Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.[1]:36[2]:178-179[3]:14-15[4]:7[5]:7 Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε
πίνακας
, ο οποίος ικανοποιεί
για κάθε
και
.
Για
, κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων
έχει αντίστοιχα την μορφή:

για κάποια στοιχεία
. Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία
στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:[6]:62[7]

- Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις
για
αντίστοιχα:

- Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας
είναι διαγώνιος.
- Ο μοναδιαίος πίνακας
είναι διαγώνιος.
- Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων
και
είναι διαγώνιος και ίσoς με
.
- Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων
και
είναι διαγώνιος και ίσος με
.
- Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό
.
- Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα
με ένα στοιχείο
είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με
.
- Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα
είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
.
- Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα
είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή[1]:49
.
- Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.
- Αν
με
, τότε[1]:39
,
- που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς
.
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
- ↑ Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.
- ↑ Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη.
- ↑ Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος.
- ↑ Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου.
- ↑ Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
- ↑ Ακριβής, Γεώργιος Δ. (2003). «Γραμμική άλγεβρα (πανεπιστημιακές παραδόσεις)» (PDF). Τμήμα Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2022.