Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος

Στα μαθηματικά, ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος ενός αριθμού $x$, συμβολίζεται με $1/x$ ή $x^{-1}$, και είναι ένας αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί επί $x$ δίνει αποτέλεσμα το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, δηλαδή τη μονάδα, $1$:

$x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$.

Ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος είναι μία ειδική περίπτωση του αντιστρόφου στοιχείου ενός συνόλου $S$ ως προς μία δυαδική πράξη $\cdot :S\times S\to S$. Σε έναν δακτύλιο $(R,+,\cdot )$ (όπου υπάρχουν δύο πράξεις), ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος ενός στοιχείου $x\in R$ αναφέρεται στον αντίστροφο ως προς την πράξη $\cdot$, ενώ ο αντίθετος αναφέρεται στον αντίστροφο ως προς την πράξη $+$.

Παραδείγματα

• Στους πραγματικούς αριθμούς, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για $x=4$ ο αντίστροφός του είναι $x^{-1}=0.25$ καθώς $4\cdot 0.25=1$.
• Επίσης, στους μιγαδικούς αριθμούς, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για $x=1+3i$ ο αντίστροφος είναι $x^{-1}=0.1-0.3i$ καθώς $(1+3i)\cdot (0.1-0.3i)=0.1+0.3i-0.3i+0.9=1$.
• Στην αριθμητική υπολοίπων, στο $\mathbb {Z} _{n}$ με τον πολλαπλασιασμό με υπόλοιπο $n$, ένας αριθμός $x\in \mathbb {Z} _{n}$ έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ανν $\gcd(n,x)=1$. Για παράδειγμα, για $n=10$, ο $x=3$ έχει αντίστροφο τον $x^{-1}=7$ καθώς $3\cdot 7=21\equiv 1{\pmod {10}}$, ενώ ο $x=5$ δεν έχει αντίστροφο.

Δείτε επίσης

• Αντίθετος