Δυναμοσειρές

Στα μαθηματικά, η δυναμοσειρά είναι μια άπειρη σειρά της μορφής:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots ,$$

όπου το α_n αντιπροσωπεύει τον συντελεστή του n-οστού όρου και το c είναι μια σταθερά. Οι δυναμοσειρές είναι χρήσιμες στη μαθηματική ανάλυση, όπου προκύπτουν ως σειρές Τέιλορ σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις.

Σε πολλές περιπτώσεις, το c (δηλαδή το κέντρο της σειράς) είναι ίσο με μηδέν, για παράδειγμα όταν εξετάζουμε μια σειρά Μακλόριν. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η δυναμοσειρά παίρνει την απλούστερη μορφή:

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots$$

Η γνωστή δεκαδική αναπαράσταση για τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως παράδειγμα δυναμοσειράς με ακέραιους συντελεστές. Στη θεωρία αριθμών, η έννοια των p-αδικών αριθμών σχετίζεται επίσης στενά με αυτή της δυναμοσειράς.

Παραδείγματα

Η εκθετική συνάρτηση (με μπλε χρώμα) και η προσέγγισή της με το άθροισμα των πρώτων n + 1 όρων της σειράς Μακλόριν (με κόκκινο χρώμα). Έτσι:
Για n=0, παίρνουμε $f(x)=1$,
Για n=1, $f(x)=1+x$,
Για n=2, $f(x)=1+x+x^{2}/2$,
Για n=3, $f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6$ κ.ο.κ.

Οποιοδήποτε πολυώνυμο μπορεί εύκολα να εκφραστεί ως μια δυναμοσειρά γύρω από ένα κέντρο c, παρόλο που όλοι, εκτός από πεπερασμένο πλήθος, από τους συντελεστές θα είναι μηδέν αφού μια δυναμοσειρά έχει άπειρους όρους εξ ορισμού. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ μπορεί να γραφτεί ως μια δυναμοσειρά γύρω από το κέντρο ${\textstyle c=0}$ ως εξής:

$$f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$$

ή γύρω από το κέντρο ${\textstyle c=1}$ ως εξής:

$$f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots$$

Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η επέκταση της σειράς Τέιλορ της f(x) με κέντρο το ${\textstyle x=1}$, είναι:

$$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$$

αφού ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ και η παράγωγος είναι ${\textstyle f'(x)=2x+2}$. Έτσι, ${\textstyle f'(1)=4}$ και ${\textstyle f''(x)=2}$, που είναι μια σταθερά.

Η επέκταση μπορεί να γίνει γύρω από οποιοδήποτε κέντρο c. Μπορούμε να δούμε τις δυναμοσειρές σαν "πολυώνυμα άπειρου βαθμού", αν και δεν είναι κανονικά πολυώνυμα.

Γεωμετρικές σειρές, εκθετική συνάρτηση και ημίτονο

Ο τύπος της γεωμετρικής σειράς

$${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$$

που ισχύει για ${\textstyle |x|<1}$, είναι ένα από τα πιο σημαντικά παραδείγματα δυναμοσειρών, όπως και ο τύπος της εκθετικής συνάρτησης

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$$

και ο τύπος του ημιτόνου

$$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$$

που ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Αυτές οι δυναμοσειρές είναι επίσης παραδείγματα σειρών Τέιλορ.

Στο σύνολο των δυνάμεων

Οι αρνητικές δυνάμεις δεν επιτρέπονται σε μια δυναμοσειρά. Για παράδειγμα, η σειρά${\textstyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ δεν θεωρείται δυναμοσειρά (αν και είναι σειρά Laurent). Ομοίως, οι κλασματικές δυνάμεις, όπως το ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$, δεν επιτρέπονται. Επίσης, οι συντελεστές ${\textstyle a_{n}}$ δεν πρέπει να εξαρτώνται από το ${\textstyle x}$. Έτσι, για παράδειγμα, η σειρά

$$\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots$$

δεν είναι δυναμοσειρά.

Ακτίνα σύγκλισης

Μια δυναμοσειρά της μορφής ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$ είναι συγκλίνουσα για ορισμένες τιμές της μεταβλητής x, όμως συγκλίνει πάντα για την τιμή x = c. Η σειρά μπορεί να αποκλίνει για άλλες τιμές του x. Εάν το c δεν είναι το μόνο σημείο σύγκλισης, τότε υπάρχει πάντα ένας αριθμός r, με 0 < r ≤ ∞, τέτοιος ώστε η σειρά να συγκλίνει όταν |x − c| < r και να αποκλίνει όταν |x − c| > r. Ο αριθμός r ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς και ο τύπος της είναι:

$$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$$

ή, ισοδύναμα:

$$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$$

Η σχέση

$$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$$

ικανοποιείται επίσης, εάν υπάρχει αυτό το όριο (κριτήριο λόγου).

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, τέτοιο ώστε |x − c| < r, ονομάζεται δίσκος σύγκλισης της δυναμοσειράς. Η σειρά συγκλίνει απολύτως μέσα στο δίσκο σύγκλισης και συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του δίσκου σύγκλισης.

Για |x − c| = r, δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν συγκλίνει ή όχι η σειρά.

Πράξεις σε δυναμοσειρές

Πρόσθεση και αφαίρεση

Όταν δύο συναρτήσεις f και g γράφονται ως δυναμοσειρές γύρω από το ίδιο κέντρο c, η δυναμοσειρά του αθροίσματος ή της διαφοράς των συναρτήσεων είναι η πρόσθεση ή η αφαίρεσή τους κατά όρους. Αν δηλαδή

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}$$

και

$$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n},$$

τότε

$$f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.$$

Αν δύο δυναμοσειρές ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ και ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ έχουν την ίδια ακτίνα σύγκλισης, τότε δεν ισχύει ότι και η δυναμοσειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης. Για παράδειγμα, αν ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ και ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$, τότε και οι δύο σειρές έχουν ακτίνα σύγκλισης 1, αλλά η σειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$ έχει ακτίνα σύγκλισης 3.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Με τους ίδιους ορισμούς για την $f(x)$ και την $g(x)$, οι δυναμοσειρές του γινομένου και του πηλίκου των συναρτήσεων είναι οι εξής:

$${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}$$

Η ακολουθία ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ είναι γνωστή ως συνέλιξη των ακολουθιών $a_{n}$ και $b_{n}$.

Για το πηλίκο, αν ορίσουμε την ακολουθία $d_{n}$ ως:

$${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n},$$

τότε

$$f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$$

και μπορούμε να λύσουμε αναδρομικά για τους όρους $d_{n}$ συγκρίνοντας συντελεστές.

Η επίλυση των αντίστοιχων εξισώσεων δίνει τύπους που βασίζονται σε ορίζουσες ορισμένων πινάκων που περιέχουν τους συντελεστές της $f(x)$ και της $g(x)$:

$$d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$$

$$d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$$

Παραγώγιση και ολοκλήρωση

Αν μια συνάρτηση $f(x)$ γράφεται ως δυναμοσειρά, είναι παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της που συγκλίνει. Μπορεί να παραγοντοποιηθεί και να ολοκληρωθεί αρκετά εύκολα, υπολογίζοντας κάθε όρο ξεχωριστά:

$${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$$

Και οι δύο αυτές σειρές έχουν την ίδια ακτίνα σύγκλισης με την αρχική.

Αναλυτικές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση f που ορίζεται σε κάποιο ανοιχτό υποσύνολο U του R ή του C ονομάζεται αναλυτική, εάν δίνεται τοπικά από μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά. Αυτό σημαίνει ότι κάθε α ∈ U έχει μια γειτονιά (ή ανοιχτή περιοχή) V ⊆ U, τέτοια ώστε να υπάρχει μια δυναμοσειρά με κέντρο α που συγκλίνει στην f(x) για κάθε x ∈ V.

Κάθε δυναμοσειρά με θετική ακτίνα σύγκλισης είναι αναλυτική στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης. Όλες οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι μιγαδικές-αναλυτικές. Τα αθροίσματα και τα γινόμενα των αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτικά, όπως και τα πηλίκα, εφόσον ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.

Αν μια συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε είναι απείρως παραγωγίσιμη, αλλά στους πραγματικούς αριθμούς το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Σε μια αναλυτική συνάρτηση, οι συντελεστές a_n μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:

$$a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}},$$

όπου $f^{(n)}(c)$ δηλώνει την n-οστή παράγωγο της f στο c, και $f^{(0)}(c)=f(c)$. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αναλυτική συνάρτηση δίνεται τοπικά από τη δική της σειρά Τέιλορ.

Η μορφή μιας αναλυτικής συνάρτησης καθορίζεται πλήρως από τη δική της συμπεριφορά με την ακόλουθη έννοια: αν f και g είναι δύο αναλυτικές συναρτήσεις που ορίζονται στο ίδιο ανοιχτό σύνολο U, και αν υπάρχει ένα στοιχείο c ∈ U, τέτοιο ώστε f⁽ⁿ⁾(c) = g⁽ⁿ⁾(c) για κάθε n ≥ 0, τότε ισχύει ότι f(x) = g(x) για κάθε x ∈ U.

Εάν δοθεί μια δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης r, μπορούμε να εξετάσουμε αναλυτικές συναρτήσεις της f που ορίζονται και σε μεγαλύτερα σύνολα από το { x | |x − c| < r}.

Η επέκταση της δυναμοσειράς της αντίστροφης συνάρτησης μιας αναλυτικής συνάρτησης μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα αντιστροφής του Λαγκράνζ.

Συμπεριφορά κοντά στα όρια

Το άθροισμα μιας δυναμοσειράς με θετική ακτίνα σύγκλισης είναι μια αναλυτική συνάρτηση σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του δίσκου σύγκλισής της. Ωστόσο, μπορεί να παρουσιαστεί διαφορετική συμπεριφορά σε σημεία κοντά στα όρια αυτού του δίσκου. Για παράδειγμα:

1. Αποκλίνουσα, ενώ το άθροισμα εκτείνεται σε μια αναλυτική συνάρτηση: Η σειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ έχει ακτίνα σύγκλισης ίση με $1$ και αποκλίνει σε κάθε σημείο για $|z|=1$. Παρόλα αυτά, το άθροισμα για $|z|<1$ είναι ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$, το οποίο είναι αναλυτικό σε κάθε σημείο του επιπέδου εκτός από την τιμή $z=1$.
2. Συγκλίνουσα σε ορισμένα σημεία και αποκλίνουσα σε άλλα: Η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ έχει ακτίνα σύγκλισης $1$. Όμως, συγκλίνει για $z=-1$, ενώ αποκλίνει για $z=1$.
3. Απόλυτη σύγκλιση σε κάθε σημείο του ορίου: Η σειρά ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ έχει ακτίνα σύγκλισης $1$, ενώ συγκλίνει απόλυτα, και ομοιόμορφα, σε κάθε σημείο για $|z|=1$.
4. Συγκλίνουσα στο δίσκο σύγκλισης, αλλά δεν έχει συνεχές άθροισμα: Ο Σιερπίνσκι έδωσε ένα παράδειγμα μιας δυναμοσειράς με ακτίνα σύγκλισης $1$, η οποία είναι συγκλίνουσα σε όλα τα σημεία για $|z|=1$, αλλά το άθροισμά της είναι μια ασυνεχής συνάρτηση.

Δυναμοσειρές με πολλές μεταβλητές

Η επέκταση της θεωρίας είναι απαραίτητη για τους σκοπούς του πολυμεταβλητού λογισμού. Μια δυναμοσειρά ορίζεται εδώ ως μια άπειρη σειρά της μορφής

$$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$$

όπου j = (j₁, …, j_n) είναι ένα διάνυσμα φυσικών αριθμών, οι συντελεστές a_{(j1, …, jn)} είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί και το κέντρο c = (c₁, …, c_n) είναι ένα πραγματικό ή μιγαδικό διάνυσμα. Το σύμβολο $\Pi$ είναι το σύμβολο του γινομένου, που δηλώνει τον πολλαπλασιασμό. Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφτεί και ως

$$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha },$$

όπου $\mathbb {N}$ είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών και $\mathbb {N} ^{n}$ είναι το σύνολο των διατεταγμένων n-πλειάδων (ή n-άδων) των φυσικών αριθμών.

Η θεωρία τέτοιων σειρών είναι πιο δύσκολη απ' ότι για σειρές μιας μεταβλητής, καθώς έχουν πιο περίπλοκες περιοχές σύγκλισης. Για παράδειγμα, η δυναμοσειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ είναι απολύτως συγκλίνουσα στο σύνολο $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ ανάμεσα σε δύο υπερβολές. Από την άλλη πλευρά, στο εσωτερικό αυτής της περιοχής σύγκλισης μπορούμε να παραγωγίσουμε και να ολοκληρώσουμε ως προς το πρόσημο της σειράς, ακριβώς όπως μπορούμε και με τις συνηθισμένες δυναμοσειρές.

 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Δυναμοσειρές" από το MathWorld.
• Powers of Complex Numbers από τον Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.