Ρητή συνάρτηση

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$${\mathbf {y}}=f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x,y,,y_{n})$${\mathbf {z}}=f(x,y,,y_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $\mathbf {y} =ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$${\mathbf {y}}=ax^{n}+bx^{{n-1}}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $\mathbf {y} ={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$${\mathbf {y}}={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{{n-1}}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{{m-1}}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $\mathbf {y} ={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$${\mathbf {y}}={\sqrt[ {n}]{ax^{n}+bx^{{n-1}}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $\mathbf {y} =a^{x}$${\mathbf {y}}=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $\mathbf {y} =\log _{a}(x)$${\mathbf {y}}=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις $\mathbf {y} =\eta \mu x$${\mathbf {y}}=\eta \mu x$ $\mathbf {y} =\sigma \upsilon \nu x$${\mathbf {y}}=\sigma \upsilon \nu x$ $\mathbf {y} =\epsilon \phi x$${\mathbf {y}}=\epsilon \phi x$

Η ρητή συνάρτηση είναι μία κλασματική συνάρτηση με πολυωνυμικούς όρους. Ανήκει στις αλγεβρικές συναρτήσεις. Περιγράφεται από τον γενικό τύπο:

$f(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$$f(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ ή

$f(x)={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$$f(x)={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$

Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό, εκτός από τους αριθμούς που μηδενίζουν το πολυώνυμο του παρονομαστή.

Γραφική παράσταση της ρητής συνάρτησης :
$y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$$y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Παραγώγιση ρητής συνάρτησης

Εφόσον οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι παραγωγίσιμες ως πολυωνυμικές προκύπτει ότι και η συνάρτηση f(x)/g(x) είναι παραγωγίσιμη και η παράγωγός της ισούται με:

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$

Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης

Η ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης δίνει ως αποτέλεσμα συνήθως κάποια υπερβατική συνάρτηση. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι ολοκλήρωσης ρητής συνάρτησης ανάλογα με την περίπτωση. Στις περισσότερες περιπτώσεις η συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα απλούστερων κλασμάτων της μορφής:

${\frac {A}{x+b}}$${\frac {A}{x+b}}$ ή ${\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}$${\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}$

Τα οποία έχουν γνωστά ολοκληρώματα:

$\int {\frac {A}{x+b}}dx=A\ln \left|x+b\right|$$\int {\frac {A}{x+b}}dx=A\ln \left|x+b\right|$

$\int {\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}dx={\frac {A}{b}}\arctan {\frac {x}{b}}\,\!$$\int {\frac {A}{x^{2}+b^{2}}}dx={\frac {A}{b}}\arctan {\frac {x}{b}}\,\!$

Πηγές

• Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, Σύγχρονη εκδοτική, τόμος Β΄
• Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄λυκείου - ΟΕΔΒ