigma$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε, για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\Sigma$ και τέμνουν την $\varepsilon _{1}$ στα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {\Gamma }}$, και την $\varepsilon _{2}$ στα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Delta }}$, ισχύει ότι

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

${\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}$,

τότε οι ευθείες $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ είναι παράλληλες.

Ένα παραλληλόγραμμο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$.

• (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ δύο παράλληλων ευθειών $\varepsilon _{1}$ και $\varepsilon _{2}$ αποτελείται από όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

• (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη και ισαπέχει από αυτές.

Δείτε επίσης

• Κάθετες ευθείες
• Ασύμβατες ευθείες
• Αξίωμα παραλληλίας