Διαφορική εξίσωση

Απεικόνιση της μεταφοράς θερμότητας σε ένα περίβλημα αντλίας, που δημιουργήθηκε με την επίλυση της εξίσωσης θερμότητας. Η θερμότητα παράγεται εσωτερικά στο περίβλημα και ψύχεται στα όρια, παρέχοντας μια κατανομή θερμοκρασίας σταθερής κατάστασης.

Διαφορική εξίσωση είναι η μαθηματική εξίσωση η οποία συσχετίζει τις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης μιας ή περισσότερων μεταβλητών και των παραγώγων της πρώτου, δεύτερου ή ανώτερου βαθμού. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν προεξάρχοντα ρόλο στη φυσική. Επίσης έχουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στην τεχνολογία, τα οικονομικά, τη βιολογία και άλλα επιστημονικά πεδία.

Εισαγωγή

Διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές της επιστήμης και τεχνολογίας. Ανακύπτουν κάθε φορά που η σχέση μεταξύ συνεχώς μεταβαλλόμενων ποσοτήτων (που περιγράφονται από συναρτήσεις) και του ρυθμού μεταβολής με το χρόνο και το χώρο (παράγωγοι των συναρτήσεων) είναι γνωστή. Ή όταν μια τέτοια σχέση μπορεί να υποτεθεί προκειμένου να μοντελοποιήσουμε και να περιγράψουμε φυσικά φαινόμενα, τεχνικές ή φυσικές διεργασίες, δυναμικά συστήματα στη βιολογία, στην οικονομία και αλλού. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα προέρχεται από την κλασική μηχανική όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο. Οι Νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν τη συσχέτιση της θέσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και των δυνάμεων που επιδρούν στο σώμα. Προκύπτει μια διαφορική εξίσωση όπου άγνωστος είναι η συνάρτηση της θέσης του σώματος με το χρόνο. Σε πολλές περιπτώσεις, η διαφορική αυτή εξίσωση μπορεί να επιλυθεί, δίνοντας το νόμο της κίνησης.

Ένα απλό παράδειγμα, από την καθημερινή ζωή, της ανάγκης σχηματισμού και επίλυσης μιας τέτοιας εξίσωσης είναι ο υπολογισμός της ταχύτητας στην πάροδο του χρόνου ενός αντικειμένου που πέφτει στον αέρα, όπου η δύναμη που το έλκει προς τη γη (οφειλόμενη στη βαρύτητα) παραμένει σταθερή, αλλά η δύναμη της αντίστασης του αέρα, που το επιβραδύνει, εξαρτάται από την ταχύτητά του, δηλαδή από την ίδια τη μεταβολή.

Οι διαφορικές εξισώσεις μελετώνται στα μαθηματικά με πολλούς διαφορετικούς τρόπους θεώρησης, που συνήθως ασχολούνται με τις λύσεις τους, δηλαδή τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση. Μόνο οι απλούστερες διαφορικές εξισώσεις δέχονται λύσεις που δίνονται από αναλυτικούς τύπους. Πολλές ιδιότητες των λύσεων μιας δεδομένης διαφορικής εξίσωσης μπορούν να προσδιορισθούν χωρίς να βρεθεί η ακριβής μορφή της λύσης. Ακόμα και όταν η αναλυτική έκφραση της λύσης δεν είναι εφικτή ενδέχεται η λύση να μπορεί να προσεγγιστεί αριθμητικά με υπολογιστή. Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων δίνει έμφαση στην ποιοτική ανάλυση συστημάτων που περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις, ενώ πολλές αριθμητικές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για τον υπολογισμό λύσεων με κάποιο δεδομένο βαθμό ακρίβειας.

Ιστορία

Οι διαφορικές εξισώσεις ήρθαν στην επιφάνεια για πρώτη φορά με την εφεύρεση του λογισμού από τον Νεύτωνα και Λάιμπνιτς. Στο κεφάλαιο 2 του έργου του το 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum, ο Ισαάκ Νεύτων παρέθεσε τρία είδη διαφορικών εξισώσεων:

${\frac {dy}{dx}}=f(x)$

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$

$x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y$

Λύνει αυτά και άλλα παραδείγματα χρησιμοποιώντας άπειρες σειρές και συζητά τη μη μοναδικότητα των λύσεων.

Ο Τζέικομπ Μπερνούλι πρότεινε τη διαφορική εξίσωση Μπερνούλι το 1695. Αυτή είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση της μορφής

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

για την οποία στο επόμενο έτος ο Leibniz λαμβάνει λύσεις με την απλούστευση της.

Ιστορικά, το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, όπως αυτή ενός μουσικού οργάνου, μελετήθηκε από τον Ζαν λε Ροντ ντ'Αλαμπέρ, Λέοναρντ Όιλερ Ντάνιελ Μπερνούλι και τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. 1746,ο ντ'Αλαμπέρτ ανακάλυψε την εξίσωση μονοδιάστατου κύματος, και μέσα σε δέκα χρόνια ο Euler ανακάλυψε την εξίσωση του τρισδιάστατου κύματος.

Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ αναπτύχθηκε το 1750 από τον Euler και τον Lagrange κατά τη μελέτη του ταυτόχρονου προβλήματος. Αυτό, είναι το πρόβλημα του προσδιορισμού μιας καμπύλης στην οποία θα πέσει ένα σταθμισμένο σωματίδιο σε ένα σταθερό σημείο σε σταθερό χρονικό διάστημα, ανεξάρτητα από το σημείο εκκίνησης.

Ο Λαγκράνζ έλυσε αυτό το πρόβλημα το 1755 και έστειλε την λύση στον Όιλερ. Οι δύο αυτοί ανέπτυξαν περαιτέρω την μέθοδο και την εφάρμοσαν στην μηχανική, η οποία οδήγησε στη διατύπωση της Λαγκρανζιανή μηχανικής.

Ο Fourier δημοσίευσε την εργασία του σχετικά με τη ροή της θερμότητας στο Théorie analytique de la chaleur (Η αναλυτική θεωρία της θερμότητας),, στην οποία στήριξε το σκεπτικό του στο νόμο ψύξης του Νεύτωνα, δηλαδή, ότι η ροή της θερμότητας μεταξύ δύο γειτονικών μορίων είναι ανάλογη με την εξαιρετικά μικρή διαφορά των θερμοκρασιών τους. Σε αυτό το βιβλίο περιλαμβάνεται η πρόταση του Fourier για την εξίσωση της θερμότητας για αγώγιμη διάχυση. Αυτή η μερική διαφορική εξίσωση διδάσκεται πλέον σε κάθε μαθητή της μαθηματικής φυσικής.

Παράδειγμα

Για παράδειγμα, στην κλασική μηχανική, η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από τη θέση και την ταχύτητα του, καθώς η αξία του χρόνου ποικίλλει. Οι νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν (δεδομένης της θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης και τις διάφορες δυνάμεις που δρουν στο σώμα) να εκφράσουμε δυναμικά αυτές τις μεταβλητές ως μια διαφορική εξίσωση για άγνωστη θέση του σώματος ως συνάρτηση του χρόνου.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτή η διαφορική εξίσωση (αποκαλούμενη εξίσωση της κίνησης) μπορεί να λυθεί ρητά.

Ένα παράδειγμα μοντελοποίησης ενός προβλήματος πραγματικού κόσμου, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας μιας σφαίρας που πέφτει μέσω του αέρα, λαμβάνοντας υπόψην μόνο τη βαρύτητα και την αντίσταση του αέρα. Η επιτάχυνση της μπάλας προς το έδαφος είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας μείον την επιτάχυνση, λόγω της αντίστασης του αέρα.

Η βαρύτητα θεωρείται σταθερή, και η αντίσταση του αέρα μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ανάλογη με την ταχύτητα της μπάλας. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση της μπάλας, η οποία είναι ένα παράγωγο της ταχύτητας, εξαρτάται από την ταχύτητα (και η ταχύτητα εξαρτάται από το χρόνο). Η εύρεση της ταχύτητας ως συνάρτηση του χρόνου περιλαμβάνει την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης και την επαλήθευση της εγκυρότητας της.

Κατευθύνσεις μελέτης

Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων αποτελεί ευρύ πεδίο τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Μπορούμε να συναντήσουμε πολλά είδη διαφορικών εξισώσεων, με πιο σημαντική ίσως τη διάκριση σε γραμμικές και μη-γραμμικές. Οι ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων, η δυσκολία ή ευκολία με την οποία επιλύονται (αν επιλύονται) διαφέρουν πολύ ανάλογα με το είδος της διαφορικής εξίσωσης. Τα καθαρά μαθηματικά μελετούν μεταξύ άλλων αν μια εξίσωση έχει λύση, και όταν έχει αν αυτή είναι μοναδική. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά δίνουν έμφαση στις διεξοδικές μεθόδους προσέγγισης των λύσεων και στη εξέταση του κατά πόσο οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι φυσικοί και οι μηχανικοί συνήθως ενδιαφέρονται περισσότερο για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων για διαφορικές εξισώσεις και λιγότερο για εξηγήσεις του αν οι προσεγγίσεις αυτές είναι κοντά στις κανονικές λύσεις. Οι λύσεις αυτές χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για να προσομοιώσουν την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, την προσομοίωση νευρώνων, το σχεδιασμό γεφυρών, αυτοκινήτων, αεροπλάνων, υδραυλικών συστημάτων, κλπ. Συνήθως οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν στους τομείς των εφαρμογών δεν έχουν λύσεις κλειστής μορφής και λύνονται με αριθμητικές μεθόδους που δουλεύουν αρκετά καλά για το δεδομένο πρόβλημα, όπως για παράδειγμα η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων που έχει εφαρμοστεί με επιτυχία για την επίλυση των μερικών διαφορικών που προκύπτουν στη μηχανική και αλλού.

Τα μαθηματικά μελετούν ακόμα τις ασθενείς λύσεις, μια κλάση λύσεων που δεν απαιτείται να είναι παραγωγίσιμες παντού. Αυτή η επέκταση είναι συχνά απαραίτητη για την ύπαρξη λύσεων, και δίνει αποτελέσματα όπου οι ιδιότητες των λύσεων είναι φυσικά ερμηνεύσιμες, όπως για παράδειγμα η πιθανή ύπαρξη κρουστικών αποκρίσεων σε εξισώσεις υπερβολικής μορφής.

Η μελέτη της ευστάθειας των λύσεων διαφορικών εξισώσεων λέγεται θεωρία ευστάθειας.

Τύποι

Οι Διαφορικές Εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες. Εκτός από την περιγραφή των ιδιοτήτων της ίδιας της εξίσωσης, οι τάξεις αυτές των διαφορικών εξισώσεων μπορούν να βοηθήσουν στην ενημέρωση της επιλογή της προσέγγισης σε μία λύση. Συνήθως περιλαμβάνονται χρησιμοποιημένες διακρίσεις αν η εξίσωση είναι: Τακτική / Μερική, Γραμμική / Μη-γραμμικά, και Ομογενείς / Ανομοιογενής. Στον συγκεκριμένο κατάλογο δεν περιλαμβάνονται μόνο αυτές. Υπάρχουν πολλές άλλες ιδιότητες και υποκατηγορίες των διαφορικών εξισώσεων που μπορούν να είναι πολύ χρήσιμες σε συγκεκριμένα περιπτώσεις.

Είδη διαφορικών εξισώσεων

• Συνήθης διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής.
• Μερική διαφορική εξίσωση λέγεται μια διαφορική εξίσωση στην οποία η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση πολλαπλών ανεξάρτητων μεταβλητών και των μερικών παραγώγων τους.
• Υστερημένη διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία η παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή δίδεται σε σχέση με τιμές της συνάρτησης σε προηγούμενες στιγμές.
• Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέγεται η διαφορική εξίσωση στην οποία ένας ή περισσότεροι όροι είναι στοχαστικές διαδικασίες, που σημαίνει ότι η λύση είναι και η ίδια στοχαστική διαδικασία.
• Διαφορική αλγεβρική εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Κάθε μια από αυτές τις κατηγορίες διαιρείται σε γραμμικές και μη γραμμικές υποκατηγορίες. Μια διαφορική εξίσωση λέγεται γραμμική όταν η εξαρτημένη μεταβλητή και όλες οι παράγωγοί της εμφανίζονται στη δύναμη 1 και δεν υπάρχουν γινόμενα ή συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής. Διαφορετικά η διαφορική εξίσωση λέγεται μη γραμμική. Έτσι, αν το $u'$ είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης $u$, τότε η εξίσωση

$u'=u$

είναι γραμμική ενώ η εξίσωση

$u'=u^{2}$

είναι μη γραμμική. Λύσεις μιας γραμμικής εξίσωσης στην οποία η άγνωστη συνάρτηση ή η παράγωγός (ή παράγωγοί) της εμφανίζονται σε κάθε όρο (γραμμικές ομογενείς εξισώσεις) μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με οποιαδήποτε σταθερά δίνοντας επιπλέον λύσεις της εξίσωσης, αλλά δεν υπάρχει γενικός τρόπος να βρεθούν οικογένειες λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, εκτός όταν εκδηλώνουν συμμετρίες (Βλ. συμμετρίες). Γραμμικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις, και οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο κάτω από περιορισμένες συνθήκες.

Άλλο ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ο βαθμός της, ο οποίος είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης παραγώγου (μιας εξαρτημένης μεταβλητής) που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτου βαθμού περιέχει μόνο πρώτες παραγώγους, όπως στα δύο παραπάνω παραδείγματα.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ODE) είναι μια εξίσωση που περιέχει μια συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής και τα παράγωγά της. Ο όρος «συνήθης» χρησιμοποιείται πιο πολύ σε αντίθεση με τον όρο μερικών διαφορικών εξισώσεων, ο οποίος μπορεί να συσχετίζεται με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες έχουν λύσεις που μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιάζονται με συντελεστές, είναι καλά ορισμένες και κατανοητές, και λαμβάνουν ακριβή-κλειστή μορφής λύσεις. Αντίθετα, οι διαφορικές εξισώσεις που στερούνται πρόσθετη λύση είναι μη γραμμικές, και η επίλυσή τους είναι πολύ πιο περίπλοκη, καθώς σπάνια αντιπροσωπεύονται από στοιχειώδεις συναρτήσεις σε κλειστή μορφή: Αντ 'αυτού, οι ακριβείς και αναλυτικές λύσεις τους είναι σε σειρά ή σε ολοκληρωτική μορφή. Γραφικές και αριθμητικές μέθοδοι, που εφαρμόζονται με το χέρι ή με υπολογιστή, μπορούν να προσεγγίσουν λύσεις των διαφορικών εξισώσεων και ίσως δώσουν χρήσιμες πληροφορίες, συχνά με την απουσία της ακρίβειας, επαρκούν για αναλυτικές λύσεις.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μια μερική διαφορική εξίσωση (PDE) είναι μια διαφορική εξίσωση που περιέχει άγνωστες συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους τους. (Αυτό είναι σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες ασχολούνται με τις λειτουργίες μιας μεταβλητής και τα παράγωγά τους.) Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις χρησιμοποιούνται για τη διαμόρφωση των προβλημάτων που αφορούν τις λειτουργίες πολλών μεταβλητών, και είτε λύνονται με το χέρι, ή χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα σχετικό μοντέλο υπολογιστή.

Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια μεγάλη ποικιλία φαινομένων όπως του ήχου, της θερμότητα, της ηλεκτροστατικής, της ηλεκτροδυναμικής, της ροή του υγρού, της ελαστικότητας, ή της κβαντικής μηχανικής. Αυτά τα φαινομενικά διακριτά φυσικά φαινόμενα μπορούν όμοια να υποβληθούν σε όρους μιας ΜΔΕ. Όπως ακριβώς οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις συχνά μοντελοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα, έτσι και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συχνά μοντέλοποιούν πολυδιάστατα συστήματα. Οι ΜΔΕ βρίσκουν γενίκευση σε στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Μία διαφορική εξίσωση είναι γραμμική αν η άγνωστη συνάρτηση και τα παράγωγά της έχουν βαθμό 1 (προϊόντα της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων του δεν επιτρέπονται), αλλιώς είναι μη γραμμικές. Η χαρακτηριστική ιδιότητα των γραμμικών εξισώσεων είναι ότι το σύνολο των λύσεων σχηματίζουν ένα συσχετισμένο υπόχωρο του κατάλληλου λειτουργικού χώρου, ο οποίος οδηγεί σε μία πολύ πιο ανεπτυγμένη θεωρία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Ομοιογενείς γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι μια υποκατηγορία των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων για την οποία ο χώρος των λύσεων είναι ένας γραμμικός υποχώρος, δηλαδή το άθροισμα κάθε συνόλου λύσεων ή ο πολλαπλασιασμός των λύσεων είναι επίσης μια λύση. Οι συντελεστές της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της σε μία γραμμική διαφορική εξίσωση επιτρέπονται να είναι (γνωστές) συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής ή μεταβλητές· Αν αυτοί οι συντελεστές είναι σταθερές τότε πρόκειται για ένα σταθερό συντελεστή γραμμικής διαφορικής εξίσωσης.

Μη-γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σχηματίζoνται από τα στοιχεία της άγνωστης συνάρτησης και τα παράγωγά τους, τα οποία έχουν βαθμό > 1. Υπάρχουν πολύ λίγες μέθοδοι επίλυσης μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Συγκεκριμένα αυτές που είναι γνωστές τυπικά εξαρτώνται από την εξίσωση η οποία έχει ιδιαίτερες συμμετρίες. Οι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μπορεί να εμφανίζουν πολύ περίπλοκη συμπεριφορά πάνω σε επεκτεταμένα χρονικά διαστήματα, χαρακτηριστικό του χάους. Ακόμη και τα θεμελιώδη ερωτήματα της ύπαρξης, της μοναδικότητας και της επεκτασιμότητας των λύσεων για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, και με καλά-ορισμένες αρχικές και συνοριακές τιμές για μη γραμμικές ΜΔΕ είναι δύσκολα προβλήματα και η επίλυσή τους σε ειδικές περιπτώσεις θεωρείται ότι είναι μια σημαντική πρόοδος στη μαθηματική θεωρία (βλ Navier-Stokes ύπαρξη και την ομαλότητα). Ωστόσο, εάν η διαφορική εξίσωση είναι καλά ορισμένη αναπαριστώντας μία ουσιαστική φυσική διεργασία, τότε περιμένει κανείς να έχει μια λύση.

Οι Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις συχνά εμφανίζονται ως προσεγγίσεις σε μη γραμμικές εξισώσεις. Οι προσεγγίσεις αυτές ισχύουν μόνο υπό περιορισμένες συνθήκες. Για παράδειγμα, η εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή είναι μια προσέγγιση με την μη γραμμική εκκρεμή εξίσωση που ισχύει για μικρές ταλαντώσεις πλάτους (βλέπε παρακάτω).

Για την εξίσωση

Οι Διαφορικές εξισώσεις περιγράφονται από τη σειρά τους και καθορίζονται από τον όρο με τον υψηλότερο αριθμό παραγώγων. Μια εξίσωση που περιέχει μόνο μοναδικά παράγωγα είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, μια εξίσωση που περιέχει διπλά παράγωγα είναι μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, και ούτω καθεξής.

Παραδείγματα

Στην πρώτη ομάδα παραδειγμάτων, ας είναι u μία άγνωστη συνάρτηση του x, και c και ω γνωστές σταθερές. Σημείωση: τόσο οι συνήθεις όσο και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις σε γενικές γραμμές κατατάσσονται ως γραμμικές και μη γραμμικές.

• Ανομοιογενής πρώτης τάξης γραμμική σταθερός συντελεστής συνήθης διαφορική εξίσωση:

${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• Ομογενής γραμμική δεύτερης τάξης συνήθης διαφορική εξίσωση:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• Ομογενής δεύτερης τάξης γραμμική σταθερός συντελεστής συνήθης διαφορική εξίσωση που περιγράφει το αρμονικό ταλαντωτή:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$

• Ανομοιογενής πρώτης τάξης μη γραμμική συνήθης διαφορική εξίσωση:

${\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.$

• Δεύτερης τάξης μη γραμμική (λόγω τριγωνομετρικής συνάρτησης) συνήθης διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ενός εκκρεμούς μήκους L:

$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

Στην επόμενη ομάδα παραδειγμάτων, η άγνωστη συνάρτηση u εξαρτάται από δύο μεταβλητές Χ και Τ ή Χ και Υ.

• Ομογενή πρώτης τάξης γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

• Ομογενής δεύτερης τάξης γραμμικής σταθερού συντελεστή μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπος της ελλειπτικής, η εξίσωση Laplace:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

• Τρίτης τάξης μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, η εξίσωση του Korteweg-de Vries:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Ύπαρξη λύσεων

Η επίλυση διαφορικών εξισώσεων δεν είναι σαν την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων. Δεν είναι μόνο οι λύσεις τους πολλές φορές ασαφείς, αλλά το αν οι λύσεις είναι μοναδικές ή ακόμα και αν υπάρχουν είναι επίσης αξιοσημείωτα θέματα ενδιαφέροντος.

Για πρώτης τάξης προβλήματα αρχικών τιμών, το θεώρημα ύπαρξης λύσης Πεάνο δίνει ένα σύνολο περιστάσεων στις οποίες υπάρχει μια λύση. Δεδομένου οποιοδήποτε σημείου $(a,b)$ στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ορίζουν κάποια ορθογώνια περιοχή $Z$, έτσι ώστε $Z=[l,m]\times [n,p]$ και $(a,b)$ να είναι στο εσωτερικό του $Z$. Εάν μας δίνεται μια διαφορική εξίσωση ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)$ με την προϋπόθεση ότι $y=b$ όταν $x=a$, τότε υπάρχει σε τοπικό επίπεδο μια λύση, αν $g(x,y)$ και ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ είναι αμφότερα συνεχείς στο $Z$. Αυτή η λύση υφίσταται σε κάποιο διάστημα με το κέντρο του στο a. Η λύση μπορεί να μην είναι μοναδική. Ωστόσο, αυτό μας βοηθά μόνο με τα πρώτης τάξης προβλήματα αρχικής τιμής. Ας υποθέσουμε ότι είχαμε ένα γραμμικό πρόβλημα αρχικών τιμών της νιοστής σειράς:

$f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)$

έτσι ώστε

$y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots$

Για κάθε μη μηδενικά $f_{n}(x)$, αν $\{f_{0},f_{1},\cdots \}$ και $g$ είναι συνεχή σε κάποιο διάστημα που περιέχει το $x_{0}$,η $y$ είναι υπάρχει και είναι μοναδικό.

Σχετικές έννοιες

• ·Υστερημένη διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, που συνήθως ονομάζεται χρόνος, στο οποίο η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα ορισμένο χρόνο δίδεται σε όρους των τιμών της συνάρτησης σε προηγούμενο χρόνο.

• ·Μία διαφορική στοχαστική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία η άγνωστη ποσότητα είναι μια στοχαστική διαδικασία και η εξίσωση περιλαμβάνει ορισμένες γνωστές στοχαστικές διαδικασίες, για παράδειγμα, η διαδικασία Wiener στην περίπτωση των εξισώσεων διάχυσης.

• Μια αλγεβρική διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που αποτελείται από διαφορικούς και αλγεβρικούς όρους, δοσμένους σε πεπλεγμένη μορφή.

Εφαρμογές

Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων είναι ένα ευρύ πεδίο στα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Όλες αυτές οι επιστήμες ασχολούνται με τις ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων διαφόρων τύπων. Στα καθαρά μαθηματικά επικεντρώνόμαστε στην ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων, ενώ στα εφαρμοσμένα μαθηματικά δίνουμε έμφαση στην αυστηρή αιτιολόγηση των μεθόδων για την προσέγγιση λύσεων. Οι διαφορικές εξισώσεις παίζουν σημαντικό ρόλο στη διαμόρφωση σχεδόν σε κάθε φυσική, τεχνική, ή βιολογική διεργασία, από την ουράνια κίνηση,μέχρι το σχεδιασμό μίας γέφυρας ή τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των νευρώνων. Διαφορικές εξισώσεις, όπως αυτές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των προβλημάτων της πραγματικής ζωής μπορεί να μην είναι άμεσα επιλύσιμες, όπως να μην έχουν ορισμένη λύση . Αντ 'αυτού, οι λύσεις μπορεί να προσεγγιστούν με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων.

Μεγάλος αριθμός θεμελιωδών νόμων της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικές εξισώσεις. Στη βιολογία και τα οικονομικά χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκε αρχικά μαζί με τις επιστήμες στις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις και στις οποίες χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα. Παρ' όλα αυτά, διάφορα προβλήματα, πολλές φορές από αρκετά διαφορετικούς τομείς, μπορεί να ανάγονται σε ταυτόσημες διαφορικές εξισώσεις. Όταν συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων εκλαμβάνεται ως η αρχή που ενοποιεί τα ποικίλα αυτά φαινόμενα. Για παράδειγμα, θεωρήστε την διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και τη διάδοση των κυμάτων στην επιφάνεια μιας λίμνης. Όλα μπορούν να περιγραφούν από την ίδια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την κυματική εξίσωση, που επιτρέπει την αντιμετώπιση του φωτός και του ήχου σαν κύματα, όπως τα κοινά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Η μετάδοση της θερμότητας, της οποίας τη θεωρία ανέπτυξε ο Ζοζέφ Φουριέ, κυβερνάται από μια διαφορετική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την εξίσωση θερμότητας. Προέκυψε ότι πολλές διεργασίες διάχυσης, φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται τελικά από την ίδια εξίσωση. Η εξίσωση Μπλάκ-Σόλ στα χρηματοοικονομικά για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωση διάδοσης της θερμότητας.

Σχέση με τις εξισώσεις διαφορών

Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων συσχετίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων διαφορών, στις οποίες οι μεταβλητές παίρνουν μόνο διακριτές τιμές, και η σχέση περιέχει τιμές της άγνωστης συνάρτησης ή συναρτήσεις και τιμές σε παραπλήσιες συντεταγμένες. Πολλές μέθοδοι για τον υπολογισμό αριθμητικών λύσεων διαφορικών εξισώσεων ή τη μελέτη ιδιοτήτων των διαφορικών εξισώσεων περιέχουν προσέγγιση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης από τη λύση μιας αντίστοιχης εξίσωσης διαφορών.

Φυσική

• Εξίσωση Euler-Lagrange στην κλασική μηχανική
• Εξίσωση Hamilton στην κλασική μηχανική
• Ραδιενεργός διάσπαση στην πυρηνική φυσική
• Νόμος ψύξης του Newton στην θερμοδυναμική
• Η κυματική εξίσωση
• Εξίσωση θερμότητας στην θερμοδυναμική
• Εξίσωση Laplace που ορίζει αρμονικές συναρτήσεις
• Εξίσωση Poisson
• Γεωδαιτική εξίσωση
• Εξίσωση Navier–Stokes στην ρευστοδυναμική
• Εξίσωση διάχυσης σε στοχαστικές διαδικασίες
• Εξίσωση Κυκλοθερμικών-διάχυσης στην ρευστοδυναμική
• Εξισώσεις Cauchy-Riemann στην μιγαδική ανάλυση
• Εξίσωση Poisson-Boltzmann στην μοριακή δυναμική
• Οι εξισώσεις ρηχού νερού
• Εξισώσεις Lorenz των οποίων οι λύσεις εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά

Κλασική μηχανική

Όσο η δύναμη που δρα σε ένα σωματίδιο που είναι γνωστό, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα είναι επαρκής για να περιγράψει την κίνηση του σωματιδίου. Μόλις ανεξάρτητες σχέσεις για κάθε δύναμη που δρα σε ένα σωματίδιο είναι διαθέσιμα, μπορούν να αντικατασταθούν στον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για να παραγάγουν μια διαφορική εξίσωση, η οποία ονομάζεται εξίσωση της κίνησης.

Ηλεκτροδυναμική

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι ένα σύνολο μερικών διαφορικών εξισώσεων που, σε συνδυασμό με το νόμο της δύναμης του Lorentz, αποτελούν το θεμέλιο της κλασικής ηλεκτροδυναμικής, της κλασικής οπτικής, και των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Τα πεδία αυτά με τη σειρά τους αποτελούν τη βάση στις σύγχρονες ηλεκτρικές και τεχνολογίες επικοινωνιών. Οι εξισώσεις του Maxwell περιγράφουν πώς τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία δημιουργούνται και τροποποιούνται μεταξύ τους και από τα τέλη και τα ρεύματα. Πήραν το όνομά τους από τον Σκωτσέζο φυσικό και μαθηματικό James Clerk Maxwell, ο οποίος δημοσίευσε μια πρώιμη μορφή αυτών των εξισώσεων μεταξύ 1861 και 1862.

Γενική σχετικότητα

Οι εξισώσεις πεδίου Einstein (EFE:Επίσης γνωστές ως «εξισώσεις του Αϊνστάιν») είναι ένα σύνολο από δέκα μερικές διαφορικές εξισώσεις στη γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, που περιγράφουν τη θεμελιώδη αλληλεπίδραση της βαρύτητας, ως αποτέλεσμα του χωροχρόνου που εξαρτάται από την ύλη και την ενέργεια. 'Οπως πρώτα δημοσιεύθηκε από τον Einstein το 1915, ως εξίσωση τανυστή, η EFE εξισώνουν τοπική καμπυλότητα του χωροχρόνου (που εκφράζεται από τον τανυστή Einstein) με την τοπική ενέργεια και την ορμή μέσα σε αυτό το χωρόχρονο (που εκφράζεται από το στρες ενέργειας tensor).

Κβαντική μηχανική

Στην κβαντομηχανική, το ανάλογο του νόμου του Νεύτωνα είναι εξίσωση του Schrödinger (μια μερική διαφορική εξίσωση) για ένα κβαντικό σύστημα (συνήθως άτομα, μόρια, και υποατομικά σωματίδια είτε ελεύθερα, είτε δεσμευμένα, είτε εντοπισμένα). Δεν είναι μια απλή αλγεβρική εξίσωση, αλλά σε γενικές γραμμές μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, που περιγράφει τη χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης του συστήματος (ονομάζεται επίσης "κατάσταση λειτουργίας").

Βιολογία

• Verhulst εξίσωση - βιολογική αύξηση του πληθυσμού

• von Bertalanffy μοντέλο - βιολογική ατομική ανάπτυξη

• Δυναμική replicator - που βρέθηκαν στη θεωρητική βιολογία

• Hodgkin-Huxley μοντέλο - δυνατότητες νευρικών αντιδράσεων

Εξισώσεις θηρευτών-θηραμάτων

Οι εξισώσεις Lotka-Volterra, επίσης γνωστές ως οι εξισώσεις θηρευτών-θηραμάτων, είναι ένα ζευγάρι πρώτης τάξης, μη γραμμικών, διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται συχνά για να περιγράψουν τη δυναμική των βιολογικών συστημάτων στα οποία αλληλεπιδρούν δύο είδη, το ένα ως αρπακτικό και το άλλο ως θήραμα.

Χημεία

Ο νόμος του ρυθμού ή η εξίσωση του ρυθμού για μια χημική αντίδραση είναι μια διαφορική εξίσωση που συνδέει την ταχύτητα της αντίδρασης με συγκεντρώσεις ή πιέσεις των αντιδρώντων και σταθερές παραμέτρους (κανονικά, συντελεστές ταχύτητας και μερικές εντολές αντιδράσεων).Για τον προσδιορισμό της εξίσωσης ρυθμού για ένα συγκεκριμένο σύστημα μία συνδυάζει την ταχύτητα της αντίδρασης με ένα ισοζύγιο μάζας για το σύστημα.

Οικονομικά

• Η εξίσωση κλειδί του μοντέλου Solow-Swan είναι ${\frac {\partial k(t)}{\partial t}}=s[k(t)]^{\alpha }-\delta k(t)$

• Black-Scholes PDE

• Μαλθουσιανό μοντέλο ανάπτυξης

• Το μοντέλο διαφήμισης Vidale-Wolfe

Καθολικότητα της μαθηματικής περιγραφής

Μεγάλος αριθμός θεμελιωδών νόμων της φυσικής και της χημείας μπορούν να εκφραστούν ως διαφορικές εξισώσεις. Στη βιολογία και τα οικονομικά χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις για να περιγράψουν τη συμπεριφορά πολύπλοκων συστημάτων. Η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων αναπτύχθηκε αρχικά μαζί με τις επιστήμες στις οποίες προκύπτουν οι εξισώσεις και στις οποίες χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα. Παρ'όλα αυτά, διάφορα προβλήματα, πολλές φορές από αρκετά διαφορετικούς τομείς, μπορεί να ανάγονται σε ταυτόσημες διαφορικές εξισώσεις. Όταν συμβαίνει αυτό, η μαθηματική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων εκλαμβάνεται ως η αρχή που ενοποιεί τα ποικίλα αυτά φαινόμενα. Για παράδειγμα, θεωρήστε την διάδοση του φωτός και του ήχου στην ατμόσφαιρα, και τη διάδοση των κυμάτων στην επιφάνεια μιας λίμνης. Όλα μπορούν να περιγραφούν από την ίδια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την κυματική εξίσωση, που επιτρέπει την αντιμετώπιση του φωτός και του ήχου σαν κύματα, όπως τα κοινά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Η μετάδοση της θερμότητας, της οποίας τη θεωρία ανέπτυξε ο Ζοζέφ Φουριέ, κυβερνάται από μια διαφορετική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού, την εξίσωση θερμότητας. Προέκυψε ότι πολλές διεργασίες διάχυσης, φαινομενικά διαφορετικές, περιγράφονται τελικά από την ίδια εξίσωση. Η εξίσωση Μπλάκ-Σόλ στα χρηματοοικονομικά για παράδειγμα, σχετίζεται με την εξίσωση διάδοσης της θερμότητας.

Λογισμικό

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Δείτε επίσης

• Σύνθετη διαφορική εξίσωση

• Ακριβής διαφορική εξίσωση

• Αρχική κατάσταση

• Αναπόσπαστες εξισώσεις

• Αριθμητικές μέθοδοι

• Θεώρημα Picard-Lindelöf για την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων

• Αναδρομική σχέση, γνωστή ως «Εξίσωση Διαφορά»

Διάσημες διαφορικές εξισώσεις

• Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα στην δυναμική (μηχανική)
• Οι εξισώσεις Χάμιλτον στην κλασική μηχανική
• Η ραδιενεργή φθορά στην πυρηνική φυσική
• Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα στη θερμοδυναμική
• Η κυματική εξίσωση
• Οι εξισώσεις του Μάξουελ στον ηλεκτρομαγνητισμό
• Η εξίσωση θερμότητας στη θερμοδυναμική
• Η εξίσωση Λαπλάς, η οποία ορίζει αρμονικές συναρτήσεις
• Η εξίσωση Πουασόν
• Η εξίσωση πεδίων του Αϊνστάιν στη γενική σχετικότητα
• Η εξίσωση Σρέντιγκερ στην κβαντομηχανική
• Η εξίσωση γεωδαισίας
• Η εξίσωση Ναβίερ-Στόουκς στη δυναμική υγρών
• Οι εξισώσεις Λότκα-Βολτέρρα στη δυναμική πληθυσμών
• Οι εξισώσεις Χότζκιν-Χάξλεϋ στην διάδοση δυναμικού δράσης σε νευρώνα
• Η εξίσωση Μπλάκ-Σολ στα χρηματοοικονομικά
• Οι εξισώσεις Κοσύ-Ρίμαν στη μιγαδική ανάλυση
• Οι εξισώσεις ρηχού νερού

Βιβλιογραφία

• Σταυρακάκης Ν., Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εκδ. Παπασωτηρίου, 1997
• Stephenson G., Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 1987
• William E. Boyce, Richard C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 8th Edition, 2005