Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο
Snubdodecahedronccw.jpg
(κινούμενο μοντέλο)
Κατηγορία Στερεό του Αρχιμήδη
Έδρες 92
80 τρίγωνα
12 πεντάγωνα
Ακμές 150
Κορυφές 60
Ομάδα συμμετρίας εικοσαεδρική (I)
Διαμόρφωση κορυφής Snub dodecahedron vertfig.png
(3.3.3.3.5)
Συζυγές Pentagonal hexecontahedron.png
Πενταγωνικό
εξηκοντάεδρο
Ανάπτυγμα Snub dodecahedron flat.svg

Στη Στερεομετρία, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό ημικανονικό πολύεδρο, που ανήκει στα στερεά του Αρχιμήδη. Διαθέτει 92 έδρες: 80 ισόπλευρα τρίγωνα και 12 κανονικά πεντάγωνα. Έχει 60 κορυφές και 150 ακμές.

Το στερεό απαντάται σε δύο μορφές, που είναι μεταξύ τους αντικατοπτρικές, οι οποίες λέγονται εναντιόμορφα, το ένα αριστερόστροφο και το άλλο δεξιόστροφο. Αυτό το φαινόμενο του εναντιομορφισμού παρουσιάζεται και σε ένα ακόμη στερεό του Αρχιμήδη, τον πεπλατυσμένο κύβο.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν θεωρήσουμε  \alpha \,\! το μήκος της ακμής του στερεού, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας
(απόσταση κορυφών από το κέντρο)
 R \approx 2,15583737 \alpha 
Απόσταση ακμών από το κέντρο  \rho \approx 2,09705383 \alpha 
Συνολική επιφάνεια  S = \left(20\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)\alpha^2 \approx 55,287 \alpha^2 
Όγκος  V = \frac{12\xi^2(3\phi+1)-\xi(36\phi+7)-(53\phi+6)}{6\sqrt{3-\xi^2}^3}\alpha^3 \approx 37,61665 \alpha^3 

όπου

\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339 (ο χρυσός αριθμός),

\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\phi-\frac{5}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{\phi}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\phi-\frac{5}{27}}} \approx 1,7155615

Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει από το δωδεκάεδρο, εάν απομακρύνουμε προς τα έξω (σε σχέση με το κέντρο του) όλες τις έδρες του κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους (όλες αριστερόστροφα ή όλες δεξιόστροφα), έτσι ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.

Ένας άλλος τρόπος κατασκευής του πεπλατυσμένου δωδεκαέδρου είναι να λάβουμε ένα κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο και να του απαλείψουμε τις μισές κορυφές (ομοιόμορφα κατανεμημένα, αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Έτσι, τα 12 δεκάγωνα του αρχικού στερεού μετατρέπονται σε ισάριθμα πεντάγωνα, τα 20 εξάγωνα μετατρέπονται σε ισάριθμα τρίγωνα, όλα τα τετράγωνα εκφυλίζονται σε ακμές, ενώ οι 60 κορυφές που απαλείφονται σχηματίζουν ισάριθμα τρίγωνα.

Dodecahedron.png
Δωδεκάεδρο
Snub dodecahedron ccw.png
Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο

Πηγές - Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]