Συμβολισμός Ντιράκ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση
Κβαντική Μηχανική
\Delta x\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Πρότυπο: προβ.  συζ.  επεξ.

Ο συμβολισμός Ντιράκ είναι ένα σύνολο μαθηματικών συμβόλων που χρησιμοποιείται για το φορμαλισμό της κβαντομηχανικής. Η βασική υπόθεση της κβαντικής μηχανικής είναι πως σε κάθε δυναμική κατάσταση αντιστοιχεί ενα διάνυσμα. Τα διανύσματα αυτά ανήκουν σε ένα γραμμικό χώρο απείρων διαστάσεων με εσωτερικό γινόμενο (χώρος Χίλμπερτ). Η μαθηματική περιγραφή της κβαντομηχανικής χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Ντιράκ είναι διαφορετική χωρίς τον συμβολισμό Ντιράκ.

Κβαντομηχανική χωρίς τον συμβολισμό Ντιράκ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην κβαντομηχανική το οποιοδήποτε φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση, συνήθως συμβολίζεται με Ψ. Στη μαθηματική περιγραφή χωρίς το συμβολισμό Ντιράκ, η κυματοσυνάρτηση είναι συνάρτηση του χώρου και χρόνου, οπότε συμβολίζεται ως \Psi(\vec r ,t). Σημαντικό μέγεθος που παράγεται από αυτή τη συνάρτηση είναι ότι το ολοκλήρωμα:

\int_K \Psi^\dagger \Psi dV

(Το στιλέτο πάνω δεξιά συμβολίζει την μιγαδική συζυγία.)

Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, αυτό το ολοκλήρωμα είναι η πιθανότητα να βρεθεί το φυσικό σύστημα στο χώρο K. Για κάθε φυσικό μέγεθος υπάρχει στην κβαντομηχανική ο αντίστοιχος τελεστής. Αν ο τελεστής είναι ο Α, τότε το μέγεθος ισούται με το ολοκλήρωμα:

\int \Psi^\dagger (A \Psi) dV = \int (A \Psi)^\dagger \Psi dV

Μαθηματική σκοπιά του συμβολισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα kets και συμβολίζονται με |\psi\rangle. Ο δυικός του χώρος του χώρου Χίλμπερτ έχει ως διανύσματα τα bra που συμβολίζονται με \langle\psi|. Eτσι το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο Χίλμπερτ συμβολίζεται ως \langle\phi|\psi\rangle Η σχέση μεταξύ bra και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή


\left(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\right)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2|.

Το ket πολλαπλασιαζόμενο απο δεξιά απο ενα bra σχηματίζει ενα bra-ket (αγκύλη).

Αντιστοιχία συμβολισμού Ντιράκ με τον παλιό συμβολισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ket αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση, δηλαδή Ψ=|\Psi\rangle. Το bra αντιστοιχεί στο υπόλοιπο τμήμα του ολοκληρωματος, δηλαδή:

\langle\Phi|\Psi\rangle=\int_K \Phi^\dagger \Psi dV

Η ολοκλήρωση με τελεστή συμβολίζεται ως εξής:

\langle\Psi|A|\Psi\rangle=\int \Psi^\dagger (A\Psi) dV=\int (A \Psi)^\dagger \Psi dV

Αλλαγή της μαθηματικής περιγραφής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η παραπάνω μαθηματική αντιστοιχία δεν ισχύει, οι φυσικοί έχουν αλλάξει τη μαθηματική περιγραφή των bra, των ket και των τελεστών. Ο λόγος είναι ότι από φυσική άποψη δεν ενδιαφέρει η μαθηματική περιγραφή αλλά τα αποτελέσματα της θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα στη κβαντομηχανική ενδιαφέρουν οι τιμές των τελεστών \langle\Psi|A|\Psi\rangle. Οι πράξεις μεταξύ πινάκων είναι πιο εύκολες από τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων, οπότε πλέον τα bra και τα ket, από μαθηματική άποψη είναι πίνακες. Ωστόσο, η αντιστοιχία των τελεστών και των κυματοσυναρτήσεων με τους πίνακες δεν είναι απόλυτη και εξαρτάται από το ίδιο το πρόβλημα που περιγράφεται με το συμβολισμό Ντιράκ.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κυριάκου Ταμβάκη (2003), Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική