Συνέχεια συνάρτησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
\mathbf{y} = f(x)
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
\mathbf{z} = f(x , y , , y_n)

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συνεχής όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται σε πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός Κωσύ, («έψιλον-δέλτα» ορισμός)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν f:A \rightarrow \mathbb{R} είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού A \subseteq \mathbb{R} και το x_0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο x_0 αν

\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(x_0,\epsilon)>0}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \right)

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο A αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A, δηλαδή αν

\forall_{x_0\in A}\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(x_0,\epsilon)>0}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \right)

Σε αντιδιαστολή προς την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια που ορίστηκε παραπάνω λέγεται και σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο \lim_{x \to x_0}f(x) έχει έννοια μόνο όταν το x_0 είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το x_0 δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς (ορισμός Χάινε)[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία (x_n)_{n = 1}^{\infty} στο Α, με:

\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0,

ισχύει:

\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=f(x_0)

Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου x \in X αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε f(U) \subseteq V. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε x \in X.

Συνέχεια σε διάστημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μία συνάρτηση  \textstyle f ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b], υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε   x_0 \in (a,b) και \;  \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\; , \; \lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα Bolzano[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν μια συνάρτηση  \textstyle f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b], είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(a)\cdot f(b)<0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \; \xi\in (a,b) τέτοιο ώστε  \textstyle f(\xi) = 0 .

BolTh.png

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano σημαίνει ότι, αν η \textstyle f είναι συνεχής στο  \;\textstyle [a, b] και \textstyle f(a) \; , f(b) ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της \; f\; τέμνει τον άξονα \textstyle x'x σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των \textstyle a, b .

Θεώρημα σταθερού σημείου[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αν \;\textstyle f\; συνάρτηση συνεχής στο  \;\textstyle [a, b] με  \;\textstyle f:[a, b]\rightarrow [a,b] , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \; \;\textstyle \xi \in [a, b] , τέτοιο ώστε  \;\textstyle f(\xi)=\xi.

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση  \textstyle f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b] είναι συνεχής σε αυτό και ισχύει f(a)\neq f(b) , τότε για οποιοδήποτε \textstyle  \rho μεταξύ των  \textstyle f(a) , f(b) υπάρχει ένα τουλάχιστον \; \xi\in (a,b) τέτοιο ώστε  \textstyle f(\xi) = \rho .

ThMeVa.png

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] είναι συνεχής σε αυτό, τότε υπάρχουν στοιχεία μ και Μ στο [α, β] ώστε f(μ) = min(f) και f(Μ) = max(f).

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση f:(0, 1) \rightarrow \mathbb{R} με τύπο f(x) = \frac{1}{x} είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχεια[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(\epsilon)>0}\forall_{x_0\in A}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \right)

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.