Κλίση συνάρτησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι g(x) = mx+b. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.
m=\frac {g(x_2)-g(x_1)}{x_2 - x_1}

για δύο οποιαδήποτε σημεία (x_1, \, g(x_1) \, ), (x_2, \, g(x_2) \, ) , όταν  x_1 διάφορο  x_2 .Αν  x_1 = x_2 Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας .

Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης \,f(x) σε κάποιο σημείο \,x_1 είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο  (x_1, \, f(x_1)) με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο \,x_2 κοντά στο \, x_1 η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία  (x_1, \, f(x_1)) και  (x_2, \, f(x_2)) έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι


\frac {f(x_1)-f(x_2)}{x_2 - x_1}.

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο \,x_2 στο σημείο \,x_1, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου \,x_2 στο σημείο \,x_1 και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως


f'(x_1) = \lim_{x_2 \rightarrow x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}.

\,f'(x_1) ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης \,f(x) στο σημείο \,x_1. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το \,x_2 τείνει στο \,x_1. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση \,f(x) ονομάζεται διαφορίσιμη, αν όχι, μη διαφορίσιμη.