Συμμετρικός πίνακας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που είναι ίσος με τον ανάστροφό του , . Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων είναι συμμετρικός αν και μόνο αν για κάθε .[1]:36[2]:8[3]:16[4]:35[5]:68[6]:190

Η γενική μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διαστάσεων για , είναι:

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους σε έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα του συμμετρικός πίνακας.

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι συμμετρικοί πίνακες

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας ενός συμμετρικού πίνακα είναι συμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον .
  • Το άθροισμα δύο συμμετρικών πινάκων , είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς .
  • Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός συμμετρικού πίνακα και ενός στοιχείου είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς .
  • Το φασματικό θεώρημα λέει ότι ένας πίνακας είναι ορθογώνια διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν είναι συμμετρικός.[1]:165[5]:81
  • Για κάθε πίνακα , ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς .[1]:37[6]:195
  • Για κάθε πίνακα , ο πίνακας είναι συμμετρικός, καθώς .[1]:197[6]:195 Προκύπτει ότι κάθε πίνακας μπορεί να γραφτεί ως για συμμετρικό πίνακα και αντισυμμετρικό πίνακα .[6]:196
  • Για κάθε πραγματικό συμμετρικό πίνακα , οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί.[1]:136

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8. 
  2. Βουκούτης, Ν. Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου. Αθήνα: Δημόκριτος. 
  3. Βασιλειάδης, Π. (1983). Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις. Θεσσαλονίκη. 
  4. Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου. 
  5. 5,0 5,1 Μυριτζής, Ιωάννης (2015). Δυναμικά συστήματα. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7. 
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 Μπράτσος, Α. (2015). Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7. 
  7. Παπαδημητράκης, Μιχάλης. «Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 22 Αυγούστου 2022.