Λογισμός

Λογισμός είναι η μαθηματική μελέτη της αλλαγής, κατά τον ίδιο τρόπο που η γεωμετρία είναι η μελέτη του σχήματος και η άλγεβρα είναι η μελέτη των πράξεων και η εφαρμογή τους για την επίλυση των εξισώσεων. Έχει δύο κύριους κλάδους τον διαφορικό λογισμό (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον ολοκληρωτικό λογισμό (σχετικά με τη σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες), αυτοί οι δύο κλάδοι συνδέονται μεταξύ τους με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Και οι δύο κλάδοι κάνουν χρήση των θεμελιωδών εννοιών της σύγκλισης άπειρων ακολουθιών και άπειρων σειρών σε ένα καλά καθορισμένο όριο. Λογισμός έχει ευρέως διαδεδομένες χρήσεις στον τομέα της επιστήμης, της οικονομίας, και της μηχανικής και μπορεί να λύσει πολλά προβλήματα που η άλγεβρα μόνη της δεν μπορεί.

Λογισμός είναι ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης εκπαίδευσης μαθηματικών. Μια πορεία στο λογισμό είναι μια πύλη για άλλες, πιο προχωρημένα θέματα στα μαθηματικά που είναι αφιερωμένα στη μελέτη των συναρτήσεων και των ορίων, γενικά ονομάζονται μαθηματική ανάλυση.

Λογισμός ιστορικά έχει τίτλο "ο λογισμός των απειροελάχιστων» ή "απειροστικός λογισμός". Μερικά παραδείγματα άλλων γνωστών λογισμών είναι ο προτασιακός λογισμός(propositional calculus), ο λογισμός των μεταβολών (calculus of variations και ο Λογισμός λάμδα (lambda calculus).

Ιστορικά

Στα αρχαία χρόνια

Ισαάκ Νεύτων ανέπτυξε τη χρήση του λογισμού στους νόμους της κίνησης και της βαρύτητας.

Η αρχαία περίοδο εισήγαγε κάποιες από τις ιδέες που οδήγησαν στον ολοκληρωτικό λογισμό, αλλά δεν φαίνεται να είχαν αναπτύξει αυτές τις ιδέες σε ένα αυστηρό και συστηματικό τρόπο. Υπολογισμοί όγκων και περιοχών, ένας σκοπός του ολοκληρωτικού λογισμού, μπορεί να βρεθεί στο μαθηματικό πάπυρο της Μόσχας (περ. 1820 π.Χ.), αλλά οι τύποι είναι απλές οδηγίες, με καμία ένδειξη ως προς τη μέθοδο, και μερικά από αυτά δεν διαθέτουν σωστές συνιστώσες. Από την εποχή των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών, ο Εύδοξος (περ. 408 - 355 π.Χ.), χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξαντλήσεως, η οποία προδιαγράφει την έννοια του ορίου, για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων, ενώ ο Αρχιμήδης (περ. 287-212 π.Χ.) αναπτύξει περαιτέρω την ιδέα, εφευρίσκοντας διαισθητικά μεθόδους που μοιάζουν με τις μεθόδους του ολοκληρωτικού λογισμού. Η μέθοδος της εξάντλησης αργότερα ανακαλύφθηκε εκ νέου στην Κίνα από Liu Hui τον 3ο μ.Χ. αιώνα, προκειμένου να βρει το εμβαδόν ενός κύκλου. Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο Zu Chongzhi δημιούργησε μια μέθοδο που αργότερα ονομάζεται αρχή του Cavalieri να βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας.

Μεσαίωνας

Τον 14ο αιώνα, ο ινδός μαθηματικός Madhava Sangamagrama και το σχολείο Kerala της αστρονομίας και των μαθηματικών όρισε συστατικά του λογισμού, όπως η σειρά Taylor και άπειρες προσεγγίσεις σειράς.

Σύγχρονη εποχή

Στην Ευρώπη, το θεμελιώδες έργο ήταν μια πραγματεία που οφείλετε στον Bonaventura Cavalieri , ο οποίος υποστήριξε ότι οι όγκοι και οι περιοχές θα πρέπει να υπολογίζεται ως το άθροισμα των όγκων και των περιοχών της απειροελάχιστα λεπτές διατομές. Οι ιδέες του ήταν παρόμοιες με του Αρχιμήδη στη μέθοδο, αλλά αυτή η πραγματεία χάθηκε μέχρι τις αρχές του εικοστού αιώνα.Το έργο του Cavalieri δεν ήταν σεβαστό δεδομένου ότι οι μέθοδοι του είχαν οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα, και οι απειροελάχιστες ποσότητες που εισήγαγε ήταν κακόφημες απο την πρώτη του.

Ο Πιέρ ντε Φερμά υποστηρίζοντας ότι δανείστηκε από τον Διόφαντο, εισήγαγε την έννοια της επάρκειας (Adequality), η οποία αντιπροσώπευε την ισότητα μέχρι έναν απειροελάχιστο λανθασμένο όρο. Ο συνδυασμός επιτεύχθηκε από τον John Wallis, Isaac Barrow, James Gregory, τα δύο τελευταία αποδείκνυε το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού γύρω από 1670.

Ο κανόνας του προϊόντος και τον κανόνα της αλυσίδας, η έννοια των υψηλότερων παραγώγων, σειρές Taylor και αναλυτικές λειτουργίες εισήχθησαν από τον Ισαάκ Νεύτων σε μια ιδιότυπη σημειογραφία που θα χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής. Στα έργα του ο Ισαάκ Νεύτων αναδιατυπώνε τις ιδέες του για να ταιριάζουν με το μαθηματικό ιδίωμα της εποχής του, αντικατέστησε τους υπολογισμούς των απειροελάχιστων από ισοδύναμα γεωμετρικά επιχειρήματα, τα οποία θεωρήθηκαν υπεράνω κριτικής. Συνήθιζε τις μεθόδους του λογισμού για την επίλυση του προβλήματος της πλανητικής κίνησης, το σχήμα της επιφάνειας ενός περιστρεφόμενου ρευστού, το πεπλατυσμένο σχήμα της γης, η κίνηση του βάρους συρόμενη σε ένα κυκλοειδές και πολλά άλλα προβλήματα που συζητήθηκαν στο Principia Mathematica του (1687). Σε άλλη εργασία ανέπτυξε σειρά επεκτάσεων για τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των κλασματικών και των άρρητων δυνάμεων και ήταν σαφές ότι κατάλαβε τις αρχές της σειράς Taylor. Δεν δημοσιεύονται όλες οι ανακαλύψεις του.

Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς Ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε τα αποτελέσματά του για την ανάπτυξη του λογισμού.

Αυτές οι ιδέες ήταν τοποθετημένες στον πραγματικό απειροστικό λογισμό από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ο οποίος αρχικά είχε κατηγορηθεί για λογοκλοπή από τον Νεύτων. Πλέον θεωρείτε ως ένας ανεξάρτητος εφευρέτης που έχει συμβάλλει στο λογισμό. Η συμβολή του ήταν να παρέχει ένα σαφές σύνολο κανόνων για την εργασία του με απειροελάχιστες ποσότητες, επιτρέποντας τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου και υψηλότερες, και απέδειξε τον κανόνα της αλυσίδας. Σε αντίθεση με τον Νεύτων ο Λάιμπνιτς έδωσε πολλή προσοχή στο τρόπο που θα γράψει τους τύπος, συχνά περνούσε μέρες για τον καθορισμό των κατάλληλων συμβόλων για τις έννοιες.

Ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτων συνήθως και οι δυο πιστώνονται με την εφεύρεση του λογισμού. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτη που έγραψε για την εφαρμογή του λογισμού στη γενική φυσική και ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε ένα μεγάλο μέρος του συμβολισμού που χρησιμοποιείται στο λογισμό μέχρι και σήμερα. Οι βασικές ιδέες που εισήγαγαν τόσο Νεύτων όσο και ο Λάιμπνιτς ήταν οι νόμοι της παραγώγησης και της ολοκλήρωσης, τη δεύτερη παράγωγο και μεγαλύτερη, και την προσέγγιση πολυωνυμικών σειρών. Από την εποχή του Νεύτωνα, το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού ήταν γνωστό.

Όταν ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς δημοσίευσαν τα πρώτα τους αποτελέσματα, υπήρχε μεγάλη διαμάχη σχετικά με το ποιός μαθηματικός (και κατά συνέπεια ποια χώρα) άξιζε πίστωσης. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος, αλλά ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε για πρώτη φορά. Ο Νεύτων ισχυρίστηκε ότι ο Λάιμπνιτς έκλεψε τις ιδέες του από αδημοσίευτες σημειώσεις του, που ο Νεύτων είχε μοιραστεί με μερικά μέλη της Βασιλικής Εταιρείας. Αυτή η διαμάχη χωρίζει τους αγγλόφωνους μαθηματικούς από τους υπόλοιπους μαθηματικούς εδώ και πολλά χρόνια. Μια προσεκτική εξέταση των εγγράφων του Νεύτων και του Λάιμπνιτς δείχνει ότι έφτασαν στα αποτελέσματά τους ανεξάρτητα, με τον Λάιμπνιτς να ξεκινάει πρώτα με την ολοκλήρωση και τον Νεύτων με τη παραγώγιση. Σήμερα τόσο Νεύτων όσο και στον Λάιμπνιτς δίνεται πίστωση για την ανάπτυξη του λογισμού ανεξάρτητα. Ο Λάιμπνιτς όμως τιμήθηκε δίνοντας το όνομά του. Ο Νεύτων ονόμασε τον λογισμό του "η επιστήμη των συνεχών αλλαγών".

Από την εποχή του Νεύτων και του Λάιμπνιτς πολλοί μαθηματικοί έχουν συμβάλει στη συνεχή ανάπτυξη του λογισμού. Μια από τις πρώτες και πιο ολοκληρωμένες δουλειές σχετικά με την πεπερασμένη και την απειρωστή ανάλυση γράφτηκε το 1748 από τη Maria Gaetana Agnesi.