Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ο Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας είναι ένας αρχαίος Αιγυπτιακός μαθηματικός πάπυρος, που επίσης είναι γνωστός ως Ο Μαθηματικός Πάπυρος του Γκολενίστσεφ από τον πρώτο ιδιοκτήτη του, αιγυπτιολόγο Βλαντιμίρ Γκολενίστσεφ. Ο Γκολενίστσεφ αγόρασε τον πάπυρο το 1892 ή το 1983 στις Θήβες. Κατόπιν έγινε μέρος της συλλογής του Κρατικού Μουσείο Καλών Τεχνών Πούσκιν στην Μόσχα, όπου και παραμένει σήμερα.

Βάση της παλαιογραφικής ανάλυσης και της ορθογραφίας της ιερατικής γραφής του κειμένου, το πιθανότερο είναι ότι αυτό γράφτηκε κατά την 13η Δυναστεία, γύρω στο 1850 π.Χ., και είναι βασισμένο σε παλιότερο υλικό από την 12η Δυναστεία[1]. Έχει περίπου 5,5 μέτρα μήκος και πλάτος μεταξύ 3,8 με 7,6 εκατοστά. Το περιεχόμενό του χωρίστηκε σε 25 προβλήματα με λύσεις από τον Σοβιετικό ασιανολόγο Βασίλι Στρούβε[2] το 1930.[3]. Ο Πάπυρος της Μόσχας είναι γνωστός μαθηματικός πάπυρος μαζί με τον Μαθηματικό πάπυρο του Ράιντ, με τον πρώτο να είναι ο παλιότερος, και τον δεύτερο ο μεγαλύτερος από τους δύο[4].

Ασκήσεις του Πάπυρου της Μόσχας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα προβλήματα στον Πάπυρο της Μόσχας δεν ακολουθούν συγκεκριμένη σειρά, και οι λύσεις περιέχουν λιγότερες λεπτομέρειες σε σύγκριση με τον Πάπυρο του Ράιντ. Ο πάπυρος είναι γνωστός για μερικά από τα γεωμετρικά του προβλήματα. Τα προβλήματα 10 και 14 υπολογίζουν τον εμβαδόν μιας επιφάνειας και τον όγκου ενός κόλουρου (ο κύβος ενδεικτικά) αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα προβλήματα είναι λίγο πολύ κοινά[1].

Προβλήματα με μήκος μερών πλοίου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα προβλήματα 2 και 3 υπολογίζουν το μήκος μερών πλοίου. Το ένα υπολογίζει το μήκος του πηδαλίου, και το άλλο του καταρτιού του πλοίου δεδομένου ότι είναι το 1/3 + 1/5 του μήκους μιας σανίδας κέδρου με μήκος 30 πήχεις[1].

Προβλήματα Aha[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

P6 a
M35
Aha σε ιερογλυφικά

Τα προβλήματα Aha αφορούν στην εύρεση άγνωστης ποσότητας (που ονομάζεται Aha, - αντίστοιχο του άγνωστου χ) αν δίνεται το σύνολο της ποσότητα και μέρους (ή μερών) του. Ο Πάπυρος του Ράιντ επίσης περιέχει τέσσερα τέτοια προβλήματα. Στο Πάπυρο της Μόσχας τα προβλήματα 1, 19, και 25 είναι προβλήματα Aha. Για παράδειγμα, το πρόβλημα 19 ζητά αν πάρουμε ποια ποσότητα 1 1/2 φορά και προσθέσουμε 4 μας κάνει 10[1]. Με άλλα λόγια, με σημερινή μαθηματική μορφή μας ζητάει να λύσουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση 3/2 \times x + 4 = 10.

Προβλήματα pefsu[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα περισσότερα, 10 από τα 25, προβλήματα στον πάπυρο είναι προβλήματα pefsu. Το pefsu μετράει πόσο δυνατή είναι η μπίρα που γίνεται από ένα heqat σιτάρι (ή hekat, μονάδα όγκου των αρχαίων Αιγυπτίων που αντιστοιχεί σε 4,8 λίτρα)

 \mbox{pefsu} = \frac{\mbox{posa karvelia (arithmos) (i posa kanatia biras)}}{\mbox{posa heqat sitariou (arithmos)}} [σ 1].

Όσο πιο μεγάλος είναι ο αριθμός για το pefsu, τόσο πιο αδύναμη είναι η μπίρα[σ 2]. Τα νούμερα pefsu αναφέρονται σε πολλές λίστες προσφορών. Για παράδειγμα, το πρόβλημα 8 μεταφράζεται ως εξής:

(1) Παράδειγμα υπολογισμού για 100 καρβέλια ψωμί pefsu 20.
(2) Αν κάποιος σου πει: "Έχεις 100 καρβέλια ψωμί pefsu 20
(3) για να τα αλλάξεις με μπίρα pefsu 4,
(4) του είδους μπίρας 1/2 1/4." (πόση μπίρα πρέπει να πάρεις;)
(5) Πρώτα υπολόγισε το σιτάρι που χρειάζεται για να φτιάξεις 100 καρβέλια ψωμί pefsu 20
(6) Το αποτέλεσμα είναι 5 heqat. Μετά σκέψου πόσο θέλεις για ένα des-κανάτι μπίρας του είδους 1/2 1/4.
(7) Το αποτέλεσμα είναι 1/2 του heqat για ένα des-κανάτι μπίρας φτιαγμένης με στάρι από την Άνω Αιγύπτου.
(8) Υπολόγισε 1/2 των 5 heqat, το αποτέλεσμα είναι 2 1/2
(9) Πάρε αυτό το 2 1/2 επί 4 φορές
(10) Το αποτέλεσμα είναι 10. Μετά του λες:
(11) "Ιδού!" Η ποσότητα της μπίρας βρέθηκε και είναι σωστή[1][σ 3].

Προβλήματα baku[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 11 και το 23 είναι προβλήματα baku. Αυτά υπολογίζουν την απόδοση εργατών. Το πρόβλημα 11 ρωτάει αν κάποιος έχει 100 σανίδες 5 επί 5, σε πόσες σανίδες 4 επι 4 αναλογούν; Το πρόβλημα 23 υπολογίζει την απόδοση ενός υποδηματοποιού ρωτώντας,
"Αν όταν μόνο φτιάχνει σαντάλια, φτιάχνει 10 την ημέρα. Αν όταν μόνο διακοσμεί (φτιαγμένα) σαντάλια, διακοσμεί 5 την ημέρα: Πόσα μπορεί να φτιάξει και να διακοσμήσει την ημέρα;"[1][σ 4].

Προβλήματα γεωμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Επτά από τα 25 προβλήματα είναι προβλήματα γεωμετρίας, μεταξύ των οποίων ο υπολογισμός του εμβαδού τριγώνων, εμβαδού ημισφαιρίου (πρόβλημα 10), και ο υπολογισμός κόλουρου (κόλουρης πυραμίδας)[1].

Δύο ενδιαφέροντα προβλήματα γεωμετρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόβλημα 10[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 10ο πρόβλημα του Παπύρου ζητά τον υπολογισμό του εμβαδού ημισφαιρίου (σύμφωνα με τους Στρούβε και Gillings), ή ίσως το εμβαδόν ημί-κυλίνδρου (σύμφωνα με τον Peet). Παρακάτω υποθέτουμε ότι είναι για ημισφαίριο.

Το κείμενο του 10ου προβλήματος έχει ως εξής: "Παράδειγμα υπολογισμού ενός καλαθιού. Έχουμε ένα καλάθι του οποίου το στόμιο είναι 4 1/2 . Ποιο είναι το εμβαδόν του; Πάρε 1/9 του 9 (αφού) το καλάθι είναι το μισό σφαίρας. Δίνει 1. Υπολόγισε το υπόλοιπο, είναι 8. Υπολόγισε το 1/9 του 8. Δίνει 2/3 + 1/6 + 1/18. Βρες το υπόλοιπο αυτού το 8 μετά την αφαίρεση απ’ αυτό του 2/3 + 1/6 + 1/18. Δίνει 7 + 1/9. Πολλαπλασίασε 7 + 1/9 επί 4 + 1/2. Δίνει 32. Ιδού, αυτό είναιτο εμβαδόν. Βρήκες ότι είναι σωστό." [5][1]

Η λύση ισοδυναμεί με τον υπολογισμό:

 \text{Emvadon} = 2 \times \left(\frac{8}{9}\right)^2 \times (\text{diametros})^2 = 2 \times \frac{256}{81} (\text{aktina})^2

Αυτό σημαίνει ότι αυτός που έγραψε τον Πάπυρο της Μόσχας χρησιμοποίησε το  \frac{256}{81} \approx 3.16049 για να προσεγγύσει την τιμή του πι.

Πρόβλημα 14: Όγκος κόλουρου πυραμίδας με τετράγωνη βάση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Pyramide-tronquée-papyrus-Moscou 14.jpg

Το 14ο πρόβλημα υπολογίζει τον όγκο κόλουρου (κόλουρης πυραμίδας στην στην περίπτωσή μας).

Το πρόβλημα δίνει τα δεδομένα ότι η πυραμίδα έχει γίνει κόλουρη ώστε η πάνω επιφάνεια είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς 2, η κάτω επιφάνεια τετράγωνο με μήκος πλευράς 4, και με ύψος 6, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο όγκος υπολογίζεται σε 56 κυβικούς πήχεις, το οποίο είναι σωστό[1].

Το κείμενο είναι ως εξής: "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό"[6]. Η λύση του προβλήματος υποδηλώνει ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν πώς να υπολογίσουν τον τύπο που δίνει τον όγκο κόλουρης πυραμίδας:

V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2).

Σημειώσειες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Πόσα καρβέλια ή κανάτια μπίρας διά πόσα heqat σιταριού. Παράδειγμα, 10 κανάτια μπίρας έγιναν από 2 heqat (9,6 λίτρα) σταριού. Πόσο είναι το pefsu της μπίρας;
    Με πιο απλά λόγια, το pefsu είναι πόσες μονάδες φαγητού μπορούμε να φτιάξουμε από πόσες μονάδες πρώτης ύλης,
    δηλαδή ελευθέρα μεταφρασμένο, είναι η περιεκτικότητα του ψωμιού σε στάρι, ή της μπίρας σε στάρι ή άλλο υλικό[1]
  2. Αν από 100 heqat σιτάρι φτιάχναμε 200 κανάτια μπίρα, και με την ίδια ποσότητα φτιάχναμε 300 κανάτια μπίρα (και άρα η μπίρα αυτή θα ήταν πιο "αραιωμένη"),
    θα είχαμε στην πρώτη περίπτωση \mbox{pefsu}=200/100=2 ενώ στη δεύτερη \mbox{pefsu}=300/100=3.
  3. Για μια πλήρη εξήγηση δείτε στη συζήτηση
  4. Θέλει 1 μέρα να φτιάξει 10 σαντάλια. Θέλει 1 μέρα να διακοσμήσει 5 φτιαγμένα σαντάλια, οπότε 2 για να διακοσμήσει 10.
    Άρα 10 έτοιμα στολισμένα σαντάλια σε 3 μέρες, σε 1 μέρα πόσα; Απλή μέθοδος των τριών, 10/3 = 3 \frac{1}{3} έτοιμα στολισμένα σαντάλια την ημέρα.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
  2. Struve V.V., (1889–1965), orientalist :: ENCYCLOPAEDIA OF SAINT PETERSBURG
  3. Struve, Vasilij Vasil'evič, and Μπορίς Τουράγιεφ. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
  4. Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια, 3rd edition, entry on "Папирусы математические", available online here
  5. Williams, Scott W. Egyptian Mathematical Papyri
  6. as given in Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15: 176. See also, Van der Waerden, 1961, Plate 5

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Moscow Mathematical Papyrus της Αγγλόγλωσσης Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).