Τετραγωνικός αριθμός

Στα μαθηματικά, τετραγωνικός αριθμός ή τέλειο τετράγωνο είναι ένας ακέραιος που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού.^[1]^[2]^[3] Με άλλα λόγια, είναι το γινόμενο κάποιου ακέραιου με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, το $9$ είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, αφού ισούται με $3^{2}$ , δηλαδή με $3\times 3$ .

Συνήθως το τετράγωνο ενός αριθμού $n$ δεν συμβολίζεται ως το γινόμενο $n\times n$ , αλλά ως η δύναμη $n^{2}$ , που προφέρεται ως " $n$ τετράγωνο". Το όνομα τετραγωνικός αριθμός προέρχεται από το όνομα του τετράγωνου σχήματος. Το μοναδιαίο εμβαδόν ορίζεται ως το εμβαδόν ενός μοναδιαίου τετραγώνου ( $1\times 1$ ). Επομένως, ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς $n$ έχει εμβαδόν $n^{2}$ . Οπτικά ένας αριθμός είναι τετραγωνικός αν μπορούμε να τον αναπαραστήσουμε με $n$ σημεία, τα οποία είναι ταξινομημένα σε σειρές, ώστε κάθε πλευρά του τετραγώνου να έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με την τετραγωνική ρίζα του $n$ .

Στους πραγματικούς αριθμούς, οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι μη αρνητικοί. Ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι τετραγωνικός αριθμός, όταν η τετραγωνική του ρίζα είναι επίσης ακέραιος. Για παράδειγμα, ${\sqrt {9}}=3$ , οπότε το $9$ είναι ένας τετραγωνικός αριθμός.

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο $n$ , ο $n$ -οστός τετραγωνικός αριθμός είναι το $n^{2}$ , με το $0^{2}=0$ να είναι ο μηδενικός τετραγωνικός αριθμός. Η έννοια του τετραγώνου μπορεί να επεκταθεί και σε άλλα σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα, στους ρητούς αριθμούς, ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων και, αντιστρόφως, ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, για παράδειγμα: ${\textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$ .

Ξεκινώντας από το 1, υπάρχουν $\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor$ τετραγωνικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του $m$ , όπου το $\lfloor x\rfloor$ στρογγυλλοποιεί τον πραγματικό αριθμό $x$ προς τα κάτω (συνάρτηση δαπέδου).

Παραδείγματα

Οι τετραγωνικοί αριθμοί (ακολουθία A000290 στην OEIS) που είναι μικρότεροι από το 60²=3600 είναι:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Η διαφορά μεταξύ οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου από το προηγούμενό του είναι ίση με $n 2 - (n - 1) 2 = 2 n - 1$ . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να απαριθμήσουμε τους τετραγωνικούς αριθμούς προσθέτοντας στο τελευταίο τετράγωνο, τη ρίζα του τελευταίου τετραγώνου και την τρέχουσα ρίζα, δηλαδή

n^{2}=(n-1)^{2}+(n-1)+n

.

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν και άπειροι φυσικοί αριθμοί.

Ιδιότητες

Βασικές ιδιότητες

Ο αριθμός $m$ είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορούμε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο από $n$ σημεία:

$m=1^{2}=1$
$m=2^{2}=4$
$m=3^{2}=9$
$m=4^{2}=16$
$m=5^{2}=25$

Ο $n$ -οστός τετραγωνικός αριθμός $A_{n}$ δίνεται από τον τύπο

A_{n}=n^{2}

.

Οι τετραγωνικοί αριθμοί ικανοποιούν την αναδρομική σχέση

A_{n}=A_{n-1}+2(n-1)

,

με

A_{0}=0

.

Το άθροισμα των πρώτων n περιττών ακεραίων είναι 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n².

Ο $n$ -οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των πρώτων $n$ περιττών αριθμών, δηλαδή^[4]^:35

n^{2}=1+3+5+\ldots +(2n-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)

.

Για παράδειγμα,

5^{2}=25=1+3+5+7+9

. Δείτε επίσης την παραπάνω εικόνα, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με χρώμα ροζ).^{[Σημείωση 1]}^[5]

Το τετράγωνο ενός αριθμού $m$ μείον ένα ίσο με το γινόμενο του $m-1$ και του $m+1$ , δηλαδή

m^{2}-1=(m-1)(m+1)

.

Για παράδειγμα, αφού

72 = 49

, ισχύει ότι

6\times 8=48

.^{[Σημείωση 2]}

(Διαφορά τετραγώνων) Γενικότερα, η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών είναι το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς τους, δηλαδή

n^{2}-m^{2}=(n+m)(n-m)

.

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται καμιά φορά στη νοητική αριθμητική: για παράδειγμα, η πράξη

47\times 53

μπορεί γρήγορα να υπολογιστεί ως εξής

50^{2}-3^{2}=2500-9=2491

.^[6]

Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

Θεωρία αριθμών

Κάθε τετραγωνικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει περιττό αριθμό θετικών διαιρετών, ενώ οι άλλοι φυσικοί αριθμοί έχουν άρτιο αριθμό θετικών διαιρετών.

Απόδειξη

Η ακέραιη ρίζα είναι ο μόνος διαιρέτης που ενώνεται με τον εαυτό του για να δώσει τον τετραγωνικό αριθμό, ενώ οι άλλοι διαιρέτες έρχονται σε ζεύγη.

Εναλλακτικά, η πρόταση προκύπτει από τον τύπο για το πλήθος των διαιρετών ενός αριθμού $n=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{a_{k}}$ (γραμμένο στην κανονική του μορφή), που είναι

(a_{1}+1)\cdot (a_{2}+1)\cdot \ldots \cdot (a_{k}+1)

.

Το γινόμενο αυτό είναι περιττό ανν όλα τα $a_{1},\ldots ,a_{k}$ είναι άρτια, δηλαδή ανν ο $n$ είναι τέλειο τετράγωνο.

(Θεώρημα τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ) Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τεσσάρων ή λιγότερων τέλειων τετραγώνων.^{[Σημείωση 3]}

Ένας φυσικός αριθμός είναι τετραγωνικός αν και μόνο αν, στην κανονική του αναπαράσταση, όλοι οι εκθέτες είναι άρτιοι. Δηλαδή αν $n=p_{1}^{a_{1}}\cdot p_{2}^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{a_{k}}$ (στην κανονική του μορφή), ο $n$ είναι τετραγωνικός ανν οι $a_{1},\ldots ,a_{k}$ είναι άρτιοι.

Απόδειξη

Αν ένας πρώτος αριθμός $p$ διαιρεί έναν τετραγωνικό αριθμό $m$ , τότε το τετράγωνο του $p$ πρέπει επίσης να διαιρεί το $m$ . Αν το $p$ δεν διαιρεί το $m/p$ , τότε το $m$ σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Επαναλαμβάνοντας τις διαιρέσεις της προηγούμενης πρότασης, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε πρώτος αριθμός πρέπει να διαιρεί ένα δεδομένο τέλειο τετράγωνο, άρτιο αριθμό φορών. Έτσι, ο αριθμός $m$ είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν, στην κανονική του αναπαράσταση, όλοι οι εκθέτες είναι άρτιοι.

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός αριθμού ελεύθερου τετραγώνων, δηλαδή ενός αριθμού που δεν διαιρείται τέλεια από κανένα τετράγωνο πέρα της μονάδας.^[4]^: 60
Τα τετράγωνα άρτιων αριθμών είναι άρτια και διαιρούνται με το $4$ , καθώς $(2n)^{2}-4n^{2}$ .
Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά, και έχουν υπόλοιπο 1 mod $8$ . Επίσης, η διαφορά μεταξύ δύο περιττών τέλειων τετραγώνων είναι πολλαπλάσιο του $8$ .

Απόδειξη

Έστω ένας περιττός αριθμός $m=2n+1$ , τότε

m^{2}=(2n+1)^{2}=4n(n+1)+1

.

Επειδή το $n(n+1)$ είναι πάντα άρτιος αριθμός, προκύπτει ότι $m^{2}=1{\pmod {8}}$ .

Ψηφία τέλειων τετραγώνων

Δεκαδικό σύστημα

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης:

Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ ή $9$ .

Απόδειξη

Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $0$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε ζυγό πλήθος από $0$ (δηλαδή τουλάχιστον $00$ ) και τα ψηφία που προηγούνται των $0$ θα πρέπει επίσης να σχηματίζουν τετράγωνο.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $1$ ή το $9$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $1$ και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $2$ ή το $8$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε 4 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι άρτιο.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $3$ ή το $7$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $9$ και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $4$ ή το $6$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $6$ και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι περιττό.
Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το $5$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε 25 και τα προηγούμενα ψηφία πρέπει να είναι $0$ , $2$ , $06$ ή $56$ .

Αν ο αριθμός είναι της μορφής $m5$ όπου το $m$ αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι $n25$ με $n=m(m+1)$ και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το $25$ . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του $65$ μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: $n=6\cdot (6+1)=42$ , οπότε το τετράγωνό του είναι ίσο με $4225$ .
Αν ο αριθμός είναι της μορφής $m0$ όπου το $m$ αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι $n00$ όπου $n=m^{2}$ . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του $70$ είναι το $4900$ .
Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής $5m$ όπου το $m$ αντιπροσωπεύει το ψηφίο των μονάδων, το τετράγωνό του είναι $aabb$ όπου $aa=25+m$ και $bb=m^{2}$ . Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το τετράγωνο του $57$ έχουμε: $m=7$ , $25+7=32$ και $7^{2}=49$ , οπότε $57^{2}=3249$ .
Αν ο αριθμός τελειώνει σε $5$ , το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε $5$ . Το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει και σε $25,625,0625,90625,\ldots ,8212890625$ .
Αν ο αριθμός τελειώνει σε $6$ , το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε $6$ και το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει σε $76,376,9376,09376,\ldots ,1787109376$ . Για παράδειγμα, το τετράγωνο του $55376$ είναι το $3066501376$ , οπότε και τα δύο τελειώνουν σε $376$ .
Τα δύο τελευταία ψηφία των τετραγωνικών αριθμών ακολουθούν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο που αντικατοπτρίζεται συμμετρικά γύρω από τα πολλαπλάσια του $25$ . Για παράδειγμα το $24$ και το $26$ , που είναι ένα λιγότερο και ένα περισσότερο αντίστοιχα από το 25, $24^{2}=576$ και $26^{2}=676$ , οπότε και τα δύο τελειώνουν σε $76$ . Γενικότερα, $(25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx$ . Ένα ανάλογο μοτίβο ισχύει και για τα τελευταία τρία ψηφία γύρω από τα πολλαπλάσια του $250$ και ούτω καθεξής. Κατά συνέπεια, από τα $100$ πιθανά τελευταία διψήφια νούμερα, μόνο τα $22$ από αυτά εμφανίζονται μεταξύ των τετραγωνικών αριθμών (καθώς το $00$ και το $25$ επαναλαμβάνονται).

Δωδεκαδικό σύστημα

Στο δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης:

Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τετραγωνικά ψηφία, δηλαδή $0$ , $1$ , $4$ ή $9$ .

Απόδειξη

Αν ένας αριθμός διαιρείται και με το $2$ και με το $3$ (δηλαδή διαιρείται με το $6$ ), το τετράγωνό του τελειώνει σε $0$ και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι $0$ ή $3$ .
Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το $2$ ούτε με το $3$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $1$ και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι άρτιο.
Αν ένας αριθμός διαιρείται με το $2$ , αλλά όχι με το $3$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $4$ και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $8$ ή $9$ .
Αν ένας αριθμός διαιρείται με το $3$ , αλλά όχι με το $2$ , το τετράγωνό του τελειώνει σε $9$ και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι $0$ ή $6$ .

Άλλα συστήματα αρίθμησης

Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να δοθούν και για άλλες βάσεις ή και για προηγούμενα ψηφία (για παράδειγμα, για τις δεκάδες αντί για τις μονάδες). Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν ελέγχοντας έναν σταθερό αριθμό περιπτώσεων και χρησιμοποιώντας την αριθμητική υπολοίπων.

Σχέσεις με άλλους αριθμούς

Το άθροισμα των πρώτων $N$ τετραγωνικών αριθμών είναι ίσο με

\sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}

.

Οι αριθμοί αυτοί είναι οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί (ακολουθία A000330 στην OEIS).

Ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών, δηλαδή

A_{n}=T_{n-1}+T_{n}={\tfrac {1}{2}}n\cdot (n-1)+{\tfrac {1}{2}}(n+1)n={\tfrac {1}{2}}n\cdot ((n-1)+(n+1))=n^{2}

.

(Θεώρημα Νικόμαχου) Το άθροισμα των πρώτων $n$ κύβων ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματος των πρώτων $n$ θετικών ακεραίων, δηλαδή

1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=(1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2})^{2}

.

Η διαφορά μεταξύ του 1 και οποιουδήποτε υψηλότερου περιττού τέλειου τετραγώνου είναι οκτώ φορές ενός τριγωνικού αριθμού, δηλαδή

(2n+1)^{2}-1^{2}=(2n+1-1)(2n+1+1)=4n\cdot (n+1)=8T_{n}

.

Μια μοναδική σχέση με τους τριγωνικούς αριθμούς $T_{n}$ είναι:

(T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}

.

Εφαρμογές

Αλγόριθμος παραγοντοποίησης Φερμά

Ο έλεγχος ενός τέλειου τετραγώνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών. Αντί να ελέγξουμε τη διαιρετότητα, μπορούμε να δοκιμάσουμε το τετράγωνο: για δεδομένο αριθμό $m$ και κάποιον αριθμό $k$ , αν το $k^{2}-m$ είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού $n$ , τότε το $k-n$ διαιρεί το $m$ (αυτή είναι μια εφαρμογή της διαφοράς τετραγώνων). Για παράδειγμα, το $100^{2}-9991$ είναι το τετράγωνο του $3$ , επομένως το $100-3$ διαιρεί το $9991$ . Αυτό το τεστ είναι ντετερμινιστικό για περιττούς διαιρέτες στο διάστημα από $k-n$ έως $k+n$ , όπου το $k$ καλύπτει κάποιο εύρος φυσικών αριθμών $k\geq {\sqrt {m}}$ .

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Το άθροισμα των πρώτων περιττών ακεραίων, ξεκινώντας από το ένα, είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, κ.λπ. Αυτό εξηγεί και τον νόμο του Γαλιλαίου για τους περιττούς αριθμούς: εάν ένα σώμα που πέφτει από ηρεμία καλύψει μία μονάδα απόστασης στο πρώτο αυθαίρετο χρονικό διάστημα, θα καλύψει 3, 5, 7, κ.λπ. μονάδες απόστασης στα επόμενα χρονικά διαστήματα του ίδιου μήκους. Αυτό βγαίνει από τον τύπο $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ , για $u = 0$ και για μια σταθερά $a$ (επιτάχυνση λόγω βαρύτητας χωρίς αντίσταση αέρα). Οπότε, το $s$ είναι ανάλογο του $t 2$ και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης είναι διαδοχικά τετράγωνα για ακέραιες τιμές του χρόνου που έχουν περάσει.
↑ Εφόσον ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες μόνο το $1$ και τον εαυτό του, και αφού το $m=2$ είναι η μόνη μη μηδενική τιμή του $m$ η οποία μπορεί να δώσει ως παράγοντα το $1$ στη δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης, συμπεραίνουμε ότι το $3$ είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που είναι ένα λιγότερο από έναν τετραγωνικό αριθμό ( $3=2^{2}-1$ ).
↑ Τρία τετράγωνα δεν επαρκούν για αριθμούς της μορφής $4^{k}\cdot (8m+7)$ . Ένας θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ακριβώς δύο τετραγώνων, εάν η ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες, περιέχει περιττές δυνάμεις πρώτων αριθμών της μορφής $4k+3$ .

Παραπομπές

↑ Μερικοί αποκαλούν επίσης τα τετράγωνα ρητών αριθμών ως τέλεια τετράγωνα.
↑ Conway, J.H.· Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag. σελίδες 30–32. ISBN 0-387-97993-X.
↑ Γκότσης, Κ. (2018). «Σημειώσεις στοιχειώδους θεωρίας αριθμών» (PDF).
1 2 Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Διακριτά μαθηματικά (PDF). Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-517.
↑ Olenick, Richard P.· Apostol, Tom M. (14 Ιανουαρίου 2008). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat (στα Αγγλικά). Cambridge University Press. σελ. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
↑ Parulekar, Kiran (2013). Amazing Properties of Squares & Their Calculations.

[5] Το άθροισμα των πρώτων περιττών ακεραίων, ξεκινώντας από το ένα, είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, κ.λπ. Αυτό εξηγεί και τον νόμο του Γαλιλαίου για τους περιττούς αριθμούς: εάν ένα σώμα που πέφτει από ηρεμία καλύψει μία μονάδα απόστασης στο πρώτο αυθαίρετο χρονικό διάστημα, θα καλύψει 3, 5, 7, κ.λπ. μονάδες απόστασης στα επόμενα χρονικά διαστήματα του ίδιου μήκους. Αυτό βγαίνει από τον τύπο $s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$ , για $u = 0$ και για μια σταθερά $a$ (επιτάχυνση λόγω βαρύτητας χωρίς αντίσταση αέρα). Οπότε, το $s$ είναι ανάλογο του $t 2$ και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης είναι διαδοχικά τετράγωνα για ακέραιες τιμές του χρόνου που έχουν περάσει.

[7] Εφόσον ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες μόνο το $1$ και τον εαυτό του, και αφού το $m=2$ είναι η μόνη μη μηδενική τιμή του $m$ η οποία μπορεί να δώσει ως παράγοντα το $1$ στη δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης, συμπεραίνουμε ότι το $3$ είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που είναι ένα λιγότερο από έναν τετραγωνικό αριθμό ( $3=2^{2}-1$ ).

[9] Τρία τετράγωνα δεν επαρκούν για αριθμούς της μορφής $4^{k}\cdot (8m+7)$ . Ένας θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ακριβώς δύο τετραγώνων, εάν η ανάλυσή του σε πρώτους παράγοντες, περιέχει περιττές δυνάμεις πρώτων αριθμών της μορφής $4k+3$ .

[1] Μερικοί αποκαλούν επίσης τα τετράγωνα ρητών αριθμών ως τέλεια τετράγωνα.

[2] Conway, J.H.· Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag. σελίδες 30–32. ISBN 0-387-97993-X.

[3] Γκότσης, Κ. (2018). «Σημειώσεις στοιχειώδους θεωρίας αριθμών» (PDF).

[KP15-4] 1 2 Κολουντζάκης, Μ.· Παπαχριστόδουλος, Χ. (2015). Διακριτά μαθηματικά (PDF). Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-517.

[6] Olenick, Richard P.· Apostol, Tom M. (14 Ιανουαρίου 2008). The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat (στα Αγγλικά). Cambridge University Press. σελ. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.

[8] Parulekar, Kiran (2013). Amazing Properties of Squares & Their Calculations.

[1]

[2]

[3]

[4]

[Σημείωση 1]

[5]

[Σημείωση 2]

[6]

[Σημείωση 3]