Ίχνος πίνακα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα διαστάσεων το ίχνος του ορίζεται ως[1]:36[2]:178[3]:14[4]:218

.

Για παράδειγμα,

και .

Ο συμβολισμός προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος.[2]:178 Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν..

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων για , ισχύει ότι:
.
  • Για τον ταυτοτικό πίνακα , ισχύει ότι . Για παράδειγμα, για :
.
  • Για τον μηδενικό πίνακα , ισχύει ότι .
  • Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα , , καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι .[1]:36 Για παράδειγμα:
.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες και ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο έχουμε ότι και .[2]:195
  • Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού, .[3]:41
  • Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα, .
  • Για δύο όμοιους πίνακες και , .
  • Αν είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα , τότε .[4]:218[5]:17[6]:182

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
  3. 3,0 3,1 Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
  4. 4,0 4,1 Σιμσερίδης, Κωνσταντίνος (2015). Κβαντική οπτική και lasers. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-073-4. 
  5. Αδάμ, Μ.· Πλαγιανάκος, Β. «Ειδικά θέματα Αριθμητικής Ανάλυσης και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών: Κανονικές μορφές» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 23 Αυγούστου 2022. 
  6. Κομηνέας, Σ.· Χαρμανδάρης, Ευ. (2016). Μαθηματική μοντελοποίηση: Μία σπουδή στις θετικές επιστήμες. 2016: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-425-1.