Εικοσάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Εικοσάεδρο
Icosahedron.svg
(κινούμενο μοντέλο)
Κατηγορία Πλατωνικό στερεό
Έδρες 20 τρίγωνα
Ακμές 30
Κορυφές 12
Σύμβολο Schläfli {3,5}
Ομάδα συμμετρίας εικοσαεδρική (Ih)
Διαμόρφωση κορυφής Icosahedron vertfig.png
(3.3.3.3.3)
Συζυγές Dualicosaedre.png
Δωδεκάεδρο
Ανάπτυγμα Icosahedron flat.svg

Εικοσάεδρο στη στερεομετρία λέγεται ένα πολύεδρο που έχει είκοσι έδρες.

Το κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει ως έδρες είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα, τα οποία ενώνονται ανά πέντε σε κάθε κορυφή του.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με το εικοσάεδρο στην Πρόταση 16 του 13ου βιβλίου των Στοιχείων του (XXIII.16).

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού εικοσαέδρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν θεωρήσουμε  \alpha \,\! το μήκος της ακμής του εικοσαέδρου, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
 R = \frac{a}{2} \sqrt{\phi \sqrt{5}} = \frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}\alpha \approx 0,951 \alpha 
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση εδρών από το κέντρο)
 r = \frac{\phi^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})\alpha \approx 0,756 \alpha 
Απόσταση ακμών από το κέντρο  \rho = \frac{a \phi}{2} = \frac{1}{4}(1+\sqrt{5})\alpha \approx 0,809 \alpha 
Συνολική επιφάνεια  S = 5\sqrt{3}\alpha^2 \approx 8,66 \alpha^2 
Όγκος  V = \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})\alpha^3 \approx 2,182 \alpha^3 

όπου \phi \,\! ο χρυσός αριθμός.

Η δίεδρη γωνία του κανονικού εικοσαέδρου είναι ίση με 138,189685°.

Το συζυγές πολύεδρο του εικοσαέδρου είναι το δωδεκάεδρο, δηλαδή τα κέντρα των είκοσι τριγωνικών εδρών του εικοσαέδρου αποτελούν κορυφές δωδεκαέδρου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των εδρών του δωδεκαέδρου αποτελούν κορυφές εικοσαέδρου. Τόσο το εικοσάεδρο όσο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετρίας, την εικοσαεδρική.

Πηγές - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]