Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι θεσιακό σύστημα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιεί το 12 ως την αριθμητική βάση του.

Περιγραφή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιδιότητες και προέλευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για την μέτρηση έως το 12 με την χρήση του ενός χεριού

Ο αριθμός 12 είναι εξαιρετικά υψηλός σύνθετος αριθμός καθώς διαθέτει μεγάλο αριθμό διαιρετών με 6 διαιρέτες (1 2 3 4 6 12) σε σχέση με την αριθμητική του θέση. Οι παράγοντες του (2 και 3) είναι πρώτοι αριθμοί κάτι που σημαίνει πως οι αντίστροφοι όλων των αριθμών που πραγματοποιούνται με το 3 δεν δημιουργούν άρρητους αριθμούς όταν διαιρούνται. Έτσι αποτελεί βολικό σύστημα για τον υπολογισμό συχνά χρησιμοποιούμενων κλασμάτων όπως  12,   13,   23,   14 και 34 καθώς δίνει αποτελέσματα χωρίς επαναλαμβανόμενα ψηφία.

Η προέλευση του πιθανώς πηγάζει από τους 12 σεληνιακούς κύκλους του έτους, καθώς και από το γεγονός ότι υπάρχει 12 φάλαγγες (αρθρώσεις, οι οριζόντιες γραμμές των δαχτύλων) στα 4 δάχτυλα του χεριού εκτός του αντίχειρα. Σε κάποιες περιοχές της Ασίας η μέτρηση με το ένα χέρι γίνεται έως το 12 με την καταμέτρηση των φαλαγγών των δαχτύλων και τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται ως δείκτης της καταμέτρησης, κάτι που εξηγεί την προέλευση του δωδεκαδικού συστήματος καθώς και των πολλαπλάσιων της αριθμητικής βάσης του 12 όπως π.χ. το εξηνταδικό σύστημα.[1][2][3]Επιπλέον, το δωδεκαδικό σύστημα είναι ενσωματωμένο σε διάφορα αριθμητικά συστήματα γλωσσών, όπως διάφορες γλώσσες της Νιγηρίας (Τζάντζι, Γκμπίρι-Νιράγκου, Πίτι, Γκουαντάρα),[4] την γλώσσα Τσεπάνγκ στο Νεπάλ,[5] και την γλώσσα Ντιβέχι στις Μαλδίβες και περιοχές της Ινδίας.

Μονάδες μέτρησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστορικά, οι μονάδες μέτρησης χρόνου σε πολλούς πολιτισμούς υπήρξαν δωδεκαδικές, κάτι που καταδεικνύεται από το γεγονός ότι υπάρχουν 12 μήνες και ζωδιακά σύμβολα σε ένα έτος, ενώ οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν 12 ώρες εντός της ημέρας και αργότερα μετατράπηκε σε 24 όπως και στην σύγχρονη εποχή. Στο παραδοσιακό κινεζικό ημερολόγιο τα ωρολόγια και οι πυξίδες βασίζονται επίσης στο δωδεκαδικό σύστημα.

Σε ότι αφορά την μέτρηση χώρου και διαστάσεων, το σύστημα κλασμάτων των Ρωμαίων βασίζονταν στο 12, και από εκεί προέκυψε η ουγγιά. Στο βρετανικό αυτοκρατορικό σύστημα μέτρησης το αυτοκρατορικό πόδι απαρτίζεται από 12 ίντσες, μια λίβρα τρόυ αποτελείται από 12 ουγγιές τρόυ, ένα βρετανικό σελίνι απαρτίζεται από 12 παλαιές βρετανικές πένες, ενώ στο νομισματικό σύστημα υπήρχαν διάφορες επιπλέον υποδιαιρέσεις και πολλαπλάσια (π.χ. 240 πένες = 20 σελίνια). Το δεκαδικό σύστημα με την μορφή του μετρικού συστήματος αντικατέστησε σε μεγάλο βαθμό το δωδεκαδικό με προέλευση την Γαλλία, καθώς ιδιαίτερα μετά την γαλλική επανάσταση οι Γάλλοι επαναστάτες υπήρξαν ακραία υπέρ του δεκαδικού συστήματος αντικαθιστώντας το δωδεκαδικό παντού και φτάνοντας έως το σημείο να ορίσουν εβδομάδες 10 ημερών (γαλλικό δημοκρατικό ημερολόγιο) και ώρες των 100 λεπτών.

Στην χρωματική κλίμακα, υπάρχουν 12 τονικά ύψη σε χαμηλές και υψηλές νότες, κάτι που πηγάζει από την αρχική μουσική κλίμακα των Πυθαγορείων.

Αναπαραστάσεις ψηφίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εναλλακτική μορφή αναπαράστασης του έντεκα στο δωδεκαδικό σύστημα με την μορφή του ανεστραμμένου 3

Σε κάποιες μορφές του δωδεκαδικού συστήματος, ο αριθμός δέκα γράφεται με την μορφή καθέτως ανεστραμμένου 2, ενώ ο αριθμός έντεκα ως καθέτως ανεστραμμένο 3. Η χρήση των συμβόλων αυτών είναι βρετανικής προέλευσης,[6] και τα σύμβολα αυτά διαθέτουν την δική τους καταχώρηση στο πρότυπο Unicode από τον Ιούνιο του 2015 (↊ με κωδικό 218A, και ↋ με κωδικό 218B).[7][8]Μια παλαιότερη μορφή αναπαραστάσεων αμερικανικής προέλευσης αποτελούν τα σύμβολα X και ℰ.[9] Γενικά οι παραστάσεις αυτές προέρχονται από συλλόγους δωδεκαδιστών οι οποίοι δραστηριοποιούνται στην προώθηση και εκμάθηση του δωδεκαδικού συστήματος αρίθμησης με απώτατο στόχο την αντικατάσταση του δεκαδικού συστήματος με το δωδεκαδικό.[10][11]

Κατά την σύμβαση με τις υπόλοιπες αναπαραστάσεων ψηφίων αριθμητικών βάσεων μεγαλύτερων του 10, εναλλακτικά χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, έτσι το δέκα αναπαριστάται ως A και το έντεκα ως B.

Υπάρχουν διάφορες άλλες αναπαραστάσεις, και σε κάποιες από αυτές τις περιπτώσεις χρησιμοποιείται το ελληνικό γράμμα δέλτα (δ) για το δέκα, και το ταυ (τ) ή έψιλον (ε) για το έντεκα.[12]

Πίνακες τιμών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αντιστοιχία δωδεκαδικών με δεκαδικούς αριθμούς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εκατοντάδες χιλ. Μυριάδες Χιλιάδες Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες Υπομονάδες Υποδεκάδες
100.00010 49A5412 10.00010 595412 1.00010 6B412 10010 8412 1010 A12 110 112 0,110 0,1249712 0,0110 0,015343A0B62A68781B05912
200.00010 978A812 20.00010 B6A812 2.00010 11A812 20010 14812 2010 1812 210 212 0,210 0,249712 0,0210 0,02A68781B05915343A0B612
300.00010 12574012 30.00010 1544012 3.00010 18A012 30010 21012 3010 2612 310 312 0,310 0,3724912 0,0310 0,043A0B62A68781B05915312
400.00010 17359412 40.00010 1B19412 4.00010 239412 40010 29412 4010 3412 410 412 0,410 0,497212 0,0410 0,05915343A0B62A68781B12
500.00010 20142812 50.00010 24B2812 5.00010 2A8812 50010 35812 5010 4212 510 512 0,510 0,612 0,0510 0,0724912
600.00010 24B28012 60.00010 2A88012 6.00010 358012 60010 42012 6010 5012 610 612 0,610 0,724912 0,0610 0,08781B05915343A0B62A612
700.00010 29911412 70.00010 3461412 7.00010 407412 70010 4A412 7010 5A12 710 712 0,710 0,8497212 0,0710 0,0A0B62A68781B0591534312
800.00010 326B6812 80.00010 3A36812 8.00010 476812 80010 56812 8010 6812 810 812 0,810 0,9724 0,0810 0,0B62A68781B05915343A12
900.00010 374A0012 90.00010 4410012 9.00010 526012 90010 63012 9010 7612 910 912 0,910 0,A972412 0,0910 0,10B62A68781B05915343A12
1.000.00010 40285412 100.00010 49A5412 10.00010 595412 1.00010 6B412 10010 8412 1010 A12 110 112 0,1010 0,1249712
1.010.00010 4085A812 110.00010 537A812 11.00010 644812 1.10010 77812 11010 9212 1110 B12 1,110 1,124A 0,1110 0,11000000000212
1.020.00010 41234012 120.00010 5954012 12.00010 6B4012 1.20010 84012 12010 A012 1210 1012 1,210 1,249712 0,1210 0,11BBBBBBBBBA12

Πίνακας πολλαπλασιασμού[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Dozenal multiplication table.png

Δυνάμεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εκθέτης 2 3 4 5 6 7
Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ. Δεκ. Δωδ.
6 64 54 729 509 4.096 2454 15.625 9.061 46.656 23.000 117.649 58.101
5 32 28 243 183 1.024 714 3.125 1.985 7.776 4.600 16.807 9.887
4 16 14 81 69 256 194 625 441 1.296 900 2.401 1.481
3 8 8 27 23 64 54 125 B5 216 160 343 247
2 4 4 9 9 16 14 25 21 36 30 49 41
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
−1 0,5 0,6 0,3 0,4 0,25 0,3 0,2 0,2497 0,16 0,2 0,142857 0,186B35
−2 0,25 0,3 0,1 0,14 0,0625 0,09 0,04 0,05915343B0
A62B68781A
0,027 0,04 0,0204081632653
06122448979591
836734693877551
0,02A322547B05B
644B9380A908996
741A615771283A

Κλάσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεκαδική βάση
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 5
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από την βάση: 3
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από την βάση: 11
Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
Δωδεκαδική βάση
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί της βάσης: 2, 3
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός κάτω από την βάση: A
Παράγοντες πρώτοι αριθμοί ενός πάνω από την βάση: 11
Όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι: 7
Κλάσμα Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Θεσιακή αναπαράσταση Θεσιακή αναπαράσταση Παράγοντες πρώτοι αριθμοί παρονομαστή Κλάσμα
1/2 2 0,5 0,6 2 1/2
1/3 3 0,3 0,4 3 1/3
1/4 2 0,25 0,3 2 1/4
1/5 5 0,2 0,2497 5 1/5
1/6 2, 3 0,16 0,2 2, 3 1/6
1/7 7 0,142857 0,186B35 7 1/7
1/8 2 0,125 0,16 2 1/8
1/9 3 0,1 0,14 3 1/9
1/10 2, 5 0,1 0,12497 2, 5 1/B
1/11 11 0,09 0,1 A 1/A
1/12 2, 3 0,083 0,1 2, 3 1/10
1/13 13 0,076923 0,0A 11 1/11
1/14 2, 7 0,0714285 0,0B35186 2, 7 1/12
1/15 3, 5 0,06 0,09724 3, 5 1/13
1/16 2 0,0625 0,09 2 1/14
1/17 17 0,0588235294117647 0,08579214A36429B7 15 1/15
1/18 2, 3 0,05 0,08 2, 3 1/16
1/19 19 0,052631578947368421 0,076A45 17 1/17
1/20 2, 5 0,05 0,07249 2, 5 1/18
1/21 3, 7 0,047619 0,06B3518 3, 7 1/19
1/22 2, 11 0,045 0,06 2, A 1/1B
1/23 23 0,0434782608695652173913 0,06316948421 1A 1/1A
1/24 2, 3 0,0416 0,06 2, 3 1/20
1/25 5 0,04 0,05915343B0A62B68781A 5 1/21
1/26 2, 13 0,0384615 0,056 2, 11 1/22
1/27 3 0,037 0,054 3 1/23
1/28 2, 7 0,03571428 0,05186B3 2, 7 1/24
1/29 29 0,0344827586206896551724137931 0,04A7 25 1/25
1/30 2, 3, 5 0,03 0,04972 2, 3, 5 1/26
1/31 31 0,032258064516129 0,0478BB093598166A74311A28623B55 27 1/27
1/32 2 0,03125 0,046 2 1/28
1/33 3, 11 0,03 0,04 3, A 1/29
1/34 2, 17 0,02941176470588235 0,0429B708579214A36 2, 15 1/2B
1/35 5, 7 0,0285714 0,0414559A3931 5, 7 1/2A
1/36 2, 3 0,027 0,04 2, 3 1/30

Άρρητοι αριθμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αλγεβρικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα
√2 (το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου 1x1) 1,41421356237309,,, (≈ 1,4142) 1,4A79170B07A857,,, (≈ 1,5)
√3 (το μήκος της διαγωνίου του κύβου, ή το διπλάσιο του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου) 1,73205080756887,,, (≈ 1,732) 1,894A97AA968704,,, (≈ 1,895)
√5 (το μήκος της διαγωνίου σε ορθογώνιο 1×2) 2,2360679774997,,, (≈ 2,236) 2,29AA132540589,,, (≈ 2,2B)
φ (η χρυσή τομή = ) 1,6180339887498,,, (≈ 1,618) 1,74AA6772802B4,,, (≈ 1,75)
Υπερβατικοί άρρητοι αριθμοί Δεκαδικό σύστημα Δωδεκαδικό σύστημα
π (αναλογία της περιφέρειας προς την διάμετρο) 3,1415926535897932384626433
8327950288419716939937510,,,
(≈ 3,1416)
3,184809493A918664573B6211A
A151551B05729290B7809B492,,,
(≈ 3,1848)
e (η βάση του φυσικού λογάριθμου) 2,718281828459045,,, (≈ 2,718) 2,8752360698219A8,,, (≈ 2,875)

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Nishikawa, Yoshiaki (2002). «ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System)». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις March 29, 2008. https://web.archive.org/web/20080329150110/http://www.kankyok.co.jp/nue/nue11/nue11_01.html. Ανακτήθηκε στις 2008-03-24 
  2. Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-39340-1. . Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.
  3. Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press, σελ. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8. https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92. 
  4. Matsushita, Shuji (1998). «Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration». 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-10-05. https://web.archive.org/web/20081005230737/http://www3.aa.tufs.ac.jp/~P_aflang/TEXTS/oct98/decimal.html. Ανακτήθηκε στις 2011-05-29. 
  5. Mazaudon, Martine (2002). «Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes». Στο: François, Jacques, επιμ. La Pluralité. Leuven: Peeters, σελ. 91–119. ISBN 90-429-1295-2. http://lacito.vjf.cnrs.fr/documents/publi/num_WEB.pdf. 
  6. Pitman, Isaac (ed.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860
  7. «Unicode 8.0.0». Unicode Consortium. http://unicode.org/versions/Unicode8.0.0/. Ανακτήθηκε στις 2016-05-30. 
  8. «The Unicode Standard 8.0». http://www.unicode.org/charts/PDF/U2150.pdf. Ανακτήθηκε στις 2014-07-18. 
  9. Andrews, Frank Emerson (1935). New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal (12) Base Would Simplify Mathematics, σελ. 52. https://books.google.com/books?id=zfXuAAAAMAAJ&q=eleven. 
  10. «The Dozenal Society of America | Promoting base twelve and alternative base mathematics» (στα αγγλικά). www.dozenal.org. http://www.dozenal.org/. Ανακτήθηκε στις 2017-09-27. 
  11. «DSGB». www.dozenalsociety.org.uk. http://www.dozenalsociety.org.uk/. Ανακτήθηκε στις 2017-09-27. 
  12. De Vlieger, Michael (2010). «Symbology Overview». The Duodecimal Bulletin 4X [59] (2). http://www.dozenal.org/drupal/sites_bck/default/files/DuodecimalBulletinIssue4a2_0.pdf. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα