Πολύεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μερικά Πολύεδρα
Dodecahedron.svg
Δωδεκάεδρο
(Κανονικό Πολύεδρο)
Small stellated dodecahedron.png
Μικρό Αστρόμορφο Δωδεκάεδρο
(Κανονικό Αστέρι)
Icosidodecahedron.png
Εικοσιδωδεκάεδρο
(Ομοιόμορφο/Ψευδοκανονικό)
Great cubicuboctahedron.png
Μεγάλο Κυβικοκυβοοκτάεδρο
(Ομοιόμορφο Αστέρι)
Rhombictriacontahedron.svg
Ρομβικό Τριακοντάεδρο
(Ομοιόμορφο/Ψευδοκανονικό Δυικό)
Elongated pentagonal cupola.png
Επίμηκες Πενταγωνικός Τρούλος
(Κυρτές Κανονικές-Έδρες)
Octagonal prism.png
Οκταγωνικό Πρίσμα
(Ομοιόμορφο Πρίσμα)
Square antiprism.png
Τετραγωνικό Αντιπρίσμα
(Ομοιόμορφο Αντιπρίσμα)

Στην γεωμετρία, ένα πολύεδρο (πληθυντικός πολύεδρα) είναι ένα στερεό σε τρεις διαστάσεις με επίπεδες επιφάνειες και ορθές έδρες. Ένα πολύεδρο είναι ένα τρισδιάστατο παράδειγμα του γενικότερου πολύτοπου σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Πίνακας περιεχομένων

Ετυμολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κομμάτια πολυέδρων εκθέτονται στο Πανεπιστημιακό Μουσείο στην Πόλη του Μεξικού

Ο ορισμός ενός πολυέδρου ως στερεό που περικλείεται από επίπεδες επιφάνειες και ορθές έδρες δεν είναι πολύ ακριβής και, για έναν σύχρονο μαθηματικό, καθόλου ικανοποιητικός, για παράδειγμα είναι δύσκολο να συμβιβαστεί με το αστρόμορφο πολύεδρο. Ο Grünbaum (1994, p. 43) παρατήρησε, "Η Original Sin στη θεωρία των πολυέδρων ξεκινάει από τον Ευκλείδη, και μέσω των Kepler, Poinsot, Cauchy και πολλών άλλων ... [εν λόγω] σε κάθε φάση ... οι συγγραφείς απέτυχαν να ορίσουν τι είναι τα 'πολύεδρα' ...." Πολύ ορισμοί των "πολυέδρων" έχουν δοθεί μέσα σε συγκεκριμένα πλαίσια, με κάποιους πιο αυστηρούς από άλλους.[1] Για παράδειγμα ορισμοί που βασίζονται στην ιδέα μιας οριακής επιφάνειας παρά μιας στερεάς είναι συνηθισμένοι.[2] Παρόλα αυτά αυτοί οι ορισμοί δεν είναι πάντα συμβιβάσιμοι με άλλα μαθηματικά συμφραζόμενα. Μία σύγχρονη προσέγγιση μεταχειρίζεται ένα γεωμετρικό πολύεδρο ως την πραγματοποίηση κάποιων αφηρημένων πολυέδρων. Οποιοδήποτε τέτοιο πολύεδρο μπορεί να κατασκευαστεί από διαφορετικά είδη στοιχείων ή οντοτήτων, το καθένα από τα οποία σχετίζεται με διαφορετικό αριθμό διαστάσεων.

  • 3 διαστάσεις: Το σώμα οριοθετείται από τις επιφάνειες, και είναι συνήθως ο όγκος που περικλείεται από αυτές.
  • 2 διαστάσεις: Η έδρα είναι ένα πολύγωνο που οριοθετείται από ένα κύκλωμα ακμών, συμπεριλαμβάνοντας συνήθως την επίπεδη (πλάκα) περιοχή μέσα στο όριο. Αυτές οι πολυγωνικές έδρες μαζί συνθέτουν πολυεδρική επιφάνεια.
  • 1 διάσταση: Μία ακμή ενώνει μία κορυφή με την άλλη και μία έδρα με την άλλη, και είναι συνήθως ένα ευθύγραμμο τμήμα. Οι ακμές μαζί συνθέτουν τον πολυεδρικό σκελετό.
  • 0 διαστάσεις: Η κορυφή (πληθυντικός κορυφές) είναι ένα γωνιακό σημείο.
  • −1 διάσταση: Το μηδενικό πολύτοπο είναι ένα είδος μαθηματικής συνθήκης που απαιτείται από το αφηρημένο σύνολο με βάση τους ορισμούς, και μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ως το κενό σύνολο των σημείων. Από μία επαγωγικής διάστασης προσέγγιση, το όριο ενός σημείου είναι το κένο σύνολο και έχει μία διάσταση μικρότερη από ένα σημείο, που οδηγεί σε μία διάσταση −1.

Γενικότερα στα Μαθηματικά και σε άλλες Επιστήμες, ο όρος "πολύεδρο" χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε μία ποικιλία σχετικών κατασκευών, κάποιων γεωμετρικών και άλλων καθαρά αλγεβρικών ή αφηρημένων.

Χαρακτηριστικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολυεδρική Επιφάνεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα καθοριστικό χαρακτηριστικό σχεδόν όλων των ειδών των πολυέδρων είναι ότι μόλις δύο έδρες ενώνονται κατά μήκος οποιασδήποτε κοινής ακμής. Αυτό εξασφαλίζει ότι η πολυεδρική επιφάνεια είναι συνεχώς συνδεδεμένη και δεν τελειώνει απότομα ή δεν διασπάται σε διαφορετικές κατευθύνσεις.

Ακμές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι ακμές έχουν δύο σημαντικά χαρακτηριστικά (εκτός εάν το πολύεδρο είναι πολύπλοκο):

  • Μία ακμή ενώνει μόνο δύο κορυφές.
  • Μία ακμή ενώνει μόνο δύο έδρες.

Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά είναι διπλά στο καθένα.

Χαρακτηριστική του Euler[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η χαρακτηριστική του Euler χ σχετίζει τον αριθμό των κορυφών V, των ακμών E, και των εδρών F ενός πολυέδρου:

\chi=V-E+F.\

Για ένα κυρτό πολύεδρο ή γενικότερα για οποιοδήποτε απλά συνεκτικό πολύεδρο των οποίων οι έδρες είναι επίσης απλά συνεκτικές και των οποίων το όριο είναι μία πολλαπλότητα, χ = 2. Για μία πιο λεπτομερή συζήτηση, δείτε Proofs and Refutations by Imre Lakatos.

Ικανότητα Προσανατολισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μερικά πολύεδρα, όπως όλα τα κυρτά πολύεδρα, έχουν δύο διακεκριμένες πλευρές στην επιφάνειά τους, για παράδειγμα η μία πλευρά κατά συνέπεια μπορεί να βαφτεί μαύρη και η άλλη άσπρη. Λέμε ότι το σχήμα είναι προσανατολίσιμο.

Άλλα για κάποια πολύεδρα αυτό δεν είναι δυνατόν, και τον σχήμα ορίζεται σαν μη-προσανατολίσιμο. Όλα τα πολύεδρα με μονό αριθμό χαρακτηριστικής Euler είναι μη-προσανατολίσιμα. Ένα δοσμένο σχήμα με ζυγό χ < 2 μπορεί ή δεν μπορεί να είναι προσανατολίσιμο.

Σχήμα Κορυφής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για κάθε κορυφή μπορεί κανείς να ορίσει ένα σχήμα κορυφής, το οποίο περιγράφει την τοπική δομή του σχήματος γύρω από την κορυφή. Αν το σχήμα της κορυφής είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε η κορυφή η ίδια ορίζεται ως κανονική.

Δυικότητα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Dual Cube-Octahedron.svg Για κάθε πολύεδρο υπάρχει ένα δυικό πολύεδρο το οποίο έχει:

  • έδρες στη θέση των κορυφών του πρωτότυπου και αντίστροφα,
  • των ίδιο αριθμό ακμών
  • την ίδια χαρακτηριστική Euler και ικανότητα προσανατολισμού

Η δυικότητα ενός κυρτού πολυέδρου μπορεί να ληφθεί με τη μέθοδο της πολικής αντιστροφής.

Όγκος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στοιχειώδης Υπολογισμός

Οποιοδήποτε κανονικό πολύεδρο μπορεί να διαιρεθεί σε ισότιμες πυραμίδες, με την κάθε πυραμίδα να έχει μία έδρα του πολυέδρου ως βάση της και το κέντρο του πολυέδρου ως κορυφής της. Το ύψος της πυραμίδας ισούται με την εσωτερική ακτίνα του πολυέδρου. Εάν η περιοχή της έδρας είναι A και η εσωτερική ακτίνα είναι r τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι το ένα-τρίτο της βάσης επί το ύψος, or Ar/3. Για ένα κανονικό πολύεδρο με n έδρες, ο όγκος του είναι τότε simply


\text{volume} = nAr/3
.

Για παράδειγμα, ένας κύβος με ακμές μήκους L έχει έξι έδρες, και κάθε έδρα είναι ένα τετράγωνο με εμβαδόν A = L^2. Η εσωτερική ακτίνα από το κέντρο της έδρας έως το κέντρο του κύβου είναι  r = L/2. Τότε ο όγκος δίνεται από

 
\text{volume} = \frac{6\cdot L^2 \cdot \frac{L}{2}}{3} = L^3,

ο συνήθης τύπος για τον όγκος ενός κύβου.

Ανώτερος Υπολογισμός

Ο όγκος οποιουδήποτε προσανατολίσιμου πολυέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα απόκλισης. Εξετάζουνε το διανυσματικό πεδίο \vec F(\vec x) = \frac{1}{3} \vec x = (\frac{x_1}{3}, \frac{x_2}{3}, \frac{x_3}{3}), του οποίου η απόκλιση είναι πάντα 1. Από το θεώρημα απόκλισης συνεπάγεται ότι ο όγκος ισούται με το ολοκλήρωμα της επιφάνειας της F(x):


\text{volume}(\Omega) = \int_\Omega \nabla\cdot\vec F d\Omega = \oint_S \vec F \cdot \hat n dS.

Όταν Ω είναι η περιοχή που περικλείεται από ένα πολύεδρο, δεδομένου ότι οι έδρες του πολυέδρου είναι επίπεδες και ότι έχουν κατά τμήματα σταθερά κάθετα διανύσματα, ο τύπος γίνεται


\text{volume} = \frac{1}{3}\sum_{\text{face } i} \vec x_i \cdot \hat n_i A_i

όπου για την i' έδρα, \vec x_i είναι το βαρύκεντρο της έδρας, \hat n_i είναι το κάθετο διάνυσμά της, και A_i είναι το εμβαδόν της.[3]

Δεδομένου ότι μπορεί να είναι δύσκολο να απαριθμηθούν οι έδρες, ο υπολογισμός του όγκου μπορεί να είναι πρόκληση, και ως εκ τούτου υπάρχουν εξειδικευμένοι αλγόριθμοι για τον προσδιορισμό του όγκου (πολλοί από αυτούς γενικεύονται και σε κυρτά πολύγωνα σε υψηλότερες διαστάσεις).[4]

Ονόματα Πολυέδρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα πολύεδρα συνήθως ονομάζονται με βάση τον αριθμό των εδρών. Το σύστημα της ονομασίας βασίζεται στα Αρχαία Ελληνικά, για παράδειγμα τετράεδρο (4), πεντάεδρο (5), εξάεδρο (6), επτάεδρο (7), τριακοντάεδρο (30), και ούτω καθεξής. Μερικές φορές τροποποιούνται με βάση την περιγραφή των ειδών των εδρών που έχουν, για παράδειγμα το Ρομβικό δωδεκάεδρο εναντίον του Πενταγωνικού δωδεκαέδρου.

Μερικά πολύεδρα απέκτησαν κοινά ονόματα, για παράδειγμα το κανονικό εξάγωνο είναι ευρέως γνωστό ως κύβος. Άλλα έχουν πάρει το όνομά τους από αυτούς που τα ανακάλυψαν, όπως το τέρας του Miller ή το πολύεδρο του Szilassi.

Άλλα κοινά ονόματα δείχνουν ότι κάποια πράξη έχει εκτελεστεί σε ένα απλούστερο πολύεδρο, για παράδειγμα ο κόλουρος κύβος μοιάζει με κύβο του οποίου οι γωνίες έχουν κοπεί, και έχει 14 έδρες (άρα είναι επίσης παράδειγμα δεκατεσσεράεδρων).

Παραδοσιακά Πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

A dodecahedron

Στην γεωμετρία, ένα πολύεδρο είναι παραδοσιακά ένα τρισδιάστατο σχήμα που αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό πολυγωνικώνal εδρών οι οποίες είναι τμήματα των επιπέδων; οι έδρες χωρίζονται σε ζεύγη κατά μήκος των ακμών που είναι ευθείες γραμμές, και οι ακμές τέμνονται σε σημεία που λέγονται κορυφές. Κύβοι, πρίσματα και πυραμίδες είναι παραδείγματα πολυέδρων. Το πολύεδρο περιβάλλει ένα φραγμένο όγκο σε τρισδιάστατο χώρο; μερικές φορές αυτός ο εσωτερικός όγκος θεωρείται ότι είναι μέρος του πολυέδρου, μερικές φορές μόνο η επιφάνεια θεωρείται, και περιστασιακά μόνο ο σκελετός των ακμών.

Ένα πολύεδρο λέγεται κυρτό εάν η επιφάνειά του (η οποία περιλαμβάνει έδρες, ακμές και κορυφές) δεν τέμνει τον εαυτό της και αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία του πολυέδρου περιέχεται στο εσωτερικό ή στην επιφάνεια.

Συμμετρικά Πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλά από τα πιο μελετημένα πολύεδρα είναι ιδιαίτερα συμμετρικά.

Φυσικά είναι εύκολο να παραμορφωθούν τέτοια πολύεδρα έτσι ώστε να μην είναι πλέον συμμετρικά. Αλλά όπου δίνεται ένα πολυεδρικό όνομα, όπως εικοσιδωδεκάεδρο, η πιο συμμετρική γεωμετρία είναι σχεδόν πάντα σιωπηρή, εκτός εάν διατυπωθεί διαφορετικά.

Μερικά από τα πιο κοινά ονόματα ειδικότερα χρησιμοποιούνται συχνά με τη λέξη "κανονικό" μπροστά ή την αφήνουν να εννοηθεί επειδή για το καθένα υπάρχουν διαφορετικοί τύποι που έχουν ελάχιστα κοινά εκτός από τον ίδιο αριθμό των εδρών. Αυτά είναι η τριγωνική πυραμίδα ή τετράεδρο, κύβος ή εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο and εικοσάεδρο:

Tetrahedron.svg Hexahedron.svg Octahedron.svg Dodecahedron.svg Icosahedron.svg

Τα πολύεδρα των υψηλότερων συμμετριών έχουν όλα κάποιου είδους στοιχείου - έδρες, ακμές και/ή κορυφές, μέσα σε μία ενιαία συμμετρική τροχιά.[εκκρεμεί παραπομπή] Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες των εν λόγω πολυέδρων:

  • Ισογώνιο ή Vertex-transitive εάν όλες οι κορυφές είναι ίδιες, με την έννοια ότι για οποιεσδήποτε 2 κορυφές υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στη δεύτερη.
  • Ισότοξο ή Edge-transitive εάν όλες οι ακμές είναι ίδιες, με την έννοια ότι για οποιεσδήποτε 2 ακμές υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στην δεύτερη.
  • Ισοεδρικό ή Face-transitive εάν όλες οι έδρες είναι ίδιες, με την έννοι ότι για οποιεσδήποτε 2 έδρες υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στη δεύτερη.
  • Κανονικό εάν είναι vertex-transitive, edge-transitive and face-transitive (από το οποίο συνεπάγεται ότι κάθε έδρα είναι το ίδιο κανονικό πολύγωνο; και ότι κάθε κορυφή είναι κανονική).
  • Ψευδοκανονικό εάν είναι vertex-transitive και edge-transitive (και έχει ως εκ τούτου κανονικές έδρες) αλλά όχι face-transitive. Ένα ημι-κανονικό δυικό είναι face-transitive και edge-transitive (και ως εκ τούτου κάθε κορυφή είναι κανονική) αλλά όχι vertex-transitive.
  • Ημι-Κανονικό εάν είναι vertex-transitive αλλά όχι edge-transitive, και η κάθε έδρα είναι ένα κανονικό πολύγωνο. (Αυτός είναι ένας από τους πολλούς ορισμούς του όρου, ανάλογα με τον συγγραφέα. Κάποιοι ορισμοί συμπίπτουν με την ψευδοκανονική τάξη). Ένα Ημι-Κανονικό Δυικο είναι face-transitive αλλά όχι vertex-transitive, και η κάθε κορυφή είναι κανονική.
  • Ομοιόμορφο εάν είναι vertex-transitive και η κάθε έδρα είναι κανονικό πολύγωνο, δηλαδή είναι κανονικό, ψευδοκανονικό ή ημι-κανονικό. Ένα ομοιόμορφο δυικό είναι face-transitive και έχει κανονικές κορυφές, αλλά δεν είναι απαραίτητα vertex-transitive).
  • Ευγενές εάν είναι face-transitive και vertex-transitive (αλλά όχι απαραίτητα edge-transitive). Τα κανονικά πολύεδρα είναι επίσης ευγενή; είναι τα μοναδικά ευγενή ομοιόμορφα πολύεδρα.

Ένα πολύεδρο μπορεί να ανήκει στην ίδια συνολική ομάδα συμμετριών ως αυτό με την υψηλότερη συμμετρία, αλλά θα έχει αρκετές ομάδες στοιχείων (για παράδειγμα οι έδρες) σε διαφορετικές τροχιές συμμετρίας.

Ομοιόμορφα πολύεδρα και η δυικότητά τους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα Ομοιόμορφα πολύεδρα είναι vertex-transitive και η κάθε έδρα είναι regular polygon. Μπορεί να είναι κανονικά, ψευδοκανονικά, ή ημι-κανονικά, και μπορεί να είναι κυρτά ή αστεροειδή.

Τα ομοιόμορφα δυικά είναι face-transitive και το κάθε σχήμα κορυφής είναι ένα κανονικό πολύγωνο.

Η μεταβατικότητα των εδρών ενός πολυέδρου αντιστοιχεί στην μεταβατικότητα των κορυφών του δυικού και αντίστροφα, και η μεταβατικότητα των ακμών ενός πολυέδρου αντιστοιχεί στην μεταβατικότητα των ακμών του δυικού. Το δυικό ενός κανονικού πολυέδρου είναι επίσης κανονικό. Το δυικό ενός μη-κανονικού ομοιόμορφου πολυέδρου (που ονομάζεται Catalan solid εάν είναι κυρτό) έχει μη-κανονικές έδρες.

Κάθε ομοιόμορφο πολύεδρο μοιράζεται την ίδια συμμετρία με το δυικό του, με τις συμμετρίες των εδρών και των κορυφών απλά να ανταλλάσονται. Εξαιτίας αυτού ορισμένες αρχές θεωρούν τα δυικά επίσης ομοιόμορφα. Αλλά αυτή η ιδέα δεν είναι ευρέως διαδεδομένη: ένα πολύεδρο και τα συμμετρικά του δεν είναι το ίδιο πράγμα.

Τα ομοιόμορφα πολύεδρα και τα δυικά τους παραδοσιακά κατατάσσονται ανάλογα με το βαθμό της συμμετρίας τους, και με βάση το αν είναι κυρτά ή όχι.

Κυρτά ομοιόμορφα Κυρτά ομοιόμορφα δυικά Αστεροειδή ομοιόμορφα Αστεροειδή ομοιόμορφα δυικά
Κανονικά Πλατωνικά Στερεά Kepler-Poinsot Στερεά
Ψευδοκανονικά Αρχιμήδεια Στερεά Catalan Στερεά (no special name) (no special name)
Ημι-κανονικά (no special name) (no special name)
Πρίσματα Πυραμίδες Αστεροειδή Πρίσματα Αστεροειδείς Διπυραμίδες
Αντιπρίσματα Τραπεζοπολύεδρα Αστεροειδή Αντιπρίσματα Αστεροειδή Τραπεζοπολύεδρο

Ευγενή Πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Ευγενή Πολύεδρα

Ένα ευγενές πολύεδρο είναι ταυτόχρονα ισοεδρικό (equal-faced) and ισογώνιο (equal-cornered). Πέρα από τα κανονικά πολύεδρα, υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα.

Το δυικό ενός ευγενές πολυέδρου είναι επίσης ευγενές.

Συμμετρικές Ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πολυεδρικές ομάδες συμμετρίας (χρησιμοποιώντας Schoenflies notation) είναι όλες σημειακές ομάδες και περιλαμβάνουν:

Αυτά με στροβιλική συμμετρία δεν έχουν ανακλαστική συμμετρία και ως εκ τούτου έχουν δύο αντιμεταθετικές μορφές που είναι αντανακλάσεις της καθεμιάς. Τα κολοβά Αρχιμήδεια πολύεδρα έχουν αυτή την ιδιότητα.

Άλλα πολύεδρα με κανονικές έδρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ίσες κανονικές έδρες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μερικές οικογένειες πολυέδρων, όπου η κάθε έδρα είναι το ίδιο είδος πολυγώνου:

  • Όσον αφορά τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι όλες τετράγωνα: εάν δεν επιτρέπονται ομοεπίπεδες επιφάνειες, ακόμα και αν έχουν διαχωριστεί, υπάρχει μόνο ο κύβος. Διαφορετικά υπάρχει το αποτέλεσμα της επικόλλησης των έξι κύβων στην πλευρά του ενός, και τα επτά του ίδιου μεγέθους; έχει τριάντα τετράγωνες έδρες (μετρώντας και τις διαχωρισμένες πλευρές του ίδιου σχήματος ξεχωριστά). Αυτή μπορεί να επεκταθεί σε μία, δύο, ή τρεις κατευθύνσεις: μπορούμε να θεωρήσουμε την αυθαίρετη ένωση πολλών αντίγραφων αυτών των δομών, που λαμβάνονται με μεταφράσεις των (εκφραζόμενων σε κυβικά μεγέθη) (2,0,0), (0,2,0), και/ή (0,0,2), και ως εκ τούτου κάθε γειτονικό ζεύγος έχει ένα κοινό κύβο. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι οποιοδήποτε συνδεδεμένο σύνολο κύβων με θέσεις (a,b,c), με ακέραιους a,b,c από τους οποίους το πολύ ένας είναι ζυγός.
  • Δεν υπάρχει κάποιο ειδικό όνομα για τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι όλες ίσα πεντάγωνα ή πεντάγραμμα. Υπάρχουν άπειρα από αυτά, αλλά μόνο ένα κυρτό: το δωδεκάεδρο. Τα υπόλοιπα συναρμολογούνται από (επικολλημένους) συνδυασμούς των κανονικών πολυέδρων όπως περιγράφηκαν παραπάνω : το δωδεκάεδρο, τα μικρά αστερόμορφα δωδεκάεδρα, τα μεγάλα αστερόμορφα δωδεκάεδρα και το μεγάλο εικοσάεδρο.

Δεν υπάρχει πολύεδρο του οποίου οι έδρες να είναι όλες ίδιες και να είναι κανονικά πολύγωνα με έξι ή περισσότερες πλευρές γιατί η κορυφή των τριών κανονικών εξαγώνων ορίζει ένα επίπεδο. (Βλέπε άπειρο ασύμμετρο πολύεδρο για εξαιρέσεις με αντικριστά σχήματα κορυφών.)

Δελτάεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα δελτάεδρο (πληθυντικός δελτάεδρα) είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι έδρες είναι όλες ίσα τρίγωνα. Υπάρχουν άπειρα τέτοια δελτάεδρα, αλλά μόνο οκτώ από αυτά είναι κυρτά:

Στερεά Johnson[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Στερεά Johnson

Ο Norman Johnson αναζήτησε ποια κυρτά μη-ομοιόμορφα πολύεδρα είχαν κανονικές έδρες. Το 1966, δημοσίευεσε μία λίστα από 92 τέτοια στερεά, τους έδωσε ονόματα και αριθμούς, και εικάστηκε ότι δεν υπήρχαν άλλα. Ο Victor Zalgaller απέδειξε το 1969 ότι η λίστα αυτών των Στερεών Johnson ήταν ολοκληρωμένη.

Άλλες σημαντικές οικογένειες πολυέδρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πυραμίδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πυραμίδες περιλαμβάνουν μερικά από τα πιο σεβαστά και διάσημα πολύεδρα.

Αστερισμοί και facetting[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Αστερισμός
First stellation of octahedron.png First stellation of dodecahedron.png Second stellation of dodecahedron.png Third stellation of dodecahedron.png Sixteenth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png Seventeenth stellation of icosahedron.png

Οι Αστερισμοί ενός πολυέδρου είναι η διαδικασία της επέκτασης των εδρών (εντός των σχημάτων) έτσι ώστε να ενωθούν για να σχηματίσουν ένα νέο πολύεδρο.

Είναι η ακρίβεια της αμοιβαιότητας της διαδικασίας του facetting η οποία είναι η διαδικασία της αφαίρεσης κομματιών του πολυέδρου χωρίς να δημιουργηθούν νέες κορυφές.

Ζονόεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Ζονόεδρο

Ένα ζονόεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο όπου η κάθε έδρα είναι ένα πολύγωνο με συμμετρική αναστροφή ή, ισοδύναμα, συμμετρία με περιστροφές κάτω των 180°.

Σπειροειδή Πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα σπειροειδές πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο με χαρακτηριστική Euler 0 ή λιγότερο, που ισοδυναμεί με Genus 1 ή περισσότερο, αντιπροσωπεύοντας μία επιφάνεια σπείρας που έχει μία ή περισσότερες οπές στη μέση.

Ενώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Πολυεδρική ένωση

Οι πολυεδρικές ενώσεις σχηματίζονται από τις ενώσεις 2 ή περισσοτέρων πολυέδρων.

Αυτές οι ενώσεις often συχνά μοιράζονται τις ίδιες κορυφές όπως άλλα πολύεδρα και συχνά σχηματίζονται με αστερισμό. Μερικές καταγράφονται στην λίστα του Wenninger των πολυεδρικών μοντέλων.

Ορθογώνιο Πολύεδρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα ορθογώνιο πολύεδρο είναι ένα σύνολο από έδρες που ενώνονται σε ορθές γωνίες, και το σύνολο των οποίων οι ακμές είναι παράλληλες προς τους άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Εκτός από ένα ορθογώνιο κουτί, τα ορθογώνια πολύεδρα είναι μη-κυρτά. Είναι τα 3D αναλογικά των 2D ορθογώνιων πολυγώνων, γνωστών επίσης ως ευθύγραμμα πολύγωνα. Τα ορθογώνια πολύεδρα χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική γεωμετρία, όπου η περιορισμένη δομή τους τους επέτρεψε να προοδεύσουν σε άλυτα προβλήματα αυθαίρετα πολύεδρα, για παράδειγμα, να ξεδιπλώσουν την επιφάνεια ενός πολυέδρου σε ένα πολυγωνικό δίκτυο.

Γενικεύσεις των πολυέδρων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία 'πολύεδρο' δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί για μία ποικιλία αντικειμένων με παρόμοιες δομικές ιδιότητες με τα παραδοσιακά πολύεδρα.

Απειρόεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία κλασική πολυεδρική επιφάνεια περιλαμβάνει πεπερασμένες, οριοθετούμενες περιφέρειες επιπέδου, ενωμένες σε ζευγάρια κατά μήκος των ακμώ. Εάν μία τέτοια επιφάνεια εκτείνεται επ'αόριστον ονομάζεται απειρόεδρο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

Δείτε επίσης: Apeirogon - Άπειρο κανονικό πολύγωνο: {∞}

Σύνθετα πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το σύνθετο πολύεδρο είναι ένα το οποίο είναι κατασκευασμένο σε πολύπλοκο τρισδιάστατο Hilbert. Ο χώρος αυτός έχει έξι διαστάσεις: τρεις πραγματικές που αντιστοιχούν στον συνήθη χώρο, με την κάθε μία να συνοδεύεται από μία φανταστική διάσταση. Βλέπε για παράδειγμα Coxeter (1974).

Καμπυλωτά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμένοι από τους τομείς της μελέτης επιτρέπουν τα πολύεδρα να έχουν καμπυλωτές επιφάνειες και ακμές.

Σφαιρικά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Σφαιρικό πολύεδρο

Η επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να χωριστεί με ευθύγραμμα τμήματα σε οριοθετούμενες περιοχές, για να σχηματίσει ένα σφαιρικό πολύεδρο. Μεγάλο μέρος της θεωρίας των συμμετρικών πολυέδρων προέρχεται πιο βολικά με αυτό τον τρόπο.

Τα σφαιρικά πολύεδρα έχουν μία μακρά και αξιοσέβαστη ιστορία:

  • Τα πρώτα γνωστά τεχνητά πολύεδρα ήταν σφαιρικά πολύεδρα σκαλισμένα σε πέτρα.
  • Ο Poinsot χρησιμοποίησε σφαιρικά πολύεδρα για να ανακαλύψει τα τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα.
  • Ο Coxeter τα χρησιμοποίησε για να τα απαριθμήσει όλα τα ομοιόμορφα πολύεδρα.

Μερικά πολύεδρα, όπως μονόεδρα και δίεδρα, υπάρχουν μόνο ως σφαιρικά πολύεδρα και δεν έχουν καθόλου αναλογικές επίπεδες έδρες.

Κυρτά πολύεδρα πλήρωσης χώρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο σημαντικοί τύποι είναι:

  • Φυσαλίδες σε αφρούς και αφροί, όπως Weaire-Phelan bubbles.
  • Τα έντυπα πλήρωσης χώρου χρησιμοποιούνται στην Αρχιτεκτονική. Βλέπε για παράδειγμα Pearce (1978).

Γενικά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πιο πρόσφατα τα μαθηματικά ορίσανε ένα πολύεδρο ως ένα σύνολο σε πραγματικό αφινικόΕυκλείδιο) χώρο οσονδήποτε n διαστάσεων που να έχει επίπεδες επιφάνειες. Μπορεί εναλλακτικά να ορίζεται ως η ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών πολυέδρων, όπου ένα κυρτό πολύεδρο είναι οποιοδήποτε σύνολο το οποίο είναι η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ημι-χώρων. Μπορεί να είναι φραγμένο ή άπειρο. Με αυτή την έννοια, ένα πολύτοπο είναι ένα φραγμένο πολύεδρο.

Αναλυτικότερα, ένα τέτοιο κυρτό πολύεδρο εκφράζεται ως το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών ανισοτήτων. Ο καθορισμός του πολυέδρου με αυτό τον τρόπο παρέχει μία γεωμετρική προοπτική των προβλημάτων στον Γραμμικό προγραμματισμό.

Πολλές μορφές παραδοσιακών πολυέδρων είναι γενικά πολύεδρα. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

  • Ένα τεταρτημόριο του επιπέδου. Για παράδειγμα, η περιοχή του καρτεσιανού επιπέδου που αποτελείται από όλα τα σημεία πάνω από τον οριζόντιο άξονα και στα δεξιά του κατακόρυφου άξονα: { ( x, y ) : x ≥ 0, y ≥ 0 }. Οι πλευρές του είναι οι δύο θετικοί άξονες.
  • Ένα όγδοο του κύκλου σε τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο, { ( x, y, z ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
  • Ένα πρίσμα άπειρου βαθμού. Για παράδειγμα ένα διπλά άπειρο τετραγωνικό πρίσμα σε τρισδιάστατο χώρο, που αποτελείται από ένα τετράγωνο στο xy-επίπεδο κατά μήκος του z-άξονα: { ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
  • Το κάθε κελί σε μία Voronoi ψηφιδοποίηση είναι ένα κυρτό πολύεδρο. Στην Voronoi ψηφιδοποίηση ενός συνόλου S, το κελί A αντιστοιχεί σε ένα σημείο cS το οποίο οριοθετείται (ως εκ τούτου είναι ένα παραδοσιακό πολύεδρο) όταν c βρίσκεται στο εσωτερικό του κυρτού περιβλήματος του S, αλλιώς (όταν c βρίσκεται στο όριο του κυρτού περιβλήματος του S) το A είναι άπειρο.

Πολύεδρα με Ολόμορφες Έδρες ή Έδρες Σκελετού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεν είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί η έδρα ενός σχήματος πριν πούμε ότι είναι πολύεδρο. Για παράδειγμα ο Leonardo da Vinci επινόησε μοντέλα πλαισίων των κανονικών στερεών, τα οποία ζωγράφισε για το βιβλίο του Pacioli Divina Proportione. Στην σύχγρονη εποχή, ο Branko Grünbaum (1994) έκανε μία ειδική μελέτη αυτής της τάξης των πολυέδρων στην οποία αναπτύχθηκε μία πρώιμη ιδέα των αφηρημένων πολυέδρων. Όρισε μία έδρα ως ένα κυκλικά διατεταγμένο σύνολο κορυφών και επέτρεψε οι έδρες να είναι λοξές όπως και επίπεδες.

Μη-γεωμετρικά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διάφορα μαθηματικά καταστευάσματα έχουν βρεθεί να έχουν ιδιότητες οι οποίες παρουσιάζονται επίσης στα παραδοσιακά πολύεδρα.

Τοπολογικά πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα τοπολογικό πολύτοπο είναι ένας τοπολογικός χώρος που παρατίθεται μαζί με ένα ειδικό διαμερισμό σχημάτων που είναι τοπολογικά ισοδύναμα με κυρτά πολύτοπα και που είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με ένα κανονικό τρόπο.

Ένα τέτοιο σχήμα λέγεται απλό αν κάθε περιφέρειά του είναι simplex, δηλαδή σε έναν n-διάστατο χώρο κάθε περιοχή έχει n+1 κορυφές. Η δυικότητα ενός απλού πολύτοπου λέγεται απλή. Ομοίως, μία ευρέως μελετημένη τάξη πολύτοπων (πολύεδρα) είναι αυτή των κυβικών πολυέδρων, όταν το βασικό δομικό στοιχείο είναι ένας n-διάστατος κύβος.

Αφηρημένα πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα αφηρημένο πολύεδρο είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (poset) στοιχείων των οποίων η μερική διάταξη υπακούει σε ορισμένους κανόνες. Οι θεωρίες διαφέρουν στις λεπτομέρειες, αλλά ουσιαστικά τα στοιχεία του συνόλου αντιστοιχούν στο σώμα, τις έδρες, τις ακμές και τις γωνίες του πολυέδρου. Το κενό σύνολο αντιστοιχεί στο μηδενικό πολύτοπο, ή nullitope, το οποίο έχει διαστατικότητα −1. Αυτά τα poset ανήκουν στην ευρύτερη οικογένεια των αφηρημένων πολυτόπων σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Πολύεδρα σαν γραφήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε πολύεδρο δημιουργεί μια γραφική παράσταση, ή σκελετό, με τις αντίστοιχες κορυφές και ακμές. Έτσι η ορολογία γραφημάτων και οι ιδιότητες μπορεί να εφαρμοστεί στα πολύεδρα. Για παράδειγμα:

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Προϊστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πέτρες σκαλισμένες σε σχήματα οι οποίες δείχνουν τις συμμετρίες των διαφόρων πολυέδρων έχουν βρεθεί στη Σκωτία και μπορεί να είναι μέχρι και 4,000 ετών. Αυτές οι πέτρες δείχνουν όχι μόνο τη μορφή των διαφόρων συμμετρικών πολυέδρων, αλλά και τις σχέσεις δυϊκότητας μεταξύ ορισμένων από αυτών(δηλαδή, ότι τα κέντρα των εδρών του κύβου δίνουν τις κορυφές ενός οκταέδρου, και ούτω καθεξής). Παραδείγματα τέτοιων λίθων βρίσκονται σε επίδειξη στο John Evans room του Ashmolean Μουσείου στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε γιατί φτιάχτηκαν αυτά τα αντικείμενα, ή πως ο γλύπτης κέρδισε την έμπνευση για αυτούς.

Άλλα πολύεδρα έχουν φυσικά αφήσει το στίγμα τους στην Αρχιτεκτονική—κύβοι και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα είναι προφανή παραδείγματα, με τις πρώτες πυραμίδες τεσσάρων-όψεων της αρχαίας Αιγύπτου επίσης να χρονολογούνται από τη Λίθινη Εποχή.

Οι Ετρούσκοι προηγήθηκαν των Ελλήνων στην ευαισθητοποίηση τους για μερικά τουλάχιστον από τα κανονικά πολύεδρα, όπως αποδεικνύεται από την ανακάλυψη κοντά στην Πάντοβα (στη Βόρεια Ιταλία) στα τέλη του 19ου αιώνα ενός δωδεκαέδρου από στεατίτη, η οποία χρονολογείται πάνω από 2,500 χρόνια (Lindemann, 1987). Οι κρύσταλλοι Pyritohedric βρίσκονται στη Βόρεια Ιταλία [εκκρεμεί παραπομπή].

Έλληνες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι αρχαιότερες γνωστές γραπτές εγγραφές αυτών των σχημάτων προέρχονται από τους κλασικούς Έλληνες συγγραφείς, που επίσης έδωσαν την πρώτη γραπτή μαθηματική περιγραφή τους. Οι Αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρονταν κυρίως για τα κυρτά κανονικά πολύεδρα, που έγιναν γνωστά ως Πλατωνικά Στερεά. Ο Πυθαγόρας γνώριζε τουλάχιστον τρία από αυτά, και ο Θεαίτητος (γύρω στο 417 B. C.) μπορούσε να περιγράψει και τα πέντε. Τελικά, ο Ευκλείδης περιέγραψε την κατασκευή τους με τα Στοιχεία του. Αργότερα, ο Αρχιμήδης επέκτεινε τη μελέτη του στα κυρτά ανομοιόμορφα πολύεδρα τα οποία τώρα φέρουν το όνομά του. Το αυθεντικό του έργο έχει χαθεί και τα στερεά του έχουν έρθει σε εμάς μέσω του Πάππου.

Κινέζοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μέχρι το 236 AD, στην Κίνα ο Liu Hui είχε περιγράψει την ανατομή του κύβου σε χαρακτηριστικό τετράεδρο (orthoscheme) και σε σχετικά στερεά, χρησιμοποιώντας σύνολα αυτών των στερεών ως βάση για τον υπολογισμό των όγκων της γης που θα μετακινόντουσαν κατά τη διάρκεια μηχανικών ανασκαφών.

Ισλαμιστές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μετά το τέλος της Κλασικής Εποχής, οι μελετητές του Ισλαμικού πολιτισμού συνέχισαν να λαμβάνουν την Ελληνική γνώση forward (Βλέπε Mathematics in medieval Islam).

Ένας μελετητής του 9ου αιώνα, ο Thabit ibn Qurra έδωσε φόρμουλες για τον υπολογισμό του όγκου των πολυέδρων όπως οι κόλουρες πυραμίδες.

Μετά τον 10ο αιώνα ο Abu'l Wafa περιέγραψε τα κυρτά κανονικά και τα ψευδοκανονικά σφαιρικά πολύεδρα.

Αναγέννηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όπως και με άλλους τομείς της Ελληνικής σκέψης οι οποίοι διατηρήθηκαν και ενισχύθηκαν από τους Ισλαμικούς μελετητές, το ενδιαφέρον της Δύσης για τα πολύεδρα αναβίωσε κατά τη διάρκεια της Ιταλικής Αναγέννησης. Καλλιτέχνες κατασκεύασαν σκελετικά πολύεδρα, που τους απεικόνιζαν στη ζωή ως μέρος των ερευνών τους με προοπτική. Πολλά εμφανίζονταν σε πάνελ μαρκετερί της περιόδου. Η Piero della Francesca έδωσε την πρώτη γραπτή περιγραφή των άμεσων γεωμετρικών κατασκευών πολυέδρων τέτοιας προοπτικής. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (Leonardo da Vinci) έκανε σκελετικά μοντέλα αρκετών πολυέδρων και ζωγράφισε τις απεικονίσεις τους σε ένα βιβλίο του Pacioli. Ένας πίνακας από έναν ανώνυμο καλλιτέχνη του Pacioli δείχνει ένα ποτήρι rhombicuboctahedron μισό-γεμάτο με νερό.

Καθώς η Αναγέννηση εξαπλωνόταν πέρα από την Ιταλία, αργότερα οι καλλιτέχνες όπως ο Wenzel Jamnitzer, Dürer και άλλοι επίσης απεικόνισαν πολύεδρα διαφόρων ειδών, πολλά από τα οποία ήταν καινοτόμα, στην εφευρετική χαλκογραφία.

Αστεροειδή πολύεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για περίπου 2,000 χρόνια, η έννοια του πολυέδρου ως στερεό κυρτό είχε παραμείνει όπως είχε αναπτυχθεί από τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς.

Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης σχήμετα αστέρων ανακαλύφθηκαν. Μία Τάρσια μαρμάρινη πλάκα στο δάπεδο της Βασιλικής του Αγίου Μάρκου, στη Βενετία, απεικονίζει ένα αστεροειδές δωδεκάεδρο. Καλλιτέχνες όπως ο Wenzel Jamnitzer ευχαριστιόντουσαν απεικονίζοντας καινοτόμες αστεροειδές μορφές αυξανόμενης πολυπλοκότητας.

Ο Γιοχάνες Κέπλερ (Johannes Kepler) συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή πολύγωνα, συνήθως πενταγράμματα,μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία αστεροειδών πολυέδρων. Κάποια από αυτά τα αστεροειδή πολύεδρα μπορεί να ανακαλύφθηκαν πριν την εποχή του Κέπλερ, αλλά ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε ότι θα μπορούσαν να θεωρηθούν "κανονικά" εάν αφαιρεθεί ο περιορισμός ότι τα κανονικά πολύτοπα είναι κυρτά. Αργότερα, ο Louis Poinsot συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή σχήματα κορυφών (κύκλοι γύρω από κάθε γωνία) μπορούν επίσης να χρηστιμοποιηθούν, και ανακάλυψε τα εναπομείναντα δύο κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Ο Cauchy απέδειξε ότι η λίστα του Poinsot είναι ολοκληρωμένη, και ο Cayley τους έδωσε τα αποδεκτά Αγγλικά ονόματά τους: (του Kepler) το μικρό αστρόμορφο δωδεκάεδρο και το μεγάλο αστρόμορφο δωδεκάεδρο, και (του Poinsot) το μεγάλο εικοσάεδρο και το μεγάλο δωδεκάεδρο. Συνολικά ονομάζονται τα Kepler-Poinsot πολύεδρα.

Τα Kepler-Poinsot πολύεδρα μπορούν να κατασκευαστούν από τα Πλατωνικά στερεά με μία διαδικασία που λέγεται αστερισμός. Οι περισσότεροι αστερισμοί δεν είναι κανονικοί. Στη μελέτη των αστερισμών των Πλατωνικών στερεών δόθηκε μεγάλη ώθηση από τον H. S. M. Coxeter και άλλους το 1938, με το πλέον διάσημο βιβλίο Τα 59 εικοσάεδρα. Αυτή η μελέτη πρόσφατα ξαναεκδόθηκε (Coxeter, 1999).

Η αμοιβαία διαδικασία του αστερισμού λέγεται facetting (or faceting). Κάθε αστερισμός ενός πολύτοπου είναι δυικός, ή αμοιβαίος, σε κάποιο facetting του δυικού πολύτοπου. Τα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα μπορούν επίσης να αποκτηθούν με facetting στα Πλατωνικά στερεά. Ο Bridge 1974 έκανε μία λίστα με τα πιο απλά facettings του δωδεκαέδρου, και την αντάλλαξε για να ανακαλύψει τον αστερισμό του εικοσαέδρου που έλειπε από τα διάσημα "59". Περισσότερα έχουν ανακαλυφθεί από τότε, και η ιστορία δεν έχει ακόμα τελειώσει.

Δείτε επίσης:

Τα πολύεδρα στην φύση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για τα φυσικά γεγονότα των κανονικών πολυέδρων, δες Κανονικό πολύεδρο: Κανονικά πολύεδρα στη φύση. Μη-κανονικά πολύεδρα εμφανίζονται στη φύση ως κρύσταλλα.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρότυπο:More footnotes

  1. Lakatos, I.; Proofs and refutations: The logic of mathematical discovery (2nd Ed.), CUP, 1977.
  2. Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, 1997.
  3. Arvo, James (1991). Graphic Gems Package: Graphics Gems II. Academic Press. 
  4. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6
  • Coxeter, H.S.M.; Regular complex Polytopes, CUP (1974).
  • Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf)
  • Pearce, P.; Structure in nature is a strategy for design, MIT (1978)

Books on polyhedra[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: List of books about polyhedra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Wiktionary logo
Το Βικιλεξικό έχει λήμμα που έχει σχέση με το λήμμα:
Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα

General theory[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Lists and databases of polyhedra[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λογισμικό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • A Plethora of Polyhedra – An interactive and free collection of polyhedra in Java. Features includes nets, planar sections, duals, truncations and stellations of more than 300 polyhedra.
  • Stella: Polyhedron Navigator - Software for exploring polyhedra and printing nets for their physical construction. Includes uniform polyhedra, stellations, compounds, Johnson solids, etc.
  • World of Polyhedra - Comprehensive polyhedra in Flash applet, showing vertices and edges (but not shaded faces)
  • Hyperspace Star Polytope Slicer - Explorer java applet, includes a variety of 3d viewer options.
  • HEDRON - Polyhedron modelling software
  • Uniform Polyhedra Java Applets with sources
  • openSCAD - Free cross-platform software for programmers. Polyhedra are just one of the things you can model. The openSCAD User Manual is also available.
  • OpenVolumeMesh - An open source cross-platform C++ library for handling polyhedral meshes. Developed by the Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
  • Polyhedronisme - Web based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in many CAD softwares, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways.

Resources for making physical models, and models for sale[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Miscellaneous[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]