Ευκλείδεια μετρική

Ορισμός

Η ευκλείδεια μετρική είναι μία συνάρτηση: $d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}\,$ που αντιστοιχεί σε δύο διανύσματα $\mathbf{x}, \mathbf{y}\,$του $n-$διάστατου διανυσματικού χώρου $\mathbb{R}^n\,$, $\mathbf{x}=\{x_1, \dots, x_n\}, \mathbf{y}=\{y_1, \dots, y_n\}\,$ τον αριθμό

$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots + (y_n-x_n)^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i-x_i)^2}.$

Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη"(Ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , $n-$διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Ειδικές Περιπτώσεις

Μία διάσταση

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία $P=(p_x)\,$ και $Q=(q_x)\,$, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:

$\sqrt{(p_x-q_x)^2} = | p_x-q_x |$

Δύο διαστάσεις

Για δύο δισδιάστατα σημεία στο επίπεδο, $P=(p_x,p_y)\,$ και $Q=(q_x,q_y)\,$, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:

$\sqrt{(p_x-q_x)^2 + (p_y-q_y)^2}$