Κυκλικός αριθμός

Κυκλικός αριθμός είναι ένας ακέραιος αριθμός για τον οποίο οι κυκλικές μεταθέσεις των ψηφίων του είναι διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσια αυτού του αριθμού. Ο πιο ευρέως γνωστός κυκλικός αριθμός είναι ο εξαψήφιος αριθμός 142857, του οποίου τα πρώτα έξι ακέραια πολλαπλάσια είναι:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Λεπτομέριες

Για να χαρακτηριστεί ένας αριθμός ως κυκλικός, πρέπει τα διαδοχικά πολλαπλάσιά του να είναι κυκλικές μεταθέσεις των ψηφίων του. Έτσι, για παράδειγμα, ο αριθμός 076923 δεν θεωρείται κυκλικός, επειδή, παρόλο που όλες οι κυκλικές μεταθέσεις των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιά του, δεν είναι διαδοχικά ακέραια πολλαπλάσιά του:

076923 × 1 = 076923

076923 × 3 = 230769

076923 × 4 = 307692

076923 × 9 = 692307

076923 × 10 = 769230

076923 × 12 = 923076

Οι ακόλουθες περιπτώσεις συνήθως εξαιρούνται:

1. μονοψήφιοι αριθμοί, π.χ.: 5
2. επαναλαμβανόμενα ψηφία, π.χ.: 555
3. επαναλαμβανόμενοι κυκλικοί αριθμοί, π.χ.: 142857142857

Εάν τα μηδενικά στην αρχή ενός αριθμού δεν επιτρέπονται, τότε το 142857 είναι ο μόνος κυκλικός αριθμός στο δεκαδικό σύστημα, λόγω της απαραίτητης δομής που έχει όπως θα δούμε παρακάτω. Αν επιτρέπονται τα μηδενικά στην αρχή ενός αριθμού, η ακολουθία των κυκλικών αριθμών είναι η εξής:

(10⁶ − 1) / 7 = 142857 (6 ψηφία)

(10¹⁶ − 1) / 17 = 0588235294117647 (16 ψηφία)

(10¹⁸ − 1) / 19 = 052631578947368421 (18 ψηφία)

(10²² − 1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 ψηφία)

(10²⁸ − 1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 ψηφία)

(10⁴⁶ − 1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 ψηφία)

(10⁵⁸ − 1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 ψηφία)

(10⁶⁰ − 1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 ψηφία)

(10⁹⁶ − 1) / 97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 ψηφία)

Σχέση με επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία

Οι κυκλικοί αριθμοί σχετίζονται με τις επαναλαμβανόμενες δεκαδικές αναπαραστάσεις των μοναδιαίων κλασμάτων. Ένας κυκλικός αριθμός μήκους L είναι η δεκαδική αναπαράσταση του αριθμού

1/(L + 1).

Αντίστροφα, αν η περίοδος του αριθμού 1/p (όπου p είναι πρώτος) είναι

p − 1,

τότε τα ψηφία του αντιπροσωπεύουν έναν κυκλικό αριθμό.

Για παράδειγμα:

1/7 = 0,142857 142857...

Πολλαπλάσια από αυτά τα κλάσματα εμφανίζουν κυκλική μετάθεση:

1/7 = 0,142857 142857...

2/7 = 0,285714 285714...

3/7 = 0,428571 428571...

4/7 = 0,571428 571428...

5/7 = 0,714285 714285...

6/7 = 0,857142 857142...

Μορφή κυκλικών αριθμών

Από τη σχέση με τα μοναδιαία κλάσματα, μπορεί να φανεί ότι οι κυκλικοί αριθμοί έχουν τη μορφή ενός πηλίκου Φερμά

${\frac {b^{p-1}-1}{p}},$

όπου b είναι η βάση (10 για το δεκαδικό σύστημα), και p είναι ένας πρώτος που δεν διαιρεί το b.

Για παράδειγμα, η περίπτωση b = 10 και p = 7 δίνει τον κυκλικό αριθμό 142857 και η περίπτωση b = 12 και p = 5 δίνει τον κυκλικό αριθμό 2497.

Δεν θα δώσουν όλες οι τιμές του p έναν κυκλικό αριθμό χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο. Για παράδειγμα, η περίπτωση b = 10 και p = 13 δίνει τον αριθμό 076923076923 και η περίπτωση b = 12 και p = 19 δίνει τον αριθμό 076B45076B45076B45. Αυτές οι περιπτώσεις θα περιέχουν πάντα τουλάχιστον μία επανάληψη των ψηφίων (πιθανόν πολλές).

Οι πρώτες τιμές του p για τις οποίες αυτός ο τύπος παράγει κυκλικούς αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα (b = 10) είναι (ακολουθία A001913 στην OEIS):

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ...

Για b = 12 (δωδεκαδικό σύστημα), οι τιμές του p είναι (ακολουθία A019340 στην OEIS):

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...

Για b = 2 (δυαδικό σύστημα), οι τιμές του p είναι (ακολουθία A001122 στην OEIS):

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...

Για b = 3 (τριαδικό σύστημα), οι τιμές του p είναι (ακολουθία A019334 στην OEIS):

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

Δεν υπάρχουν τιμές του p στο δεκαεξαδικό σύστημα.

Το μοτίβο αυτής της ακολουθίας προέρχεται από την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Συγκεκριμένα, αυτή η ακολουθία είναι το σύνολο των πρώτων αριθμών p, έτσι ώστε το b να είναι μια πρωταρχική ρίζα mod p. Μια εικασία του Εμίλ Αρτίν υποστηρίζει ότι αυτή η ακολουθία περιέχει το 37,395...% των πρώτων αριθμών.

Κατασκευή κυκλικών αριθμών

Οι κυκλικοί αριθμοί μπορούν να κατασκευαστούν με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

Έστω b η βάση (10 για το δεκαδικό σύστημα)Έστω p πρώτος που δεν διαιρεί το b.Έστω t = 0.Έστω r = 1.Έστω n = 0.Βρόχος:

Έστω t = t + 1

Έστω x = r · b

Έστω d = int(x / p)

Έστω r = x mod p

Έστω n = n · b + d

Αν r ≠ 1 επαναλαμβάνουμε τον βρόχο.

Αν t = p − 1, τότε το n είναι κυκλικός αριθμός.

Αυτός ο αλγόριθμος λειτουργεί με τον υπολογισμό των ψηφίων του 1/p στη βάση b, κάνοντας κάθετη διαίρεση. Το r είναι το υπόλοιπο σε κάθε βήμα και το d είναι το ψηφίο που παράγεται.

Το βήμα

n = n · b + d

χρησιμεύει απλώς για να συλλέγουμε τα ψηφία. Για υπολογιστές που δεν είναι ικανοί να εκφράσουν πολύ μεγάλους ακέραιους αριθμούς, τα ψηφία μπορούν να εξάγονται ή να συλλέγονται με άλλο τρόπο.

Εάν το t υπερβεί το p/2, τότε ο αριθμός είναι κυκλικός και δεν χρειάζεται να υπολογιστούν τα υπόλοιπα ψηφία.

Ιδιότητες κυκλικών αριθμών

• Όταν πολλαπλασιαστούν με τον πρώτο που τους δημιουργεί, το αποτέλεσμα είναι μια ακολουθία b − 1 ψηφίων, όπου b είναι η βάση (π.χ. 9 στο δεκαδικό σύστημα). Για παράδειγμα, 142857 × 7 = 999999.
• Όταν χωριστούν σε ομάδες ίσου μήκους (δύο, τριών, τεσσάρων κ.λπ... ψηφίων) και προστεθούν αυτές οι ομάδες, το αποτέλεσμα είναι μια ακολουθία από b - 1 ψηφία. Για παράδειγμα, 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714 + 2857 = 9999, κ.λπ...
• Όλοι οι κυκλικοί αριθμοί διαιρούνται με τον αριθμό b − 1, όπου b είναι η βάση (π.χ. 9 στο δεκαδικό σύστημα), και το άθροισμα του υπολοίπου είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη. (Αυτό προκύπτει από την προηγούμενη πρόταση)

Άλλες βάσεις

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω τεχνική, οι κυκλικοί αριθμοί μπορούν να βρεθούν και σε άλλες βάσεις (αν και δεν ακολουθούν όλες οι βάσεις τον δεύτερο κανόνα, δηλαδή το ότι όλα τα διαδοχικά πολλαπλάσια ενός αριθμού είναι κυκλικές μεταθέσεις των ψηφίων του). Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, τα ψηφία στη μισή περίοδο έχουν άθροισμα τη βάση στην οποία βρίσκονται μείον ένα. Έτσι, για το δυαδικό σύστημα, το άθροισμα των ψηφίων στη μισή περίοδο είναι 1. Για το τριαδικό σύστημα, είναι 2, και ούτω καθεξής.

Στο δυαδικό σύστημα, η ακολουθία των κυκλικών αριθμών είναι (ακολουθία A001122 στην OEIS):

11 (3) → 01

101 (5) → 0011

1011 (11) → 0001011101

1101 (13) → 000100111011

10011 (19) → 000011010111100101

11101 (29) → 0000100011010011110111001011

Στο τριαδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A019334 στην OEIS):

2 (2) → 1

12 (5) → 0121

21 (7) → 010212

122 (17) → 0011202122110201

201 (19) → 001102100221120122

Στο τετραδικό σύστημα, δεν υπάρχουν.

Στο πενταδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A019335 στην OEIS):

2 (2) → 2

3 (3) → 13

12 (7) → 032412

32 (17) → 0121340243231042

43 (23) → 0102041332143424031123

122 (37) → 003142122040113342441302322404331102

Στο εξαδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A167794 στην OEIS):

15 (11) → 0313452421

21 (13) → 024340531215

25 (17) → 0204122453514331

105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211

135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541

141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335

Στο επταδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A019337 στην OEIS):

2 (2) → 3

5 (5) → 1254

14 (11) → 0431162355

16 (13) → 035245631421

23 (17) → 0261143464055232

32 (23) → 0206251134364604155323

Στο οκταδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A019338 στην OEIS):

3 (3) → 25

5 (5) → 1463

13 (11) → 0564272135

35 (29) → 0215173454106475626043236713

65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743

73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415

Στη βάση 9, ο μοναδικός κυκλικός αριθμός είναι:

2 (2) → 4

Στη βάση 11, είναι (ακολουθία A019339 στην OEIS):

2 (2) → 5

3 (3) → 37

12 (13) → 093425A17685

16 (17) → 07132651A3978459

21 (23) → 05296243390A581486771A

27 (29) → 04199534608387A69115764A2723

Στο δωδεκαδικό σύστημα, είναι (ακολουθία A019340 στην OEIS):

5 (5) → 2497

7 (7) → 186A35

15 (17) → 08579214B36429A7

27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55

35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207

37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765

Στο τριαδικό σύστημα (b = 3), η περίπτωση p = 2 δίνει το 1 ως κυκλικό αριθμό. Παρόλο που οι μονοψήφιοι αριθμοί μπορεί να θεωρούνται τετριμμένες περιπτώσεις, είναι χρήσιμοι να τους εξετάζουμε όταν δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν κυκλικοί αριθμοί σε καμία βάση που είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή στις βάσεις 4, 9, 16, 25, κ.λπ.

Δείτε επίσης

• Περιοδικός αριθμός
• Μικρό θεώρημα του Φερμά

Περαιτέρω ανάγνωση

• Γκάρντνερ, Μάρτιν. Mathematical Circus: Περισσότερα παζλ, παιχνίδια, παράδοξα και άλλες μαθηματικές ψυχαγωγίες από το Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111–122.
• Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, Νο. 2. (Mar., 1996), pp. 109–115.
• Λέσλι, Τζον. «Η Φιλοσοφία της Αριθμητικής: Εκθέτοντας μια προοδευτική άποψη της Θεωρίας και της Πράξης του..." , Longman, Hurst, Rees, Orme και Brown, 1820,(ISBN 1-4020-1546-1)
• Wells, David; "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers", Penguin Press.(ISBN 0-14-008029-5)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Weisstein, Eric W., "Κυκλικοί αριθμοί" από το MathWorld.
• Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"