Χαμιλτονιανή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Η χαμιλτονιανή είναι ο τελεστής που αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια ενός κβαντομηχανικού συστήματος. Συνήθως συμβολίζεται με H ή Ȟ ή Ĥ. Οι ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής ενός συστήματος (ή πιο γενικά το «φάσμα» της όταν ο τελεστής δρα σε απειροδιάστατο χώρο Χίλμπερτ, δηλαδή όταν έχουμε πρόβλημα πολλών σωμάτων ή πρόβλημα κβαντικού πεδίου) αποτελούν το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων μέτρησης της ενέργειας του συστήματος. Λόγω της στενής σχέσης της με τη χρονική εξέλιξη ενός συστήματος, η χαμιλτονιανή είναι θεμελιώδους σημασίας στους περισσότερους από τους υπάρχοντες μαθηματικούς φορμαλισμούς της κβαντικής θεωρίας.

Σύμφωνα με την κβαντομηχανική, η αρχή αβεβαιότητας είναι θεμελιώδες χαρακτηριστικό των φυσικών σωμάτων και μεγεθών, και όχι πχ μια αδυναμία στην ακρίβεια μετρήσεων των μετρητικών συσκευών που σήμερα είναι διαθέσιμες τεχνολογικά. Τούτο είναι εμπεδωμένο στο μαθηματικό φορμαλισμό και αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι μεταβλητές ενός φυσικού συστήματος δεν είναι απλές πραγματικές και συνεχείς συναρτήσεις των «κλασσικών» ανεξάρτητων μεταβλητών θέση, χρόνος, κ.ο.κ.. Αντί αυτού, σε κάθε φυσικό μέγεθος αντιστοιχίζεται ένας τελεστής που δρα επί των κβαντικών καταστάσεων του συστήματος, και οι παρατηρήσιμες/μετρήσιμες ποσότητες είναι οι ιδιοτιμές αυτοσυζυγών γραμμικών τελεστών.

Έτσι, για παράδειγμα, μια πολύ συνηθισμένη μορφή που λαμβάνει η χαμιλτονιανή (όχι ο τεχνικά ακριβής ορισμός αλλά μια συνηθισμένη μορφή) αντιστοιχεί στο «κλασσικό» άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας με τα αντίστοιχα μεγέθη εκφρασμένα ως τελεστές,

\mathbf{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)

όπου, ο τελεστής της κινητικής ενέργειας προκύπτει από τη σχέση

T = \frac{p^2}{2m}

και τον τελεστή της ορμής

p \rightarrow -i\hbar\nabla

το σύμβολο \nabla είναι ο διαφορικός τελεστής, πχ σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ίσος με \frac{\partial f}{\partial x} {\mathbf{\hat i}} +
\frac{\partial f}{\partial y} \hat{\mathbf{j}} +
\frac{\partial f}{\partial z} \hat{\mathbf{k}} (ο διαφορικός τελεστής δίνει την παράγωγο των καταστάσεων του συστήματος)

και ο τελεστής δυναμικής ενέργειας λαμβάνει τη μορφή μιας συνάρτησης V(\mathbf{r},t) της θέσης \, r και του χρόνου \, t, (ο τελεστής σε αυτή την περίπτωση είναι απλά ένας παράγοντας επί τον οποίο πολλαπλασιάζονται οι καταστάσεις του συστήματος).

πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Berkeley Physics Course, Vol IV, 1971