Συμβολισμός Ντιράκ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Ο συμβολισμός Ντιράκ είναι ένα σύνολο μαθηματικών συμβόλων που χρησιμοποιείται για το φορμαλισμό της κβαντομηχανικής. Η βασική υπόθεση της κβαντικής μηχανικής είναι πως σε κάθε δυναμική κατάσταση αντιστοιχεί ενα διάνυσμα. Τα διανύσματα αυτά ανήκουν σε ένα γραμμικό χώρο απείρων διαστάσεων με εσωτερικό γινόμενο (χώρος Χίλμπερτ). Η μαθηματική περιγραφή της κβαντομηχανικής χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Ντιράκ είναι διαφορετική χωρίς τον συμβολισμό Ντιράκ.

Κβαντομηχανική χωρίς τον συμβολισμό Ντιράκ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην κβαντομηχανική το οποιοδήποτε φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση, συνήθως συμβολίζεται με Ψ. Στη μαθηματική περιγραφή χωρίς το συμβολισμό Ντιράκ, η κυματοσυνάρτηση είναι συνάρτηση του χώρου και χρόνου, οπότε συμβολίζεται ως . Σημαντικό μέγεθος που παράγεται από αυτή τη συνάρτηση είναι ότι το ολοκλήρωμα:

(Το στιλέτο πάνω δεξιά συμβολίζει την μιγαδική συζυγία.)

Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, αυτό το ολοκλήρωμα είναι η πιθανότητα να βρεθεί το φυσικό σύστημα στο χώρο K. Για κάθε φυσικό μέγεθος υπάρχει στην κβαντομηχανική ο αντίστοιχος τελεστής. Αν ο τελεστής είναι ο Α, τότε το μέγεθος ισούται με το ολοκλήρωμα:

Μαθηματική σκοπιά του συμβολισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα kets συμβολίζονται με . Ο δυικός του χώρος του χώρου Χίλμπερτ έχει ως διανύσματα τα bra που συμβολίζονται με . Eτσι το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο Χίλμπερτ συμβολίζεται ως Η σχέση μεταξύ bra και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή

Το ket πολλαπλασιαζόμενο απο δεξιά απο ενα bra σχηματίζει ενα bra-ket (αγκύλη).

Αντιστοιχία συμβολισμού Ντιράκ με τον παλιό συμβολισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ket αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση, δηλαδή Ψ=. Το bra αντιστοιχεί στο υπόλοιπο τμήμα του ολοκληρωματος, δηλαδή:

Η ολοκλήρωση με τελεστή συμβολίζεται ως εξής:

Αλλαγή της μαθηματικής περιγραφής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η παραπάνω μαθηματική αντιστοιχία δεν ισχύει, οι φυσικοί έχουν αλλάξει τη μαθηματική περιγραφή των bra, των ket και των τελεστών. Ο λόγος είναι ότι από φυσική άποψη δεν ενδιαφέρει η μαθηματική περιγραφή αλλά τα αποτελέσματα της θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα στη κβαντομηχανική ενδιαφέρουν οι τιμές των τελεστών . Οι πράξεις μεταξύ πινάκων είναι πιο εύκολες από τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων, οπότε πλέον τα bra και τα ket, από μαθηματική άποψη είναι πίνακες. Ωστόσο, η αντιστοιχία των τελεστών και των κυματοσυναρτήσεων με τους πίνακες δεν είναι απόλυτη και εξαρτάται από το ίδιο το πρόβλημα που περιγράφεται με το συμβολισμό Ντιράκ.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κυριάκου Ταμβάκη (2003), Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική