Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε $n\times n$ πίνακας $D$, ο οποίος ικανοποιεί $D_{ij}=0$ για κάθε $i\neq j$ και $1\leq i,j\leq n$.

Για $n=2,3,4$, κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων $n\times n$ έχει αντίστοιχα την μορφή:

$\underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&0\\0&d_{2}&0&0\\0&0&d_{3}&0\\0&0&0&d_{4}\end{bmatrix}} _{4\times 4}$

για κάποια στοιχεία $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$. Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:

$\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}}.$

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις $n\times n$ για $n=2,3,4$ αντίστοιχα:

${\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}7&0&0\\0&-3&0\\0&0&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}21&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-8.3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

• Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας $\mathbf {0} _{n,n}=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0)$ είναι διαγώνιος.
• Ο μοναδιαίος πίνακας $I_{n}=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)$ είναι διαγώνιος.

Ιδιότητες

• Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων $A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ και $B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσoς με

$A+B=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})$.

• Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων $A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ και $B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ είναι διαγώνιος και ίσος με

$AB=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},\ldots ,a_{n}\cdot b_{n})$.

Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό $m\in \mathbb {N}$

$A^{m}=\operatorname {diag} (a_{1}^{m},\ldots ,a_{n}^{m})$.

• Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα $D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$ με ένα στοιχείο $c$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με

$cD=\operatorname {diag} (c\cdot d_{1},\ldots ,c\cdot d_{n})$.

• Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα $D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$ είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή

$\operatorname {tr} (D)=d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{n}$.

• Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα $D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$ είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή

$\operatorname {det} (D)=d_{1}\cdot d_{2}\cdot \ldots \cdot d_{n}$.

Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.

• Αν $D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})$ με $d_{1}\neq 0,\ldots ,d_{n}\neq 0$, τότε

$D^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})$,

που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς

$D^{-1}D=DD^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}d_{n}^{-1})=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)=I$.