Όμοιοι πίνακες

Στην γραμμική άλγεβρα, δύο πίνακες $A$, $B$ είναι όμοιοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας $P$, τέτοιος ώστε

$A=P^{-1}BP$.

Ιδιότητες

• Η σχέση της ομοιότητας πινάκων είναι μία σχέση ισοδυναμίας.

Απόδειξη  

Θα αποδείξουμε τις τρεις ιδιότητες για μία σχέση ισοδυναμίας:

• Ανακλαστική: Κάθε πίνακας $A$ είναι όμοιος με τον εαυτό του, καθώς για $P=I$ τον ταυτοτικό πίνακα, λαμβάνουμε

$I^{-1}AI=IAI=A$.

• Συμμετρική: Αν ο πίνακας $A$ είναι όμοιος με τον $B$, δηλαδή υπάρχει πίνακας $P$ ώστε $A=P^{-1}BP$, τότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη αριστερά με το $P$ και δεξιά με το $P^{-1}$, έχουμε

$A=P^{-1}BP\Rightarrow PAP^{-1}=PP^{-1}BPP^{-1}=IBI=B$,

χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αναστρέψιμου πίνακα και την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων. Επομένως ο $B$ είναι όμοιος με τον $A$ χρησιμοποιώντας τον πίνακα $P^{-1}$, καθώς $P=(P^{-1})^{-1}$.

• Μεταβατική: Αν ο πίνακας $A$ είναι όμοιος με τον $B$ και ο $B$ είναι όμοιος με τον $C$, τότε υπάρχουν αναστρέψιμοι πίνακες $P_{1}$ και $P_{2}$ ώστε

$A=P_{1}^{-1}BP$ και $B=P_{2}^{-1}CP_{2}$.

Επομένως, συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις

$A=P_{1}^{-1}P_{2}^{-1}CP_{2}P_{1}=(P_{2}P_{1})^{-1}C(P_{2}P_{1})$,

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναστροφής $(P_{2}P_{1})^{-1}=P_{1}^{-1}P_{2}^{-1}$. Συνεπώς, ο $A$ είναι όμοιος με τον $C$.

• Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίση ορίζουσα.

Απόδειξη  

Έστω $A$ και $B$ δύο όμοιοι πίνακες, τότε

${\begin{aligned}\operatorname {det} (A)&=\operatorname {det} (P^{-1}BP)\\&=\operatorname {det} (P^{-1})\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (P)\\&=(\operatorname {det} (P))^{-1}\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (P)\\&=\operatorname {det} (A),\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των οριζουσών ότι $\operatorname {det} (XY)=\operatorname {det} (X)\cdot \operatorname {det} (Y)$ και ότι $\operatorname {det} (X^{-1})=(\operatorname {det} (X))^{-1}$ για αντιστρέψιμο πινακα $X$.

• Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίσο ίχνος.

Απόδειξη  

Έστω $A$ και $B$ δύο όμοιοι πίνακες, τότε

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {det} (P^{-1}BP)=\operatorname {det} (BP^{-1}P)=\operatorname {det} (BI)=\operatorname {det} (B)$,

χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του ίχνους ότι $\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)$.

• Δύο όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Απόδειξη  

Έστω $A$ και $B$ δύο όμοιοι πίνακες και έστω ένα ιδιοδιάνυσμα $\mathbf {v}$ του $A$ με ιδιοτιμή $\lambda$. Τότε,

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \Rightarrow P^{-1}BP\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} \Rightarrow B(P\mathbf {v} )=\lambda (P\mathbf {v} )$,

και άρα το διάνυσμα $P\mathbf {v}$ είναι ιδιοδιάνυσμα του $B$ με ιδιοτιμή $\lambda$.

• Δύο όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.
• Αν δύο πίνακες $A$ και $B$ είναι όμοιοι, τότε οι ανάστροφοί τους είναι όμοιοι.

Απόδειξη  

$A^{T}=(P^{-1}BP)^{T}=P^{T}B^{T}(P^{-1})^{T}=P^{T}B^{T}(P^{T})^{-1}$.

Επομένως, είναι οι $A^{T}$ και $B^{T}$ είναι όμοιοι για $Q=(P^{T})^{-1}$.

• Αν δύο πίνακες $A$ και $B$ είναι όμοιοι, τότε οι δυνάμεις τους $A^{k}$ και $B^{k}$ για $k\in \mathbb {N}$ είναι όμοιοι.

Απόδειξη  

${\begin{aligned}A^{k}&=(P^{-1}BP)^{k}\\&=\underbrace {(P^{-1}BP)\cdot (P^{-1}BP)\cdot \ldots \cdot (P^{-1}BP)} _{k{\text{ φορές}}}\\&=\underbrace {P^{-1}B(PP^{-1})B(P\cdot \ldots \cdot P^{-1})BP} _{k{\text{ φορές}}}\\&=P^{-1}\underbrace {BIB\ldots BI} _{k{\text{ φορές}}}P=P^{-1}B^{k}P,\end{aligned}}$.

Επομένως, είναι οι $A^{k}$ και $B^{k}$ είναι όμοιοι πίνακες.

Δείτε επίσης

• Διαγωνοποιήσιμος πίνακας