Εικοσιδωδεκάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Εικοσιδωδεκάεδρο
Icosidodecahedron.jpg
(κινούμενο μοντέλο)
Κατηγορία Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες 32
20 τρίγωνα
12 πεντάγωνα
Ακμές 60
Κορυφές 30
Ομάδα συμμετρίας εικοσαεδρική (Ih)
Διαμόρφωση κορυφής Icosidodecahedron vertfig.png
(3.5.3.5)
Συζυγές Rhombic triacontahedron.png
Ρομβικό τριακοντάεδρο
Ανάπτυγμα Icosidodecahedron flat.svg

Στη Στερεομετρία, το εικοσιδωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 32 έδρες: 20 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει 30 κορυφές και 60 ακμές.

Η διαμόρφωση κορυφής του είναι (3.5.3.5), δηλαδή σε κάθε κορυφή του ενώνονται εναλλάξ δύο τρίγωνα και δύο πεντάγωνα. Όλες οι ακμές σχηματίζουν έναν σκελετό έξι κανονικών δεκαγώνων, που τέμνονται ανά δύο στις κορυφές του πολυέδρου.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά εικοσιδωδεκάεδρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν θεωρήσουμε  \alpha \,\! το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
 R = \phi\alpha  \approx 1,618 \alpha 
Απόσταση ακμών από το κέντρο  \rho = \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\alpha \approx 1,539 \alpha 
Απόσταση τριγωνικών εδρών από το κέντρο  r_3 = \sqrt{\frac{1}{6}\left(7+3\sqrt{5}\right)}\alpha \approx 1,512 \alpha 
Απόσταση πενταγωνικών εδρών από το κέντρο  r_5 = \sqrt{\frac{1}{5}\left(5+2\sqrt{5}\right)}\alpha \approx 1,376 \alpha 
Συνολική επιφάνεια  S = \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)\alpha^2 \approx 29,306 \alpha^2 
Όγκος  V = \frac{1}{6}\left(45+17\sqrt{5}\right)\alpha^3 \approx 13,834 \alpha^3 

όπου  \phi \,\! ο χρυσός αριθμός.

Η δίεδρη γωνία, μεταξύ τριγωνικών και πενταγωνικών εδρών, είναι ίση με 142,62°.

Κατασκευαστικά, το εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν αποκοπούν όλες οι κορυφές του έως τα μέσα των ακμών του. Έτσι, οι πενταγωνικές έδρες του αρχικού δωδεκαέδρου μετατρέπονται σε μικρότερα πεντάγωνα, ενώ οι 20 αποκομμένες κορυφές του σχηματίζουν τρίγωνα. Με την ίδια μέθοδο, το εικοσιδωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει και από το συζυγές του δωδεκαέδρου, το εικοσάεδρο.

Dodecahedron.png
Δωδεκάεδρο
Truncated dodecahedron.png
Κόλουρο δωδεκάεδρο
Icosidodecahedron.png
Εικοσιδωδεκάεδρο
Truncated icosahedron.png
Κόλουρο εικοσάεδρο
Icosahedron.png
Εικοσάεδρο

Πηγές - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]