Συμβολισμός Ντιράκ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Ο συμβολισμός Dirac είν' ένα σύνολο μαθηματικών συμβόλων που χρησιμοποιούνται για τον φορμαλισμό της κβαντομηχανικής. Η βασική υπόθεση της κβαντομηχανικής είναι πως σε κάθε δυναμική κατάσταση αντιστοιχεί ένα διάνυσμα. Τα διανύσματα αυτά ανήκουν σ' έναν γραμμικό (διανυσματικό) χώρο απείρων διαστάσεων έχων εσωτερικό γινόμενο (χώρος Χίλμπερτ). Η μαθηματική περιγραφή της κβαντομηχανικής χρήσει συμβολισμού Dirac είν' ουσιωδώς χρήσει διαφορετικού φορμαλισμού.

Κβαντομηχανική χωρίς συμβολισμό Dirac[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην κβαντομηχανική τ' οποιοδήποτε φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση (συνήθως συμβολίζεται με Ψ). Στηn μαθηματική περιγραφή χωρίς συμβολισμό Dirac, η κυματοσυνάρτηση είναι συνάρτηση του χώρου και χρόνου, οπότε συμβολίζεται ως . Σημαντικό μέγεθος που παράγεται απ' αυτήν την συνάρτηση είναι τ' ολοκλήρωμα:

(Το αστεράκι πάνω δεξιά συμβολίζει την μιγαδική συζυγία.)

Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, αυτό τ' ολοκλήρωμα είν' η πιθανότητα ευρέσεως του φυσικού συστήματος εντός (Ευκλείδιου γεωμετρικού) χώρου . Για κάθε φυσικό μέγεθος υπάρχει στην κβαντομηχανική ο αντίστοιχος τελεστής. Εάν ο τελεστής είν' ο , τότε το μέγεθος ισούται με το ολοκλήρωμα:

Μαθηματική σκοπιά του συμβολισμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα ket συμβολίζονται με . Ο δυικός του χώρος του χώρου Χίλμπερτ έχει ως διανύσματα τα bra που συμβολίζονται με . Eτσι το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο Χίλμπερτ συμβολίζεται ως Η σχέση μεταξύ bra και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή

(Το στιλέτο πάνω δεξιά συμβολίζει τον ερμιτιανό συζυγή.)

Το ket πολλαπλασιαζόμενο απο δεξιά απο ενα bra σχηματίζει ενα bra-ket (αγκύλη).

Αντιστοιχία συμβολισμού Ντιράκ με τον παλιό συμβολισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ket αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση, δηλαδή Ψ=. Το bra αντιστοιχεί στο υπόλοιπο τμήμα του ολοκληρωματος, δηλαδή:

Η ολοκλήρωση με τελεστή συμβολίζεται ως εξής:

Αλλαγή της μαθηματικής περιγραφής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η παραπάνω μαθηματική αντιστοιχία δεν ισχύει, οι φυσικοί έχουν αλλάξει τη μαθηματική περιγραφή των bra, των ket και των τελεστών. Ο λόγος είναι ότι από φυσική άποψη δεν ενδιαφέρει η μαθηματική περιγραφή αλλά τα αποτελέσματα της θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα στη κβαντομηχανική ενδιαφέρουν οι τιμές των τελεστών . Οι πράξεις μεταξύ πινάκων είναι πιο εύκολες από τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων, οπότε πλέον τα bra και τα ket, από μαθηματική άποψη είναι πίνακες. Ωστόσο, η αντιστοιχία των τελεστών και των κυματοσυναρτήσεων με τους πίνακες δεν είναι απόλυτη και εξαρτάται από το ίδιο το πρόβλημα που περιγράφεται με το συμβολισμό Ντιράκ.

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κυριάκου Ταμβάκη (2003), Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική