Χρήστης:Filippma/πρόχειρο

ΘΑ ΕΙΣΑΓΩ ΕΝΑ ΛΗΜΜΑ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ .

Πεδίο(μαθηματικά)

Αυτό το άρθρο αφορά τα πεδία στην Αλγεβρα. Για πεδία στην Γεωμετρία, βλέπε διανυσματικό πεδίο. Για άλλες περιπτώσεις βλέπε σώμα (αποσαφήνιση). Στην αφηρημένη άλγεβρα, το πεδίο είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος, ο οποίος περιέχει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο για κάθε μη μηδενικό στοιχείο, ισοδύναμα ένας δακτύλιος του οποίου τα μη μηδενικά στοιχεία αποτελούν μία πολλαπλασιαστική αβελιανή ομάδα. Ως εκ τούτου είναι μία αλγεβρική δομή με την έννοια της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμούκαι διαίρεσης που ικανοποιούν τις κατάλληλες εξισώσεις της αβελιανής ομάδας και την επιμεριστική ιδιότητα. Τα πιο συνηθισμένα πεδία είναι το πεδίο των πραγματικών αριθμών, το πεδίο των μιγαδικών αριθμών και το πεδίο των ρητών αριθμών. αλλά υπάρχουν και πεπερασμένα πεδία, πεδία συναρτήσεις, διάφορα σώματα αλγεβρικών αριθμών, π-αδικά σώματα, κ.ο.κ. Για να αποφευχθεί η σύγχυση με τις άλλες χρήσεις της λέξης πεδίο, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ο όρος σώμα. Κάθε σώμα μπορεί να θεωρηθεί σαν scalars για τον διανυσματικό χώρο, ο οποίος είναι το γενικό πλαίσιο για την γραμμική άλγεβρα. Η θεωρία της επέκτασης σωμάτων(συμπεριλαμβανομένης της θεωρίας Galois) περιλαμβάνει τις ρίζες των πολυωνύμωνμε συντελεστές από σώμα. Μεταξύ άλλων αποτελεσμάτων, η θεωρία αυτή οδηγεί στην αδυναμία απόδειξης των συνηθισμένων προβλημάτων της τριχοτόμησης της γωνίας και του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη, όπως η απόδειξη του θεωρήματος Abel-Ruffini πάνω στην αλγεβρική ασάφεια των πεμπτοβάθμιων εξισώσεων. Στα μοντέρνα μαθηματικά η θεωρία των πεδίων παίζει σημαντικό ρόλο στην θεωρία αριθμών και αλγεβρική γεωμετρία. Ως μια αλγεβρική δομή ,κάθε σώμα είναι δακτύλιος,αλλά κάθε δακτύλιος δεν είναι σώμα. Η πιο σημαντική διαφορά είναι ότι στα σώματα επιτρέπεται η διαίρεση (εκτός αποό τη διαίρεση με το μηδέν )ενώ ο δακτύλιος δεν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο,για παράδειγμα οι ακέραιοι αριθμοί σχηματίζουν δακτύλιο ,αλλά 2x = 1 δεν έχει λύση στους ακεραίους .

Επίσης ,η πράξη του πολλαπλασιασμού σε σώμα , πρέπει να είναι αντιμεταθετική Ένας δακτύλιος στον οποίο είναι δυνατή η διαίρεση αλλά η αντιμεταθετικότητα δεν εννοείται (όπως οι τετράδες ονομάζεται δακτύλιος διαίρεση Ιστορικά οι δακτύλιοι διαίρεση μερικές φορές αναφέρονται ως πεδία ,ενώ τα πεδία ονομάζονται αντιμεταθετικά πεδία. Όπως ο δακτύλιος ,ένα σώμα μπορεί να ταξινομηθεί σαν ένας συγκεκριμένος τύπος ακεραίας περιοχήςκαι μπορεί να χαρκτηριστεί από παρακάτω αλυσίδα των εγκλεισμάτων κατηγορίας. Αντιμεταθετικός δακτύλιος ⊃ Ακεραίες περιοχές ⊃ Ολοκληρωτικά κλειστές περιοχές ⊃ δακτύλιος μονοσήμαντης ανάλυσης ⊃ δακτύλιος κυρίων ιδεωδών ⊃ Ευκλείδειος δακτύλιος ⊃ σώματα ⊃ πεπερασμένο σώμα.

Ορισμός και επεξήγηση. Διαισθητικά, ένα πεδίο είναι ένα σύνολο F το οποίο είναι ένα σύνολο μια αντιμεταθετική ομάδα εφοδιασμένη με δύο συμβατές πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμό ,με το συμβατό που επισημοποιήθηκε με επιμεριστικότητα ,και η προειδοποίηση ότι το προσθετικο αντίστροφο (0) δεν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο(δεν μπορεί κανείς να διαιρέσει με το 0). Ο πιο συνηθισμένος τρόπος να επισημοποιηθεί αυτό είναι ορίζοντας ένα πεδίο σαν σύνολο μαζί με δυο πράξεις ,που συνήθως ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός , και συμβολίζονται με + και · , αντίστοιχα , έτσι ώστε να ικανοποιούν τα παραπάνω αξιώματα , αφαίρεση και διαίρεση ορίζονται έμμεσα ως αντίστροφες πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Θήκη του F ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό Για όλα τα a και b που ανήκουν στο F ισχύει ότι a + b και a · b ανήκουν στο F ( ή πιο επίσημα + και · είναι διμελείς πράξεις στο F). Προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού Για όλα τα a, b και c που ανήκουν στο F ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: a + (b + c) = (a + b) + c και a · (b · c) = (a · b) · c Αντιμεταθετικότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού Για όλα τα a,b που ανήκουν στο F ισχύουν οι ακόλουθες εξισώσεις : a + b = b + a και a · b = b · a Ύπαρξη προσθετικών και πολλαπλασιαστικών ουδέτερων στοιχείων Υπάρχει ένα στοιχείο του F που ονομάζεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και συμβολίζεται με 0,τέτοιο ώστε για όλα τα a που ανήκουν στο F ισχύει :a + 0 = a.Ομοίως, υπάρχει ένα στοιχείο που ονομάζεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού και συμβολίζεται με 1 ,τέτοιο ώστε για όλα τα a που ανήκουν στο F ισχύει a · 1 = a . Για να αποκλείσουμε τον τετριμένο δακτύλιο το προσθετικό ουδέτερο και το πολλαπλασιαστικό πρέπει να είναι διακριτά. Ύπαρξη προσθετικών αντιστρόφων και πολλαπλασιαστικών αντιστρόφων Για κάθε στοιχείο a που ανήκει στο F υπάρχει ένα στοιχείο -a που ανήκει στο F , τέτοιο ώστεa + (−a) = 0 . Ομοίως για κάθε a που ανήκει στο F εκτός από το 0, υπάρχει ένα στοιχείο a^-1 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a · a⁻¹ = 1 (τα στοιχείαa + (−b) καιa · b⁻¹ συμβολίζονται επίσηςa − b και ,a/bαντίστοιχα.) Με άλλα λόγια ,η πράξη της αφαίρεσης και της διαίρεσης υπάρχουν. Επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση . Για όλα τα a,b και c που ανήκουν στο F ισχύει η παρακάτω εξίσωση a · (b + c) = (a · b) + (a · c) Επομένως ,ένα πεδίο είναι μια αλγεβρική δομή <F,+,·,-,α^-1,0,1> του τύπου <2,2,1,1,0,0>, που αποτελείται από δύο αβελιανές ομάδες • F ως προς +<- και 0. •F\{0} ως προς ·,^-1 και 1 με 0‡1. με · επιμεριστική σε σχέση με το +.

Πρώτο παράδειγμα : Ρητοί αριθμοί

Ένα απλό παράδειγμα σώματος είναι το σώμα των ρητών αριθμών, που αποτελείται από αριθμούς οι οποίοι μπορούν να γραφτούν σαν κλάσματαa/b όπου a,bείναι ακέραιοι καιb ≠ 0 . Το προσθετικό αντίστροφο ενός τέτοιου κλάσματος είναι απλά και−a/b το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ( με την προϋπόθεση ότι a ≠ 0)είναι b/a.Για να δείτε το τελευταίο σημειώστε ότι :${\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1.$ Τα αφηρημένα αξιώματα σώματος περορίζονται σε καθιερωμένες ιδιότητες των ρητών αριθμών όπως ο νόμος της επιμεριστικότητας ${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}\cdot {\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}\cdot {\frac {d}{d}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {cf+ed}{df}}={\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {e}{f}}{\text{,}}$ ή ο νόμος της αντιμεταθετικότητας και ο νόμος της προσεταιριστικότητας .

Δεύτερο παράδειγμα :Πεδίο με 4 στοιχεία

Σε αντίθεση με συνηθισμένα συστήματα αριθμών όπως οι ρητοί ,υπάρχουν άλλα λιγότερο άμεσα παραδείγματα σωμάτων.Το παρακάτω παράδειγμα είναι ένα πεδίο που αποτελέιται από 4 στοιχεία , που ονομάζονται O, I, A και B.Ο συμβολισμός επιλέγεται έτσι ώστε το Ο να παίζει το ρόλο του προσθετικού ουδέτερου στοιχείου(συμβολίζεται με 0 στα αξιώματα ) και Ι είναι το πολλαπλασιαστικό ουδέτερο (συμβολίζεται με 1). Κανείς μπορεί να ελέγξει ότι ικανοποιούνται όλα τα αξιώματα του πεδίου). Για παράδειγμα : A · (B + A) = A · I = A το οποίο ισούται με A · B + A · A = I + B = A όπως επιβάλλει η επιμεριστικότητα . Το παραπάνω σώμα λέγεται πεπερασμένο σώμα με 4 στοιχεία και μπορεί να συμβολιστεί με F₄. Η θεωρία των πεδίων ασχολείται με την κατανόηση των αιτίων της ύπαρξης αυτού του πεδίου, που ορίζεται με ένα αρκετά ad-hoc τρόπο και περιγράφοντας την εσωτερική δομή του. Για παράδειγμα , με μια ματιά στον πολλαπλασιαστικό πίνακα φαίνεται ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο (Ι, Α και Β) είναι μια δύναμη του A: A = A¹, B = A² = A · A, και τέλος I = A³ = A · A · A. Αυτό δεν είναι τυχαίο , αλλά μάλλον ένα από τα αρχικά σημεία της βαθύτερης κατανόησης των ( πεπερασμένων ) σωμάτων.

Εναλλακτικοί αξιωματισμοί

Όπως και σε άλλες αλγεβρικές δομές ,υπάρχουν εναλλακτικοί αξιωματισμοί.Λόγω των σχέσεων μεταξύ των πράξεων , μπορεί κανείς εναλλακτικά να ορίσει ένα πεδίο με τη ρητή προϋπόθεση ότι οι 4 διμελείς πράξεις (πρόσθεση ,αφαίρεση,πολλαπλασιασμό,διαίρεση )με τα αξιώματα που αφορούν σε αυτές ,ή από άποψη των των 2 διμελών πράξεων ( πρόσθεση, πολλαπλασιασμός) και των δυο μονομελών πράξεων (προσθετικό αντίστροφο, πολλαπλασιαστικό αντίστροφο)ή άλλεσ παραλλαγές. Ο συνήθης αξιωματισμός όσον αφορά στις 2 πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι σύντομος και επιτρέπει τις άλλες πράξεις να οριστούν με βάση αυτές τις βασικές,αλλά σε άλλους τομείς όπως η τοπολογία και η θεωρία της κατηγορίας είναι σημαντικό να περιλαμβάνουν όλες τις πράξεις ,όπως ρητά δίνονται ,παρά να ορίζονται σιωπηρά (συγκρίνετε με τοπολογική ομάδα).Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι χωρίς περαιτέρω υποθέσεις , οι σιωπηρά ορισμένοι αντίστροφοι μπορεί να μην είναι συνεχείς(στην τοπολογία), ή να μην μπορούν να οριστούν (στην θεωρία κατηγορίας). Για μια πολύ οικονομική θεμελίωση του σώματος των πραγματικών αριθμών των οποίων τα αρχέτυπα είναι απλά ένα σύνολο R με 1∈R, επιπλέον και μια διμελή σχέση, <, βλέπε θεμελίωση Tarski των πραγματικών αριθμών .

Συγγενείς αλγεβρικές δομές

Τα αξιώματα που επιβάλλονται παραπάνω μοιάζουν με γνωστά αξιώματα από άλλες αλγεβρικές δομές. Για παράδειγμα η ύπαρξη της διμελούς πράξης "·" , μαζί με την αντιμεταθετικότητα ,προσεταιριστικότητα,πολλαπλασιαστικό ουδέτερο στοιχείο και αντίστροφο, είναι ακριβώς τα αξιώματα για μια αβελιανή ομάδα. Με άλλα λόγια για κάθε πεδίο , το σύνολο των μη μηδενικών στοιχελιων F\{0} ,συμβολίζεται επίσης F^x, είναι μια αβελιανή ομάδα (F^×,·), συχνά ονομάζεται πολλαπλασιαστική ομάδα του σώματος.Ομοίως (F,+) είναι μια αβελιανή ομάδα. Ως εκ τούτου η δομή ενός πεδίου ειναι ισοδύναμη με τον προσδιορισμό της δομής 2 ομάδων ( πάνω στο ίδιο σύνολο) λαμβάνοντας υπόψη την επιμεριστικότητα . Άλλες σημαντικές αλγεβρικές δομές όπως οι δακτύλιοι προκύπτουν όταν απαιτείται μόνο ένα μέρος από τα παραπάνω αξιώματα . Για παράδειγμα , αν η απαίτηση της αντιμεταθετικότητας του πολλαπλασασμού · μειώθηκε, μπορεί κανείς να ονομάσει αυτή τη δομή δακτύλιος διαιρέτης ή skew field .

Παρατηρήσεις

Από τη στοιχειώδη θεωρία ομάδων ,που εφαρμόζεται στις αβελιανές ομάδες (F×, ·)

και (F,+), το προσθετικό αντίστροφο -a και το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο a⁻¹ καθορίζονται μοναδικά από το a. Όμοια άμεσες συνέπειες από τα αξιώματα του σώματος περιλαμβάνουν : −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ειδικότερα −a = (−1) · a επίσης a · 0 = 0. Και τα δυο μπορούν να αποδειχθούν αντικαθιστώντας το bή το c με 0 στην επιμεριστική ιδιότητα .

Ιστορία

Η έννοια του σώματος χρησιμοποιήθηκε εμμέσως από τους Niels Henrik, Abelκαι Evariste Galois στο έργο τους σχετικά με την επιλυσιμότητα των πολυωνιμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές ,πέμπτου ή μεγαλύτερου βαθμού . Το 1857 ο Karl von Staudt δημοσίευσε το Άλγεβρα των ρίψεων, η οποία προέβλεπε ένα γεωμετρικό μοντέλο που ικανοποιεί τα αξιώματα του σώματος .Η κατασκευή αυτή έχει συχνά μετονομαστεί σε συνεισφορά στα θεμέλια των μαθηματικών. Το 1871 ,ο Richard Dedekind εισήγαγε ,για ένα σύνολο πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών το οποίο είναι κλειστό ως προς τις 4 αριθμητικές πράξεις , η γερμανική λέξη Korper, που σημαίνει σώμα (για να προτείνουν μια οργανική κλειστή οντότητα )εξού και η κοινή χρήση του γράμματος Κ, για τον συμβολισμό του σώματος.Επίσης ,όρισε τουσ δακτυλίους (τότε ονομάζονταν τάξη -modul),αλλά ο όρος δακτύίος (Zahlring) επινοήθηκε από τον Hilbert. Το 1893 Eliakim Hastings Moore ονόμασε την έννοια σώμα στα Αγγλικά . Το 1881 ο Leopold Kronecker όρισε αυτό που ονομάζεται πεδίο ρητότητας η οποία είναι πράγματι ένα σώμα των πολυωνύμων με σύγχρονους όρους . Το 1893 ο Heinrich M.Weber έδωσε τον πρώτο ξεκάθαρο ορισμό του αφηρημένου σώματος. Το 1910 ο Ernst Steinitz δημοσίευσε το πολύ ισχυρό χαρτί Algebraische Theorie der Korper ( Αγγλικά: Αλγεβρική θεωρία αριθμών). Σ΄αυτό το χαρτί που μελετά αξιωματικά τις ιδιότητες των πεδίων και ορίζει πολύ σημαντικές θεωρητικές έννοιες όπως Πρωταρχικό σώμα τέλειο σώμα και βαθμός υπερβατικότητας της [επέκτασης σώματος Ο Emil Artinανέπτυξε τη σχέση μεταξύ των ομάδων και των σωμάτων με μεγάλη ακρίβεια από το 1928 εως το 1942.

Ρητοί και αλγεβρικοί αριθμοί

Το σώμα των ρητών αριθμών Q έχει εισαχθεί παραπάνω . Μια κατηγορία που σχετίζεται με τα σώματα ,πολύ σημαντική για τη θεωρία αριθμών είναι τα σώματα αλγεβρικών αριθμών. Αρχικά θα δώσουμε ένα παράδειγμα ,δηλαδή το πεδίο Q(ζ) που αποτελείται από αριθμούς της μορφής: a + bζ με a, b ∈ Q όπου το ζ είναι μια πρωταρχική τρίτη ρίζα της μονάδας π.χ ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την

ζ3 = 1 , ζ ≠ 1.

Το σώμα επέκτασης μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat,το οποίο βεβαιώνει την ύπαρξη των μη μηδενικών ρητών λύσεων της εξίσωσης : x³ + y³ = z³ . Στην γλώσσα των επεκτάσεων σωμάτων που δίνονται αναλυτικά παρακάτω , Q(ζ) είναι μια επέκταση σώματος βαθμού 2. Σώματα αλγεβρικών αριθμών είναι από τον ορισμό , πεπερασμένες επεκτάσεις του σώματος Q, δλδ τα σώματα που περιέχουν το Q έχουν πεπερασμένη διάσταση ως Q-διανυσματικός χώρος.

Πραγματικοί , μιγαδικοί αριθμοί και π-αδικοί αριθμοί

Πάρτε τους πραγματικούς αριθμούς R, ως προς τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού . Όταν οι πραγματικοί αριθμοί δίνονται σε συνήθη σειρά , σχηματίζουν το πλήρως διατεταγμένο σώμα , είναι εκείνη η δομή η οποία παρέχει τα θεμέλια για τις πιο τυπικες διεργασίες του λογισμού. Οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούνται από εκφράσεις :a + bi όπου i είναι το φανταστικό μέρος π.χ ο(μη πραγματικός ) αριθμός που ικανοποιεί την i² = −1. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών ορίζονται με τέτοιον τρόπο ώστε όλα τα αξιώματα του πεδίου να ισχύουν για το C . Για παράδειγμα , η επιμεριστική ιδιότητα επιβάλλει :(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi², which equals ac−bd + (bc + ad)i. Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να κατασκευαστούν από την συμπλήρωση των ρητών αριθμών. π.χ συμπληρώνοντας τα κενά για παράδειγμα το √2 είναι ένα τέτοιο κενό.Με πολύ όμοια διαδικασία μια άλλη σημαντική κατηγορία σωμάτων , το σώμα των π-αδικων αριθμών Q_p έχει κατασκευαστεί. αυτό χρησιμοποιείται στη θεωρία αριθμών και στην π-αδικη ανάλυση. Οι υπερπραγματικοί αριθμοί και οι εξωπραγματικοι αριθμοί επεκτείνουν τους πραγματικούς με την πρόσθεση των απειροστών και των άπειρων αριθμών .

Κατασκευάσιμοι αριθμοί

Στην αρχαιότητα , μερικά γεωμετρικά προβλήματα που αφορούσαν στην σκοπιμότητα της κατασκευής των ορισμένων αριθμών με κανόνα και διαβήτη . Για παράδειγμα ήταν άγνωστο στους Έλληνες ότι γενικά είναι αδύνατο να τριχοτομήσεις μια δοσμένη γωνία . Η χρήση της έννοιας του σώματος και της θεωρίας σώματος επιτρέπει την επίλυση αυτών των προβλημάτων . Για να γίνει αυτό θεωρείται το σώμα των κατασκευάσιμων αριθμών . Περιέχει , στο επίπεδο , τα σημεία 0 και 1 , και όλους τους μιγαδικούς αριθμούς που μπορούν να κατασκευαστούν από αυτούς τους δυο με πεπερασμένο αριθμό κατασκευαστικών βημάτων χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη . Το σύνολο αυτό εφοδιασμένο με τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών αποτελούν ένα σώμα . Για παράδειγμα , ο πολλαπλασιασμός δύο πραγματικών αριθμών r₁ και r₂, οι οποίοι έχουν ήδη κατασκευαστεί , μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κατασκευή από τα δεξιά , βασισμένος στο θεώρημα τομής. Μ'αυτόν τον τρόπο , το ληφθέν πεδίο Fπεριέχει όλους τους ρητούς αριθμούς , αλλά είναι μεγαλύτερο από το Q , επειδή για κάθε f ∈ F η τετραγωνική ρίζα του f είναι επίσης ένας κατασκευάσιμος αριθμός . Μια στενά συνδεμένη έννοια είναι του Ευκλείδειου σώματος , δηλαδή ένα διατεταγμένο σώμα του οποίου τα θετικά στοιχεία είναι κλειστά κάτω από τετραγωνική ρίζα . Οι πραγματικοί κατασκευάσιμοι αριθμοί αποτελούν το ελάχιστο Ευκλείδειο σώμα και τα Ευκλείδεια σώματα είναι ακριβώς διατεταγμένες επεκτάσεις αυτών .

Πεπερασμένα σώματα

Πεπερασμένα σώματα ( σώματα Galois ) είναι σώματα με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων . Το παραπάνω εισαγωγικό παράδειγμα F₄ είναι ένα σώμα με 4 στοιχεία . F₂ αποτελείται από 2 στοιχεία 0 και 1 . Αυτό είναι το μικρότερο σώμα επειδή , από τον ορισμό , το σώμα έχει τουλάχιστον 2 διακεκριμένα στοιχεία 1 ≠ 0. Ερμηνεύοντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό σ'αυτό το τελευταίο σώμα σαν XOR και AND πράξεις , αυτό το σώμα βρίσκει εφαρμογή στην επιστήμη των υπολογιστών , ειδικά στην κρυπτογραφία και θεωρία κωδίκων . Σε ένα πεπερασμένο σώμα είναι απαραίτητο ένας ακέραιος n τ.ω 1 + 1 + ··· + 1 ( n επαναλαμβανόμενων όρων)να ισούται με το 0. Μπορεί να δειχθεί ότι ο μικρότερος τέτοιος n πρέπει να είναι πρώτος αριθμός που ονομάζεται χαρακτηριστική του σώματος .Αν το σώμα έχει την ιδιότητα ότι 1 + 1 + ··· + 1 δεν είναι πτέ μηδέν για κάθε προσθετέο , όπως στο Q ,η χαρακτηριστική είναι 0. Η βασική κατηγορία πεπερασμένων σωμάτων είναι τα F_p σώματα με p στοιχεία ( p πρώτος) F_p = Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}, όπου οι πράξεις καθορίζονται από την εκτέλεση των πράξεων στο σύνολο των ακεραίων Z , διαιρώντας με το p και παίρνοντας το υπόλοιπο , βλέπε αριθμητική μέτρου. Ένα σώμα Κ με χαρακτηριστική p περιέχει απαραίτητα F_p , και ως εκ τούτου μπορεί να θεωρηθεί σαν διανυσματικός χώρος πάνω στο F_p , πεπερασμένης διάστασης ,αν Κ είναι πεπερασμένο . Έτσι ένα πεπερασμένο σώμα Κ έχει τάξη δύναμη πρώτου π.χ Κ έχει q = pⁿ στοιχεία (όπου n > 0 ο αριθμός των στοιχείων σε μια βάση του Κ πάνω στο F_p ). Αναπτύσσοντας περισσότερο την θεωρία σωμάτων , ειδικότερα την έννοια της διάσπασης πεδίου ενός πολυωνύμου f πάνω από ένα πεδίο Κ , το οποίο είναι το μικρότερο σώμα που περι΄εχει το Κ, και όλες τις ρίζες του fμπορεί κάποιος να αποδείξει ότι δυο πεπερασμένα σώματα με τον ίδιο αριθμό στοιχείων είναι ισόμορφα π.χ υπάρχει μια 1-1 απεικόνιση από το ένα σώμα στο άλλο που διατηρεί την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό . Έτσι μπορούμε να μιλάμε για το πεπερασμένο σώμα με q στοιχείο συνήθως συμβολίζεται με F_q ή GF(q).

Αρχιμήδεια σώματα

Ένα Αρχιμήδειο σώμα είναι ένα διατεταγμένο σώμα τ.ω για κάθε στοιχείο υπάρχει μια πεπερασμένη έκφραση 1 + 1 + ··· + 1 της οποίας η τιμή είναι μεγαλύτερη από αυτό το στοιχείο ,δηλ δεν υπάρχουν άπειρα στοιχεία. Ισοδύναμα , το πεδίο δεν περιέχει απειροστά ή το σώμα είναι ισόμορφο με ένα υπόσωμα των πραγματικών αριθμών. Απαραίτητη προϋπόθεση για ένα διατεταγμένο σώμα για να είναι πλήρες , είναι να είναι Αρχιμήδειο , αφού σε κάθε μη-Αρχιμήδειο σώμα δεν υπάρχει ούτε μια μεγαλύτερη απειροελάχιστη ούτε ένας ελάχιστος ρητός ,εξού και η ακολουθία 1/2, 1/3, 1/4,.... του οποίου κάθε στοιχείο είναι μεγαλύτερο από κάθε απειροστό ,δεν έχει όριο.

Σώμα συναρτήσεων

Δίνεται ένα γεωμετρικό αντικείμενο Χ, μπορεί κανείς να θεωρήσει συναρτήσεις σε τέτοια αντικείμενα . Προσθέτοντας και πολλαπλασιάζοντάς τα σημειακά π.χ (f·g)(x) = f(x) · g(x) , αυτό οδηγεί σε ένα σώμα .Ωστόσο ,λόγω της πιθανής παρουσίας μηδενικών ,δηλαδή τα σημεία x ∈ X όπου f(x) = 0 , πρέπει κανείς να λάβει υπόψη πόλους ,δηλαδή , τυπικά επιτρέποντας f(x) = ∞. Αν Χ είναι μια αλγεβρική πολλαπλότητα πάνω στο F , τότε οι ρητές συναρτήσεις X → F π.χ συναρτήσεις που ορίζονται σχεδόν παντού , σχηματίζουν σώμα , το σώμα συναρτήσεων του X. Ομοίως , αν Χ είναι Riemann επιφάνεια τότε η μερομορφική συνάρτηση S → C αποτελεί σώμα . Υπό ορισμένες συνθήκες ,δηλαδή όταν το S συμπαγές , το S μπορεί να ανακατασκευαστεί από αυτό το σώμα.

Τοπικά και σφαιρικά σώματα

Μια άλλη σημαντική διάκριση στη σφαίρα των σωμάτων , ιδίως όσον αφορά τη θεωρία αριθμών, είναι τοπικά σώματακαι σφαιρικά σώματα . Τα τοπικά σώματα είναι συμπληρώσεις των σφαιρικών σωμάτων σε ένα δοσμένο τόπο . Για παράδειγμα , Q είναι είναι ένα σφαιρικό σώμα και τα συννημένα τοπικά σώματα είναι Q_p και R θεωρία Ostrowski . Το σώμα των αλγεβρικών αριθμών και τα σώματα συναρτήσεων πάνω από F_q είναι σφαιρικά σώματα. Η μελέτη αριθμητικών ερωτήσεων στα σφαιρικά σώματα μπορεί μερικές φορές να γίνει με την εξέταση στις αντίστοιχες ερωτήσεις σε τοπικό επίπεδο.

Μερικά πρώτα θεωρήματα

• Κάθε πεπερασμένη υποομάδα της πολλαπλασιαστικής ομάδας F^× είναι κυκλική .Αυτό ισχύει ειδικότερα για F_q^× , είναι κυκλική τάξης q − 1 Στο εισαγωγικό παράδειγμα ένας γεννήτορας της F₄^× είναι το στοιχείο Α. •Από την άποψη της αλγεβρικής γεωμετρίας , τα σώματα είναι σημεία , διότι το φάσμα Spec F έχει μόνο ένα σημείο , που αντιστοιχεί στο μηδενικό ιδεώδες.Αυτό συνεπάγεται ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι ένα πεδίο αν και μόνο αν δεν έχει ιδεώδη εκτός από {0} και τον ίδιο. Ισοδύναμα , μια ακεραία περιοχή είναι σώμα αν και μόνο αν Krull διάσταση είναι 0. •Θεώρημα επεκτάσεων ισομορφισμών.

Υποσώματα και επεκτάσεις σωμάτων.

Ένα υόσωμα είναι ανεπίσημα ,ένα μικρό σώμα που περιέχεται σε ένα μεγαλύτερο.Επίσημα, ένα υπόσωμα Ε ενός σώματος F είναι ένα υποσύνολο που περιέχει το 0 και το 1, κλειστό ως προς τις πράξεις +, −, · και τα πολλαπλασιαστικά αντίστροφα και τις δικές του πράξεις που ορίζονται από τους περιορισμούς . Για παράδειγμα οι πραγματικοί αριθμοί περιέχουν μερικά ενδιαφέροντα υποσώματα , οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί ,οι υπολογίσιμοι αριθμοί και οι ρητοί αριθμοί είναι μερικά παραδείγματα. Η έννοια της επέκτασης σώματος βρίσκεται στην καρδιά της θεωρίας σωμάτων και είναι ζωτικής σημασίας για πολλές άλλες αλγεβρικές περιοχές. Η επέκταση σώματος F / E είναι απλά ένα σώμα F και ένα υπόσωμα E ⊂ F. Η κατασκευή τέτοιας επέκτασης F / E μπορεί να γίνει προσθέτοντας νέα στοιχεία ή προσαρτώντας στοιχεία στο Ε. Για παράδειγμα , δίνεται σώμα F το σύνολο F = E(X) των ρητών συναρτήσεων ,δηλαδή, κλάσεις ισοδυναμίας των εκφράσεων του τύπου ${\frac {p(X)}{q(X)}},$ όπου p(X) και q(X) είναι πολυώνυμα με συντελεστές από το Ε , και q δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο αποτελούν ε΄να σώμα.Αυτό είναι το πιο απλό παράδειγμα υπερβατικών επεκτάσεων του Ε.Είναι επίσης ένα παράδειγμα περιοχής (ο δακτύλιος των πολυωνύμων Ε)που ενσωματώνεται στο σώμα πολυωνύμων του $\scriptstyle E(X)$. Ο δακτύλιος των τυπικών δυναμοσειρών $\scriptstyle E[[X]]$ είναι επίσης ένα πεδίο ,και πάλι οι κλάσεις ισοδυναμίας των κλασμάτων της μορφής p(X)/ q(X) όπου p και q είναι στοιχεία του $\scriptstyle E[[X]]$ αποτελούν το σώμα κλασμάτων για $\scriptstyle E[[X]]$. Αυτό το σώμα είναι ουσιαστικά ο δακτύλιος των σειρών Laurent πάνω στο σώμα Ε, συμβολίζεται $\scriptstyle E((X))$. Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις , το προστιθέμενο σύμβολο Χ και οι δυνάμεις του δεν αλληλεπιδρούν με τα στοιχεία του Ε.Είναι δυνατόν τα προσαρτημένα στοιχεία να αλληλεπιδρούν με το Ε. Αυτή η ιδέα θα επεξηγηθεί προσαρτώντας ένα στοιχείο στο σώμα των πραγματικών αριθμών R. Όπως δείξαμε παραπάνω το C είναι επέκταση του R. Το C μπορεί να ληφθεί από το R με την προσάρτηση του φανταστικού συμβόλου i το οποίο ικανοποιεί την i² = −1. Το αποτέλεσμα είναι ότι R[i]=C.Αυτό είναι διαφορετικό από την προσάρτηση του συμβόλουX στο R, γιατί σε αυτήν την περίπτωση , οι δυνάμεις του X είναι όλες διακριτά αντικείμενα , αλλά εδώ i²=−1 είναι στην πραγματικότητα ένα στοιχείο του R. Άλλος τρόπος για να δω αυτό το τελευταίο παράδειγμα, είναι να σημειώσουμε ότι το i είναι ρίζα του πολυωνύμου p(X) = X² + 1. Ο δακτύλιος πηλίκο $\scriptstyle R[X]/(X^{2}\,+\,1)$ μπορεί να απεικονιστεί στο C μέσω τη ς απεικόνισης

$\scriptstyle {\overline {a\,+\,bX}}\;\rightarrow \;a\,+\,ib$.Δεδομένου ότι το ιδεώδες (X2+1) παράγεται από ανάγωγο πολυώνυμο του  R , το ιδεώδες είναι μέγιστο , οπότε ο δακτύλιος πηλίκο είναι σώμα.

Αυτή η μη μηδενική απεικόνιση δακτυλίων από δακτύλιο πηλίκο στο C είναι ένας ισομορφισμός δακτυλίων. Η παραπάνω κατασκευή γενικεύεται για οποιοδήποτε ανάγωγο πολυώνυμο στον δακτύλιο πολυωνύμων E[X], δηλαδή ένα πολυώνυμο p(X) το οποίο δεν μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο μη σταθερών πολυωνύμων. Ο δακτύλιος πηλίκο F = E[X] / (p(X)) είναι πάλι σώμα. Εναλλακτικά η κατασκευή τέτοιας επέκτασης σώματος μπορεί επίσης να γίνει , αν δίνεται το σώμα που περιέχει το μικρότερο . Ας υποθέσουμε ότι δίνται ένα σώμα Ε και το σώμαG περιέχει το Ε .ως υπόσωμα , για παράδειγμα το G μπορεί να είναι αλγεβρική θήκη του E. Έστω x ανήκει στο G και όχι στο E. Τότε υπάρχει ένα μικρότερο υπόσωμα του G που περιεχει E και x, συμβολίζεται F = E(x) και καλείται σώμα επέκτασης F / E που παράγεται από το χ στο G. Τέτοιες επεκτάσεις καλούνται επίσης απλές επεκτάσεις . Πολλές επεκτάσεις είναι αυτού του τύπου, βλέπε το θεώρημα αρχικών στοιχείων. Για παράδειγμα Q(i) είναι το υπόσωμα του C που αποτελείται από όλους τους αριθμούς της μορφής a + bi όπου a και b είναι ρητοί αριθμοί.Μια διάκριση μεταξύ των επεκτάσεων που έχουν διάφορες ιδιοτητες π.χ μια επέκταση Κ ενός σώματος Κ καλείται αλγεβρική αν κάθε στοιχείο του Κ είναι ρίζα πολυωνύμου με συντελεστές από το Κ. Σε αντίθετη περίπτωση το σώμα ονομάζεται υπερβατικό.Ο στόχος της θεωρίας Galois είναι η μελέτη των αλγεβρικών επεκτάσεων σωμάτων.