Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
z
=
f
(
x
,
y
,
,
y
n
)
{\displaystyle \mathbf {z} =f(x,y,,y_{n})}
Αλγεβρικές συναρτήσεις
Πολυωνυμική συνάρτηση
y
=
a
x
n
+
b
x
n
−
1
+
.
.
.
+
c
x
+
d
{\displaystyle \mathbf {y} =ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}
Ρητή συνάρτηση
y
=
a
1
x
n
+
b
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
c
1
x
+
d
1
a
2
x
m
+
b
2
x
m
−
1
+
.
.
.
+
c
2
x
+
d
2
{\displaystyle \mathbf {y} ={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}
Άρρητη συνάρτηση
y
=
a
x
n
+
b
x
n
−
1
+
.
.
.
+
c
x
+
d
n
{\displaystyle \mathbf {y} ={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}
Υπερβατικές συναρτήσεις
Εκθετική συνάρτηση
y
=
a
x
{\displaystyle \mathbf {y} =a^{x}}
Λογαριθμική συνάρτηση
y
=
log
a
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {y} =\log _{a}(x)}
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
y
=
η
μ
x
{\displaystyle \mathbf {y} =\eta \mu x}
y
=
σ
υ
ν
x
{\displaystyle \mathbf {y} =\sigma \upsilon \nu x}
y
=
ϵ
ϕ
x
{\displaystyle \mathbf {y} =\epsilon \phi x}
Η ρητή συνάρτηση είναι μία κλασματική συνάρτηση με πολυωνυμικούς όρους. Ανήκει στις αλγεβρικές συναρτήσεις. Περιγράφεται από τον γενικό τύπο:
f
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
f
(
x
)
=
a
1
x
n
+
b
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
c
1
x
+
d
1
a
2
x
m
+
b
2
x
m
−
1
+
.
.
.
+
c
2
x
+
d
2
{\displaystyle f(x)={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}
Η ρητή συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, εκτός από τους αριθμούς που μηδενίζουν το πολυώνυμο του παρονομαστή.
Γραφική παράσταση της ρητής συνάρτησης :
y
=
x
2
−
3
x
−
2
x
2
−
4
{\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}
Εφόσον οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι παραγωγίσιμες ως πολυωνυμικές προκύπτει ότι και η συνάρτηση f(x)/g(x) είναι παραγωγίσιμη και η παράγωγός της ισούται με:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}}
Η ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης δίνει ως αποτέλεσμα συνήθως κάποια υπερβατική συνάρτηση. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι ολοκλήρωσης ρητής συνάρτησης ανάλογα με την περίπτωση. Στις περισσότερες περιπτώσεις η συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα απλούστερων κλασμάτων της μορφής:
A
x
+
b
{\displaystyle {\frac {A}{x+b}}}
A
x
2
+
b
2
{\displaystyle {\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}}
Τα οποία έχουν γνωστά ολοκληρώματα:
∫
A
x
+
b
d
x
=
A
ln
|
x
+
b
|
{\displaystyle \int {\frac {A}{x+b}}dx=A\ln \left|x+b\right|}
∫
A
x
2
+
b
2
d
x
=
A
b
arctan
x
b
{\displaystyle \int {\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}dx={\frac {A}{b}}\arctan {\frac {x}{b}}\,\!}
Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, Σύγχρονη εκδοτική, τόμος Β΄ Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄λυκείου - ΟΕΔΒ
![{\mathbf {y}}={\sqrt[ {n}]{ax^{n}+bx^{{n-1}}+...+cx+d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4347c0a4eddba8e5de333adabb69d0378c38feee)
