Συμμετρικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας $A$ που είναι ίσος με τον ανάστροφό του $A^{T}$, $A=A^{T}$. Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων $n\times n$ είναι συμμετρικός αν και μόνο αν $A_{ij}=A_{ji}$ για κάθε $1\leq i,j\leq n$.

Η γενική μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διαστάσεων $n\times n$ για $n=2,3,4$, είναι:

$\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{A_{23}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}&\color {orange}{A_{14}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{A_{23}}&\color {purple}{A_{24}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}&\color {magenta}{A_{34}}\\\color {orange}{A_{14}}&\color {purple}{A_{24}}&\color {magenta}{A_{34}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},$

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους σε έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα του συμμετρικός πίνακας.

Παραδείγματα

• Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι συμμετρικοί πίνακες

${\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.$

• Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός. Ως διαγώνιοι ο ταυτοτικός πίνακας $I_{n}$ και ο μηδενικός πίνακας $\mathbf {0} _{n\times n}$ είναι συμμετρικός.
• Ένας μη-κατευθυνόμενος γράφος έχει συμμετρικό πίνακα γειτνίασης υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών $i$ και $j$ αν και μόνο αν υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών $j$ και $i$.
• Ο Εσσιανός πίνακας μίας συνάρτησης $f$ με συνεχείς δεύτερες μερικούς παραγώγους, είναι συμμετρικός.

Ιδιότητες

• Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας $A^{T}$ ενός συμμετρικού πίνακα $A$ είναι συμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον $A$.
• Το άθροισμα δύο συμμετρικών πινάκων $A$, $B$ είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=A+B$.
• Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός συμμετρικού πίνακα $A$ και ενός στοιχείου $c$ είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς $(cA)^{T}=cA^{T}=cA$.
• Το φασματικό θεώρημα λέει ότι ένας πίνακας είναι ορθογώνια διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν είναι συμμετρικός.
• Για κάθε πίνακα $A$, οι πίνακες $A^{T}A$ και $AA^{T}$ είναι συμμετρικοί.
• Για κάθε πίνακα $A$, ο πίνακας $A+A^{T}$ είναι συμμετρικός, καθώς $(A+A^{T})^{T}=A^{T}+(A^{T})^{T}=A^{T}+A=A+A^{T}$. Προκύπτει ότι κάθε πίνακας $A$ μπορεί να γραφτεί ως $A=B+C$ για συμμετρικό πίνακα $B={\tfrac {1}{2}}\cdot (A+A^{T})$ και αντισυμμετρικό πίνακα $C={\tfrac {1}{2}}\cdot (A-A^{T})$.
• Για κάθε πραγματικό συμμετρικό πίνακα $A$, οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί.

Απόδειξη  

Έστω $\lambda$ μία ιδιοτιμή και $v$ ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτή την ιδιοτιμή. Τότε,

$Av=\lambda v.$

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με $v^{\dagger }$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}v^{\dagger }Av=\lambda \cdot v^{\dagger }v&\Rightarrow (v^{\dagger }Av)^{\dagger }=(\lambda \cdot v^{\dagger }v)^{\dagger }\\&\Rightarrow v^{\dagger }A^{\dagger }v=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow v^{\dagger }(Av)=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow \lambda v^{\dagger }v=\lambda ^{*}\cdot v^{\dagger }v\\&\Rightarrow (\lambda -\lambda ^{*})v^{\dagger }v=0\\&\Rightarrow \lambda =\lambda ^{*}.\end{aligned}}$

Δείτε επίσης

• Αντισυμμετρικός πίνακας
• Αυτοπροσαρτηµένος πίνακας