Διαγώνιος πίνακας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο.[1]:36[2]:178-179[3]:14-15[4]:7[5]:7 Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε πίνακας , ο οποίος ικανοποιεί για κάθε και .

Για , κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων έχει αντίστοιχα την μορφή:

για κάποια στοιχεία . Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:[6]:62[7]

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις για αντίστοιχα:
  • Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας είναι διαγώνιος.
  • Ο μοναδιαίος πίνακας είναι διαγώνιος.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων και είναι διαγώνιος και ίσoς με
.
  • Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων και είναι διαγώνιος και ίσος με
.
Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό
.
  • Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα με ένα στοιχείο είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με
.
  • Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
.
  • Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή[1]:49
.
Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.
  • Αν με , τότε[1]:39
,
που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς
.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  2. Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
  3. Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
  4. Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος. 
  5. Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου. 
  6. Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7. 
  7. Ακριβής, Γεώργιος Δ. (2003). «Γραμμική άλγεβρα (πανεπιστημιακές παραδόσεις)» (PDF). Τμήμα Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2022.