Οκτάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Οκτάεδρο
Octahedron.gif
Κατηγορία Πλατωνικό στερεό
Έδρες 8 τρίγωνα
Ακμές 12
Κορυφές 6
Σύμβολο Schläfli {3,4}
Ομάδα συμμετρίας οκταεδρική (Oh)
Διαμόρφωση κορυφής Octahedron vertfig.png
(3.3.3.3)
Συζυγές Dualoctaedre.png
Κύβος
Ανάπτυγμα Octahedron flat.svg


Στη στερεομετρία, οκτάεδρο λέγεται ένα πολύεδρο που έχει οκτώ έδρες.

Το κανονικό οκτάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει για έδρες οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα, τα οποία ενώνονται ανά τέσσερα σε κάθε κορυφή του.

Άλλα οκτάεδρα είναι το κόλουρο τετράεδρο, το εξαγωνικό πρίσμα, η επταγωνική πυραμίδα κ.ά.


Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού οκταέδρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν θεωρήσουμε  \alpha \,\! το μήκος της ακμής του οκταέδρου, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
 R = \frac{\sqrt{2}}{2}\alpha \approx 0,707 \alpha 
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση εδρών από το κέντρο)
 r = \frac{\sqrt{6}}{6}\alpha \approx 0,408 \alpha 
Απόσταση ακμών από το κέντρο  \rho = \frac{1}{2}\alpha = 0,5 \alpha 
Συνολική επιφάνεια  S = 2\sqrt{3}\alpha^2 \approx 3,464 \alpha^2 
Όγκος  V = \frac{\sqrt{2}}{3}\alpha^3 \approx 0,471 \alpha^3 

Η δίεδρη γωνία του κανονικού οκταέδρου είναι ίση με 109,47122°.

Το συζυγές πολύεδρο του οκταέδρου είναι ο κύβος, δηλαδή τα κέντρα των οκτώ τριγωνικών εδρών του οκταέδρου αποτελούν κορυφές κύβου. Βεβαίως, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των έξι εδρών του κύβου αποτελούν κορυφές οκταέδρου. Τόσο το οκτάεδρο όσο και ο κύβος ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετρίας, την οκταεδρική.


Το οκτάεδρο μπορεί να θεωρηθεί και ως τριγωνικό αντιπρίσμα, αποτελώντας έτσι το πρώτο μέλος της άπειρης σειράς των αντιπρισμάτων.

Επίσης, το οκτάεδρο μπορεί να θεωρηθεί και ως δύο τετραγωνικές πυραμίδες, που έχουν κοινή τη βάση τους (σε αυτή την περίπτωση το στερεό ονομάζεται τετραγωνική διπυραμίδα).

Αλγεβρική μορφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το οκτάεδρο στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων


X(u,v)= a*arcsin(sin(v))*arcsin(sin(u))
Y(u,v)= a*arcsin(cos(v))*arcsin(sin(u))
Z(u,v)= a*arccos(cos(u))


0≤u≤π
0≤v≤(2π)

Αν  Z(u,v)=a*(u)  τότε επανάλαμβάνονται διαδοχικά.
 a  σταθερά


Παραπομπή:commons:file:parametric system of coordinates.pdf

Πηγές - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Weisstein, Eric W., Octaedron (Αγγλικά)