Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Στη θεωρία αριθμών, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (ορισμένες φορές ονομάζεται Υπόθεση του Φερμά, κυρίως σε παλαιότερα κείμενα) διατυπώνεται ως εξής: τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b, και c δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την εξίσωση an + bn = cn για κάθε ακέραιο αριθμό n μεγαλύτερο από το δύο. Επομένως, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να εκφραστεί: Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις Το θεώρημα αυτό διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1637 από τον Φερμά, το οποίο διατυπώθηκε ως σημείωση στο βιβλίο Αριθμητικά του Διόφαντου, όπου ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι έχει την απόδειξη του θεωρήματος αλλά είναι τόσο μεγάλη που δεν χωρούσε στη σημείωση. Καμία επιτυχής απόδειξη δεν δημοσιεύθηκε μέχρι το 1995, παρά τις προσπάθειες των αμέτρητων μαθηματικών κατά τα 358 χρόνια που μεσολάβησαν. Το άλυτο αυτό πρόβλημα συνδέεται άμεσα με την πρόοδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών το 19ο αιώνα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν την απόδειξη του 1995 από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Ρίτσαρντ Τέιλορ βρισκόταν στο Βιβλίο Γκίνες ως το "πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

Πίνακας περιεχομένων

Επισκόπηση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το πρόβλημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (γνωστό με τον τίτλο αυτό ιστορικά, αν και τεχνικά επρόκειτο για μια εικασία ή για αναπόδεικτες εικασίες, μέχρι να αποδειχθεί το 1995) αποτελούσε ένα άλυτο αίνιγμα στα μαθηματικά για πάνω από τρεις αιώνες. Το θεώρημα μόνο του είναι μια απατηλά απλή διατύπωση μέσα στα μαθηματικά, ενώ ο Φερμά περίφημα είχε δηλώσει ότι το πρόβλημα είχε αποδείξει άρα λύθηκε περίπου 1637. Η αξίωσή του ανακαλύφθηκε περίπου 30 χρόνια αργότερα, μετά το θάνατό του, ως μία ξεκάθαρη δήλωση στο περιθώριο ενός βιβλίου, αλλά ο Φερμά πέθανε χωρίς να αφήσει καμία απόδειξη όσον αφορά την αξίωση του.

Η αξίωση αυτή έγινε τελικά ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των μαθηματικών. Οι προσπάθειες που έγιναν για να αποδειχθεί κατά τη διάρκεια του χρόνου που ακολούθησε, μέχρι τη δημοσίευση της επιτυχημένης απόδειξης, προκάλεσε ουσιαστική ανάπτυξη στην θεωρία αριθμών και με την πάροδο του χρόνου το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποκτήσει θρυλική εξέχουσα θέση ως ένα από τα πιο δημοφιλή άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Βασίζεται στο γνωστό τύπο του (" Πυθαγόρειου Θεωρήματος") για την υποτείνουσα και τις δύο άλλες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που ανακαλύφθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα : a2 + b2 = c2

Σύμφωνα με τα δεδομένα αυτά, η εξίσωση έχει ένα άπειρο πλήθος ακεραίων λύσεων, που αντιστοιχούν στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι είχε μια απόδειξη ότι αυτό το θεώρημα δεν έχει λύσεις κάποιον φυσικό αριθμό (ή «ακέραιο») για κάθε ακέραιο εκθέτη μεγαλύτερο από το 2. Με άλλα λόγια αν η εξίσωση a2 + b2 = c2 έχει άπειρο πλήθος λύσεων, οι παρόμοιες εξισώσεις

a3 + b3 = c3
a4 + b4 = c4
an + bn = cn

για οποιονδήποτε άλλο εκθέτη n μεγαλύτερο του 2 δεν έχει λύσεις. Ο Φερμά δεν άφησε καμία απόδειξη της εικασίας του για όλα τα n>2, εκτός από την ειδική περίπτωση για n=4.

Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση
x^n + y^n = z^n, όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι
δεν έχει λύση.

Επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ένα παράδειγμα είναι το εξής:

Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x, y, και z, τέτοιοι ώστε x^n + y^n = z^m, όπου n και m πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.

Μεταγενέστερες εξελίξεις και η απόδειξη του θεωρήματος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Με την ειδική περίπτωση n = 4 αποδεδειγμένη, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί το θεώρημα για εκθέτες n, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (ο περιορισμός αυτός θεωρείται τετριμμένος για να αποδεχθεί αφού: αν n δεν είναι πρώτος αριθμός τότε θα ήταν δυνατό να γραφεί με τη μορφή n = PQ, όπου P είναι ένας πρώτος αριθμός, και στη συνέχεια ισχύει an = aP.Q = (aQ)P για καθέναν από τους a,b και c και μια ισοδύναμη λύση, θα μπορούσε να υπάρχει για μία μικρότερη πρώτη δύναμη. Κατά τη διάρκεια των δύο επόμενων αιώνων (1637-1839), η εικασία έχει αποδειχθεί μόνο για τους πρώτους 3, 5, και 7, αν και η Σοφί Ζερμαίν καινοτόμησε και κατόρθωσε να προσεγγίσει μια απόδειξη που θα αφορούσε μια ολόκληρη κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ερνστ Κούμερ επέκτεινε την απόδειξη της Ζερμαίν και, επίσης, απέδειξε το θεώρημα για όλες κανονικούς πρώτους αριθμούς, αφήνοντας τους ακανόνιστους να αναλυθούν μεμονωμένα. Με βάση τις εργασίες του Κούμερ και τη χρήση εξελιγμένων μελετών με τη βοήθεια υπολογιστών, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να επεκτείνουν την απόδειξη για να καλύψουν όλους τους πρώτους εκθέτες μέχρι τέσσερα εκατομμύρια, αλλά μια απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν απρόσιτη εκείνη την περίοδο για τη μαθηματική κοινότητα (πράγμα που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούν μια απόδειξη μπορεί να είναι είτε αδύνατη, ή στην καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά δύσκολη, ή δεν είναι εφικτή με τις σημερινές γνώσεις).

Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στο σύνολό της, για όλα τα n, τελικά επιτεύχθηκε, μετά από 358 χρόνια, από τον Άντριου Γουάιλς, το 1995, ένα επίτευγμα για το οποίο τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία. Η λύση ήρθε με έμμεσο τρόπο, από έναν εντελώς διαφορετικό τομέα των μαθηματικών.

Περίπου το 1955 οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γιουτάκα Τανιγιάμα διατύπωσαν την εικασία ύπαρξης σχέσης μεταξύ των ελλειπτικών καμπυλών και των modular forms, δύο εντελώς διαφορετικών περιοχών των μαθηματικών. Η αξίωση αυτή που έμεινε γνωστή ως Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουάιλς εικασία, και τελικά ως θεώρημα των modular forms, το οποίο εντάσσεται στον τομέα της μιγαδικής ανάλυσης, θεωρούνταν ανεξάρτητη, χωρίς προφανή σύνδεση με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Είχε ευρέως θεωρηθεί ως σπουδαίο μαθηματικό πρόβλημα, αλλά ήταν (όπως και εξίσωση του Φερμά) εντελώς απρόσιτο στην απόδειξη του.

Το 1984, ο Ζέραντ Φρέι παρατήρησε μια προφανή σχέση μεταξύ του θεωρήματος των modular forms και του Τελευταίου θεώρηματος του Φερμά. Αυτή η πιθανή σχέση επιβεβαιώθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον Κεν Ρίμπετ. Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς, ο οποίος είχε γοητευθεί από τα 10 του χρόνια με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αποφάσισε ακούγοντας αυτό, να προσπαθήσει και να αποδείξει το θεώρημα των modular forms, πιστεύοντας ότι επρόκειτο για έναν τρόπο ώστε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, μετά από έξι χρόνια, όπου εργάζεται κρυφά πάνω στο πρόβλημα, ο Γουάιλς κατόρθωσε να αποδείξει αρκετά για το θεώρημα των modular forms ώστε να φθάσει στη λύση του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Η απόδειξη του Γουάιλς ήταν τεράστια σε μέγεθος και σε πεδίο εφαρμογής. Ένα ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα τμήμα του αρχικού εγγράφου του κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομότιμους και απαιτείται ένα επιπλέον έτος και η συνεργασία του με έναν παλαιότερο φοιτητής, τον Ρίτσαρντ Τέιλορ για την διόρθωσή του. Ως αποτέλεσμα η τελική απόδειξη το 1995 συνοδεύτηκε από ένα δεύτερο, μικρότερο έγγραφο για την επίλυση του προβλήματος αυτού. Το επίτευγμα του Γουάιλς είχε αναφερθεί ευρέως στον Τύπο, και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη του θεωρήματος των modular forms στη συνέχεια αποδείχθηκαν από άλλους μαθηματικούς, με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, μεταξύ 1996 και 2001.

Άντριου Γουάιλς

Μαθηματική αναδρομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πυθαγόρας και Διόφαντος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πυθαγόρειες τριάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια Πυθαγόρεια τριάδα - το όνομά της οποίας προέρχεται από τον αρχαίο Έλληνα Πυθαγόρα - είναι ένα σύνολο τριών ακεραίων (a, b, c) που ικανοποιούν την εξίσωση του Fermat στην ειδική περίπτωση (n = 2)[1].

a^2 + b^2 = c^2.\

Παραδείγματα πυθαγόρειων τριάδων είναι (3, 4, 5) και (5, 12, 13). Υπάρχουν άπειρα παραδείγματα τέτοιων τριάδων [2] και οι μέθοδοι παραγωγής τέτοιων τριάδων μελετήθηκαν από πολλούς πολιτισμούς ξεκινώντας από τους Βαβυλώνιους [3] και αργότερα από Έλληνες, Γιαπωνέζους και Ινδούς μαθηματικούς. [4] Το διαχρονικό ενδιαφέρον για τις πυθαγόρειες τριάδες συνδέεται στενά με το Πυθαγόρειο θεώρημα ;[5] στην παραγωγική μορφή μορφή τους, αφού αναφέρεται ότι ένα τρίγωνο με πλευρές a, b, και c έχει μία ορθή γωνία μεταξύ των a και b πλευρών όταν οι αριθμοί προέρχονται από πυθαγόρειες τριάδες. Τα ορθογώνια τρίγωνα εμφανίζουν πολλές πρακτικές εφαρμογές όπως στην τοπογραφία, στην ξυλουργία, στην τοιχοποιία και στις κατασκευές. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι μια επέκταση αυτού του προβλήματος σε ανώτερες δυνάμεις, δηλώνοντας ότι δεν υπάρχει λύση όταν ο εκθέτης 2 αντικαθίσταται από οποιοδήποτε μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό.

Διοφαντικές εξισώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η εξίσωση του Φερμά, xn + yn = zn με θετικές ακέραιες λύσεις είναι ένα παράδειγμα διοφαντικής εξίσωσης, [6], η οποία χαρακτηρίστηκε με αυτή την ονομασία τον 3ο αιώνα από τον Αλεξανδρινό μαθηματικό, Διόφαντο ο οποίος τις μελέτησε και κατόρθωσε να αναπτύξει την μέθοδο εύρεσης λύσεων για κάποια είδη αυτών των εξισώσεων. Ένα τυπικό διοφαντικό πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο ακέραιοι αριθμοί x και y έτσι ώστε το άθροισμά τους, και το άθροισμα των τετραγώνων τους, να είναι ίσοι με δύο δοθούντες αριθμούς A και B, αντίστοιχα:

A = x + y\
B = x^2 + y^2.\

Σημαντικό έργο του Διόφαντου είναι το Αριθμητικά, εκ του οποίου μόνο ένα μέρος έχει επιβιώσει.[7] Ο Φερμά εμπνεύστηκε την εικασία του τελευταίου θεωρήματός του διαβάζοντας μια νέα έκδοση του Αριθμητικά,[8] η οποία μεταφράστηκε στα λατινικά και δημοσιεύτηκε το 1621 από τον Κλαούντ Μπακέτ. [9]

Οι Διοφαντικές εξισώσεις μελετούνται εδώ και χιλιάδες χρόνια. Για παράδειγμα, οι λύσεις για την τετραγωνική διοφαντική εξίσωση x2 + y2 = z2 δόθηκε από τις Πυθαγόρειες τριάδες, στην πραγματικότητα λύθηκε από τους Βαβυλώνιους περίπου το 1800 π.Χ. [10] Λύσεις για τις γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις όπως η 26x + 65y = 13, μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (5ος αιώνας π.Χ.). [11] Πολλές διοφαντικές εξισώσεις έχουν παρόμοια μορφή με αυτήν των εξισώσεων του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά από την άποψη της Άλγεβρας, υπό την έννοια ότι δεν έχουν αντίστοιχους όρους με την ανάμειξη δύο γραμμάτων, χωρίς να μοιράζονται τις συγκεκριμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι x, y, και z τέτοιο ώστε xn + yn = zm όπου n και m φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.[note 1]

Εικασία του Φερμά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πρόβλημα II.8 στην έκδοση του 1621 του "Αριθμητικά" του Διόφαντου. Στα δεξιά βρίσκεται η περίφημη σημείωση η οποία είναι πολύ μικρή για να περιέχει την υποτιθέμενη απόδειξη του Φερμά για το "τελευταίο του θεώρημα".

Το Πρόβλημα II.8 του Αριθμητικά, θέτει το ερώτημα για τον τρόπο με τον οποίο το τετράγωνο ενός δοσμένου αριθμοί μπορεί να χωριστεί σε δύο άλλα τετράγωνα, με άλλα λόγια για έναν ρητό αριθμό k, βρείτε τους ρητούς αριθμούς u και v ώστε k2 = u2 + v2. Ο Διόφαντος απέδειξε πως λύνεται η παραπάνω εξίσωση για k = 4 (η λύση είναι u = 16/5 και v = 12/5).[12]

Γύρω στο 1637, ο Φερμά έγραψε το τελευταίο του θεώρημα ως σημείωση στο "Αριθμητικά" δίπλα στο πρόβλημα του αθροίσματος των τετραγώνων του Διόφαντου. [13]

Δεν είναι γνωστό αν Fermat είχε βρει πραγματικά μια έγκυρη απόδειξη. Η απόδειξη του για την περίπτωση (n = 4) έχει μόνο επιβιώσει. [14] Ο Φερμά θέτει τις υποθέσεις των περιπτώσεων n = 4 και n = 3 ως προκλήσεις για τους μαθηματικούς ανταποκριτές του όπως ο Μαρίν Μερσέν, ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τζον Γουάλις. [15] Ωστόσο, τα τελευταία τριάντα χρόνια της ζωής του, π Φερμά δεν ξανά έγραψε για την "πραγματικά θαυμάσια απόδειξη" του στην γενική της περίπτωση.

Μετά το θάνατο του Φερμά, ο γιος του Κλεμάντ-Σάμουελ Φερμά παρήγαγε μια νέα έκδοση του βιβλίου (1670), επαυξημένη με τα σχόλια του πατέρα του. [16] Η σημείωση στο περιθώριο έγινε γνωστή ως τελευταίο θεώρημα του Φερμά [17] αφού πρόκειται για το θεώρημα του Φερμά που αποδείχθηκε τελευταίο.[18]

Οι αποδείξεις για συγκεκριμένους εκθέτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μόνο μία μαθηματική απόδειξη για το θεώρημα από τον Φερμά έχει διασωθεί, στην οποία ο Φερμά χρησιμοποιεί την τεχνική της άπειρης καθόδου για να δείξει ότι η περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες πλευρές δεν μπορεί ποτέ να ισούται με το τετράγωνο του ακεραίου.[19] Η απόδειξη του είναι ισοδύναμη με την απόδειξη ότι η εξίσωση

x^4 - y^4 = z^2

δεν έχει πρωτόγονες λύσεις σε ακέραιους αριθμούς. Με τη σειρά του, αυτό αποδεικνύει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για την περίπτωση n=4, δεδομένου ότι η εξίσωση a4 + b4 = c4 μπορεί να γραφτεί ως c4b4 = (a2)2.

Εναλλακτικές αποδείξεις της υπόθεσης n = 4 αναπτύχθηκαν αργότερα από τους[20] Frénicle de Bessy (1676),[21] Λέοναρντ Όιλερ (1738),[22] Κάσλερ (1802)[23] Peter Barlow (1811),[24] Αντριάν Μαρί Λαζάντρ (1830)[25] Schopis (1825),[26] Τερκέμ (1846)[27] Τζόζεφ Λουί Φρανσουά Μπερτράντ (1851) [28] Βίκτορ Λεμπέσγκ (1853, 1859, 1862),[29] Θεοφίλ Πεπίν (1883),[30] Tafelmacher (1893),[31] Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1897),[32] Μπέντζ (1901),[33] Gambioli (1901),[34] Λεοπόλδ Κρόνεκερ (1901),[35] Μπάνγκ (1905),[36] Σόμμερ (1907),[37] Μποτάρρι (1908),[38] Κάρελ Ρίκλικ (1910),[39] Νατζορν (1912),[40] Ρόμπερτ Κάρμιχαλ (1913),[41] Χάνκονκ (1931),[42] και Βράνκο (1966).[43]

Μετά την απόδειξη του Φερμά για την περίπτωση n = 4, η γενική υπόθεση για όλα τα n απαιτεί μόνο ότι το θεώρημα για καθοριστούν για όλους τους περιττούς πρώτους εκθέτες. [44] Με άλλα λόγια ήταν απαραίτητο να αποδείξει μόνον ότι η εξίσωση an + bn = cn δεν έχει ακέραιες λύσεις (a, b, c) όταν n είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός. Αυτό προκύπτει επειδή μία λύση (abc) για ένα δοσμένο n είναι ισοδύναμη με μια λύση για όλους τους παράγοντες του n. Για παράδειγμα, ο n παραγοντοποιείται από τους d και e n = de. Η γενική εξίσωση είναι

an + bn = cn

συνεπάγεται ότι (adbdcd) είναι μία λύση για έναν εκθέτη e.

(ad)e + (bd)e = (cd)e.

Για να αποδειχθεί ότι η εξίσωση του Φερμά δεν έχει λύσεις για n > 2 αρκεί να αποδειχθεί ότι δεν έχει λύσεις για τουλάχιστον ένα πρώτο παράγοντα του κάθε n. Όλοι οι ακέραιοι n > 2 περιέχει έναν παράγοντα του 4, ή ένα περιττό πρώτο αριθμό, ή και τα δύο. Ως εκ τούτου, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να αποδειχθεί για όλους τους n εάν μπορεί να αποδειχθεί για n = 4 και για όλους τους περιττούς πρώτους p.

Σοφί Ζερμαίν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στις αρχές του 19ου αιώνα, η Σοφί Ζερμαίν ανέπτυξε διάφορες νέες προσεγγίσεις για να αποδείξει το "Τελευταίο θεώρημα του Φερμά" για όλους εκθέτες.[45] Πρώτα, όρισε ένα σύνολο βοηθητικών πρώτων θ τους οποίους κατασκεύασε από τον πρώτο εκθέτη p από την εξίσωση θ = 2hp+1, όπου h είναι οποιοσδήποτε ακέραιος που δεν διαιρείται με το τρία. Έδειξε ότι, αν ένας μη ακέραιοι p υψωθεί στη pth δύναμη προκύπτει υπόλοιπο θ, τότε το θ πρέπει να διαιρεί το γινόμενο xyz. Στόχος της ήταν να χρησιμοποιήσει τη μαθηματική επαγωγή για να αποδείξει ότι, για κάθε δεδομένο p, απείρως πολλοί βοηθητικοί πρώτοι θ ικανοποιούν την κατάσταση της μη συνέχειας και διαιρούν το γινόμενο xyz, δεδομένου ότι το προϊόν 'xyz' μπορεί να έχουν το πολύ ένα πεπερασμένο αριθμό πρώτων παραγόντων, μια τέτοια απόδειξη θα μπορούσε να είχε καθιερώσει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αν και ανέπτυξε πολλές τεχνικές για τον καθορισμό της κατάστασης της μη συνέχειας, δεν πέτυχε τον στρατηγικό στόχο της. Εργάστηκε επίσης ώστε να καθιερωθούν χαμηλότερα όρια για το μέγεθος των λύσεων της εξίσωσης του Φερμά για έναν δεδομένο εκθέτη p, μια τροποποιημένη έκδοση του οποίου δόθηκε στη δημοσιότητα από την Αντριάν Μαρί Λεζάντρ. Ως πόρισμα αυτής της τελευταίας εργασίας, απέδειξε το θεώρημα της Σοφί Ζερμαίν, η οποία επιβεβαίωσε την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά (δηλαδή, στην περίπτωση κατά την οποία το p δεν διαιρεί το xyz) για κάθε περιττό πρώτο εκθέτη λιγότερο από 100.[45][46] H Ζερμαίν προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποδείξει την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά για όλους τους εκθέτες, ειδικά για n = 2p το οποίο αποδείχθηκε από τον Γκάι Τερζανιάν το 1977. [47] Το 1985, ο Λεονάρντ Άντμαν, ο Ρότζερ Χεθ-Μράουν και ο Έτιεν Φουβριέ απέδειξε ότι η πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά ισχύει για απείρως πολλούς περιττούς πρώτους 'p'. [48]

O Ερνστ Κάμμερ και η θεωρία των ιδανικών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1847, Γκάμπριελ Λαμέ παρουσίασε μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά βασισμένη στους παράγοντες της εξίσωσης xp + yp = zp οι οποίοι ανήκουν στους μιγαδικούς αριθμούς, και συγκεκριμένα το κυκλοτομικό πεδίο με βάση τις ρίζες του αριθμού 1. Απόδειξη του απέτυχε, ωστόσο, επειδή θεωρείται εσφαλμένα ότι τέτοιες πολύπλοκες αριθμοί μπορεί να συνυπολογιστούν μοναδικά σε , παρόμοια με ακέραιους αριθμούς. Το κενό αυτό επισημάνθηκε αμέσως από τον Τζόζεφ Λούιβιγ, ο οποίος διαβάσετε αργότερα ένα χαρτί που έδειξε αυτή την αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης, που γράφτηκε από τον Ερνστ Κάμμερ. Ο Κάμμερ όρισε στον εαυτό του το έργο του κατά πόσον το κυκλοτομικό πεδίο θα μπορούσε να γενικευθεί συμπεριλαμβάνοντας νέους πρώτους αριθμούς, έτσι ώστε η μοναδική παραγοντοποίησης αποκαταστάθηκε. Πέτυχε στο έργο αυτό από την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη γενική προσέγγιση που περιγράφεται από Λαμέ, Κάμμερ απέδειξε και τις δύο υποθέσεις του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για όλους τους κανονικούς πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, δεν μπορούσε να αποδείξει το θεώρημα για τους μη κανονικούς πρώτων αριθμών που συμβαίνουν περίπου το 39% του χρόνου, οι μόνοι μη κανονικοί κάτω από 100 είναι 37, 59 και 67.

Εικασία του Μόρντελ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη δεκαετία του 1920, ο Λουί Μόρντελ θέτει μια εικασία που συνεπάγεται ότι η εξίσωση του Φερμά έχει το πολύ έναν πεπερασμένο αριθμό μη τετριμμένων πρώτων ακέραιων λύσεων, αν ο εκθέτης n είναι μεγαλύτερο από δύο. [49] Αυτή η υπόθεση αποδείχθηκε το 1983 από τον Ζερ Φόλτινγκ, ,[50] και σήμερα είναι γνωστή ως θεώρημα Faltings.

Υπολογιστικές μελέτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, οι υπολογιστικές μέθοδοι που είχαν χρησιμοποιήθηκαν για την επέκταση της προσέγγισης του Κάμμερ για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς. Το 1954, ο Χάρι Βανντιβερ χρησιμοποίησε ένα SWAC υπολογιστή για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για όλους τους πρώτους μέχρι τον 2521.[51] Μέχρι το 1978 , ο Samuel Wagstaff το είχε επεκτείνει σε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το 125.000.[52] Μέχρι το 1993, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είχε αποδειχθεί για όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από τέσσερα εκατομμύρια [53]

Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες αυτές και τα αποτελέσματά τους, δεν υπήρχε απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά . Οι αποδείξεις των μεμονωμένων εκθετών από τη φύση τους δεν θα μπορούσε να ισχύει γενικά ακόμα και αν όλοι οι εκθέτες είχαν ελεγχθεί μέχρι και σε ένα εξαιρετικά μεγάλο αριθμό Χ, μπορεί να υπάρχει ένας εκθέτη μεγαλύτερος του X που μπορεί να ο ισχυρισμός μπορεί μην ισχύει (Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο κάποιες προηγούμενες εικασίες δεν είχαν γίνει αποδεκτές και συνεπώς δεν θα μπορούσε να αναιρεθεί για αυτή την εικασία)

Σύνδεση με ελλειπτικές καμπύλες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η στρατηγική που τελικά οδήγησε σε μια επιτυχή απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά προέκυψε από την "εκπληκτική" [54] : 211 εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ, που προτάθηκε περίπου το 1955, και πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ότι ήταν σχεδόν αδύνατο να αποδειχθεί, [54] : 223 και η οποία συνδέθηκε στη δεκαετία του 1980 από τον Ζέραρντ Φρέι και τον Κεν Ρίμπετ με την εξίσωση του Φερμά. Με την μερική εκπλήρωση απόδειξη αυτής της εικασίας το 1995, ο Άντριου Γουάιλς τελικά κατόρθωσε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ανοίγοντας το δρόμο για μια πλήρη απόδειξη από τους άλλους για αυτό που είναι σήμερα το θεώρημα των modular forms.

Η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περίπου το 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γουτάκα Τανιγιάμα παρατήρησαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς ξεχωριστών, υποκατηγοριών των μαθηματικών, της ελλειπτικής καμπύλης και της  μιγαδικής μορφής . Το αποτέλεσμα ήταν η δημιουργία του θεωρήματος modular forms (παλαιότερα ήταν γνωστό ως η εικασία  Τανιγιάμα-Σιμούρα) το θεώρημα αυτό διατυπώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη σχετίζεται με τα modular forms, που σημαίνει ότι μπορεί να συνδέεται με μια μοναδική [[μιγαδική μορφή] ]. Αρχικά είχε απορριφθεί ως απίθανο ή πολύ υποθετικό, και είχε επανεξεταστεί όταν ο μαθηματικός André Weil βρήκε αποδεικτικά στοιχεία που το υποστηρίζουν, αλλά όχι την απόδειξη, με αποτέλεσμα η "εκπληκτική" [54] : 211 εικασία έγινε κυρίως γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Και έγινε ένα μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντ,το οποίο είναι μια λίστα με σημαντικές εικασίες που χρειάζονται απόδειξη ή διάψευση [54] : 211-215.

Ακόμα και μετά την απόκτηση σοβαρή προσοχή, η εικασία θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολο ή ίσως αδύνατο να αποδειχτεί.[54]:203-205, 223, 226Για παράδειγμα, Γουάιλς «ex -επόπτη Τζον Χ. Κόατσε δηλώνει ότι φαινόταν «πραγματικά αδύνατο να αποδειχθεί», [54]:226 και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «ένα από τα άτομα της τεράστιας πλειοψηφίας των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτα ", προσθέτοντας ότι ο Άντριου Γουάιλς ήταν ίσως ένας από τους λίγους ανθρώπους στη γη που είχαν το θράσος να ονειρεύονται ότι μπορεί πραγματικά να αποδειχθεί." [54]:223

Η εξίσωση του Φρέι/Θεώρημα Ρίμπετ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1984, ο Γκέρχαρντ Φρέι σημείωσε μια σύνδεση μεταξύ της εξίσωσης Φερμά και του θεωρήματος της κατασκευής των modular forms, που τότε ακόμα ήταν μια εικασία. Εάν η εξίσωση του Fermat είχε οποιαδήποτε λύση (a, b, c) για εκθέτης p > 2, τότε θα μπορούσε να αποδειχθεί ότι η θεωρία της ελλειπτικής καμπύλης (γνωστή σήμερα ως Φρέι καμπύλη). Η ελλειπτική καμπύλη προτάθηκε για πρώτη φορά στη δεκαετία του 1960 από τον Ιβ Ελεμπούαρχ, αλλά δεν τόνισε τη σημασία της μη ύπαρξης modular forms.

y2 = x (x − ap)(x + bp)

θα έχουν τέτοιες ασυνήθιστες ιδιότητες το οποίο θα ήταν απίθανο να είναι στοιχεία των modular forms. ref>Frey G (1986). "Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations". Ann. Univ. Sarav. Ser. Math. 1: 1–40. </ref> Αυτό θα ερχόταν σε αντίθεση με το θεώρημα modular forms, η οποία υποστήριξε ότι όλες οι ελλειπτικές καμπύλες είναι modular. Ως εκ τούτου, o Φρέι παρατήρησε ότι η απόδειξη των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία θα αποδειχθεί ταυτόχρονα με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. [55]

Ακολουθώντας αυτή τη στρατηγική, μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά απαιτούσε δύο βήματα. Πρώτον, ήταν απαραίτητο να δείξουμε ότι η υποψία του Φρέι ήταν σωστή: ότι εάν μια ελλειπτική καμπύλη δομήθηκε με τον τρόπο αυτό, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο αριθμών που ήταν μία λύση της εξίσωσης Φερμά, η ελλειπτική καμπύλη που προκύπτει δεν θα μπορούσε να είναι modular. O Φρέι δεν κατόρθωσε μια αυστηρή απόδειξη, το κομμάτι που έλειπε εντοπίσθηκε από τον Ζαν Πιέρ ΣερΠρότυπο:Cn και να αποδειχθεί το 1986 από τον Κεν Ρίμπετ. Δεύτερον, ήταν αναγκαίο να αποδειχθεί το θεώρημα των modular forms - ή, τουλάχιστον, να apodeixue;i για την υποκατηγορία των περιπτώσεων, η οποία περιελάμβανε την εξίσωση Φρέι - πιστεύεται ευρέως ότι ήταν απρόσιτη η απόδειξη,από τους σύγχρονους μαθηματικούς. [54]:203-205, 223, 226

  • Το θεώρημα του Ρίμπετ- αποδείχθηκε το 1986- έδειξε ότι αν μια λύση από την εξίσωση του Φερμά υπάρχει, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μιας ελλειπτικής καμπύλης που δεν ήταν modular
  • Το θεώρημα των modular forms - αν αποδειχθεί για την εξίσωση του Φρέι - θα σήμαινε ότι όλες οι ελλειπτικές καμπύλες είναι αναγκαστικά modular.
  • Η αντίφαση σημαίνει ότι δεν υπάρχουν λύσεις που μπορούν να υπάρξουν με την εξίσωση του Φερμά, αποδεικνύοντας έτσι Τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Γενική απόδειξη του Γουάιλς[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η απόδειξη του Ρίμπετ έψιλον εικασία το 1986 πραγματοποίησε το πρώτος από τους δύο στόχους που προτείνει ο Φρέι. Κατόπιν της επιτυχίας του Ρίμπε, ο Άντριου Γουάιλς , ένας Άγγλος μαθηματικός που είχε γοητευτεί από την παιδική ηλικία με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και με προγενέστερη μελέτη στο χώρο των ελλειπτικών εξισώσεων, αποφάσισε να δεσμευτεί με την επίτευξη το δεύτερου στόχο : να αποδειχθεί μια ειδική περίπτωση της θεώρημα των modular forms (τότε γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες[56]

Ο Γουάιλς εργάστηκε σε αυτό το έργο για έξι χρόνια με σχεδόν απόλυτη μυστικότητα, κάλυπτε μέχρι και τις προσπάθειές του με την εμφάνιση προηγούμενων εργασιών σε μικρά τμήματα ως ξεχωριστές εργασίες και εμπιστευτικά μόνο στη σύζυγό του[54]:229-230 Αρχική του μελέτη πρότεινε μια απόδειξη με επαγωγή,[54]:230-232, 249-252 και βασίστηκε στην αρχική εργασία του και την πρώτη σημαντική ανακάλυψη σχετικά με τη θεωρία του Γκαλουά[54]:251-253, 259 πριν από τη προσπάθεια να επεκτείνει Οριζόντια θεωρία του Ιγασάγα για την επαγωγή το 1990-1991, όταν φάνηκε ότι δεν υπήρχε επαρκής υπάρχουσα προσέγγιση στο πρόβλημα.[54]:258-259 Ωστόσο, το καλοκαίρι του 1991, η θεωρία του Ιγασάνα, επίσης, φάνηκε να μην επαρκεί για την επίλυση των κεντρικών ζητημάτων του προβλήματος.[54]:259-260[57] Κατόπιν, πλησίασε τους συναδέλφους του για να αναζητήσει τυχόν υποδείξεις από έρευνα αιχμής και τις νέες τεχνικές, και ανακάλυψε το σύστημα του Όιλερ που πρόσφατα είχε αναπτύχθηκε από τον Βίκτορ Καλιβάγκην και τον Ματίας Φλατς , η οποία φαινόταν ιδανική για το επαγωγικό μέρος της απόδειξης του .[54]:260-261 Ο Γουάιλς μελέτησε και επέκτεινε αυτή την προσέγγιση, στην οποία και εργάστηκε. Δεδομένου ότι το έργο του στηρίχθηκε στη συγκεκριμένη μεθόδους προσέγγισης σε μεγάλο βαθμό, αλλά οι προσεγγίσεις ήταν καινούργιες για τον Γουάιλς ο ίδιος , τον Ιανουάριο του 1993 ζήτησε από συνάδελφό του στο Πρίνστον, Νικ Κατζ, να ελέγξει τον συλλογισμό του για λάθη. Το συμπέρασμά τους την εποχή εκείνη ήταν ότι οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από Γουάιλς φάνηκε να λειτουργεί σωστά.[54]:261-265[58]

Μέχρι τα μέσα του Μάη του 1993 ο Γουάιλς αισθάνθηκε έτοιμος να πει στη γυναίκα του ότι νόμιζε πως είχε την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά,[54]:265 και τον Ιούνιο ένιωθε αρκετά σίγουρος για να παρουσιάσει τα αποτελέσματα του σε τρεις διαλέξεις που πραγματοποιήθηκαν στις 21 - 23 Ιουν. 1993 στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων.[59] Συγκεκριμένα, ο Γουάιλς παρουσίασε την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμη-Σιμούρα για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες καθώς και την απόδειξη της έψιλοντικής εικασίας του Ρίμπετ, αυτό συνεπαγόταν την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ωστόσο, κατέστη σαφές κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ότι ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη ήταν εσφαλμένη. Περιείχε ένα λάθος σε ένα όριο της τάξης του συγκεκριμένου. Το σφάλμα απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και τη διαιτησία των χειρόγραφων ανέλαβε μια ομάδα μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Κατζ (στο ρόλο του ως κριτής),[60] ο οποίος ειδοποίησε τον Γουάιλς στις 23 Αυγούστου 1993.[61]

Μεταγενέστερες εξελίξεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πλήρης Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία τελικά αποδεικνύεται από τους Ντάιαμοντ (1996), Κόνραντ & Ντάιαμοντ & Τέιλορ (1999), και Μπρουέλ & Κονραντ & Ντάιμοντ & Τέιλορ (2001), οι οποίοι με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, διαχώρισαν σταδιακά και επεκτάθηκαν στις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί πλήρως. Η πλήρως αποδεδειγμένη εικασία έγινε γνωστή ως το θεώρημα των modular forms. Πολλά άλλα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών παρόμοια με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά προκύπτουν επίσης από την ίδια λογική, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των modular forms. Για παράδειγμα: Κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο ξένων n-th δυνάμεων,όπου n ≥ 3. (Η περίπτωση n = 3 ήταν ήδη γνωστή από τον Όιλερ)

Εκθέτες εκτός θετικών ακεραίων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ρητοί εκθέτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όλες οι λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης a^{n/m} + b^{n/m} = c^{n/m} με n=1 πο υπολογίστηκαν από τον Λένστρα το 1992.[62] Στην περίπτωση κατά την οποία το mth οι ρίζες πρέπει να είναι πραγματικές και θετικές και όλες δίνονται από [63]

a=rs^m
b=rt^m
c=r(s+t)^m

για θετικούς ακέραιους r, s, t με s και t πρώτους μεταξύ τους.

Το 2004 για n>2, οι Μπένετ, Γλάς Σζεκέλυ απέδειξαν ότι αν ο ΜΚΔ(n,m)=1 τότε υπάρχουν ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν το 6 διαιρεί m, και a^{1/m}, b^{1/m}, και c^{1/m} είναι διαφορετικής 6ης πολυπλοκότητας ρίζες για τον ίδιο πραγματικό αριθμό. [64]


Αρνητικοί εκθέτες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

n = –1[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όλοι οι συντελεστές τις εξίσωσης a^{-1}+b^{-1}=c^{-1} μπορούν να δοθούν με τις μορφές[65] :

a=mn+m^2,
b=mn+n^2,
c=mn

για θετικούς, πρώτους μεταξύ τους, ακεραίους m, n.

n = –2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην περίπτωση n = –2 αντιστοιχεί σε μια απειρία λύσεων, και αυτή έχει μια γεωμετρική ερμηνεία όσον αφορά το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές και ακέραιο το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα[66][67] Το σύνολο των λύσεων μπορεί να δοθεί από τις εξισώσεις

a=(v^2-u^2)(v^2+u^2), \,
b=2uv(v^2+u^2), \,
d=2uv(v^2-u^2), \,

για ξένους ακέραιους u, v με v > u. Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι οι a και b είναι οι ακέραιες κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και d είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Με τα δεδομένα αυτά η υποτείνουσα είναι ο ακέραιος

c=(v^2+u^2)^2, \,

και η (a,b,c) είναι μία Πυθαγόρεια τριάδα.

Ακέραιος n < –2[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση a^n+b^n=c^n για ακέραιους n < –2. Αν υπήρχαν, τότε η εξίσωση θα μπορούσε να πολλαπλασιαστεί με τους a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|} και τροποποιείται σε (bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}, το οποίο είναι αδύνατο σύμφωνα με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Μήπως ο Φερμά είχε μια γενική απόδειξη;[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι μαθηματικές τεχνικές που χρησιμοποιούσε ο Φερμά για τη "θαυμάσια" απόδειξη είναι άγνωστες. Μόνο μία λεπτομερή απόδειξη Fermat έχει διασωθεί, από την παράπανω απόδειξη ότι δεν υπάρχουν τρεις πρώτοι μεταξύ τους ακέραιοι (x, y, z) που να ικανοποιούν την εξίσωση x4y4 = z2.

Η απόδειξη Τέιλορ και Γουάιλς στηρίζεται σε μαθηματικές τεχνικές που αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα, που θα ήταν άγνωστες για τους μαθηματικούς που είχαν εργαστεί στο το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ακόμη και έναν αιώνα νωρίτερα. Η υποτιθέμενη «θαυμάσια απόδειξη του "Φερμά", θα έπρεπε να είναι στοιχειώδης, λόγω της μαθηματικής γνώσης του χρόνου, και έτσι δεν θα μπορούσε να ήταν το ίδιο με την απόδειξη του Γουάιλς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί και ιστορικοί αμφιβάλλουν ότι Fermat είχε μια έγκυρη απόδειξη του θεωρήματος του για όλους τους εκθέτες n.

Χρηματικά βραβεία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το 1816 και ξανά το 1850, η Γαλλική Ακαδημία των Επιστημών αθλοθέτηςε ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. [68] Το 1857, η Ακαδημία έδωσε 3000 φράγκα και ένα χρυσό μετάλλιο στον Κούμμερ για την έρευνά του σχετικά με τους ιδανικούς αριθμούς, παρόλο που ο ίδιος δεν είχε υποβάλει δήλωση για το βραβείο. [69] Άλλο βραβείο αθλοθετήθηκε από την Ακαδημία των Βρυξελλών το 1883..[70]

Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και της  ερασιτέχνης μαθηματικός Paul Wolfskehl κληροδότησε 100.000 μάρκα στην Ακαδημία Επιστημών της Γκότιγκεν για να αθλοθετηθεί βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. [71] Στις 27 Ιουνίου 1908 η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες για την απονομή του βραβείου. Μεταξύ άλλων, οι κανόνες αυτοί απαιτούσαν η απόδειξη να δημοσιευθεί σε επιστημονικό περιοδικό, το βραβείο να μη χορηγηθεί πριν περάσουν δύο έτη από τη δημοσίευση, και να μη δοθεί μετά την 13 Σεπτεμβρίου 2007, περίπου έναν αιώνα μετά ο αγώνας ξεκίνησε.[72] Ο Wiles εισέπραξε τα χρήματα του βραβείου, που ανέρχονταν τότε σε 50.000 δολάρια περίπου, στις 27 Ιουνίου 1997.[73]

Πριν από την απόδειξη του Γουάιλς, χιλιάδες λανθασμένες αποδείξεις υποβλήθηκαν στην επιτροπή Wolfskehl, που γεμίζουν κάπου 3 μέτρα χαρτί αλληλογραφίας.[74] Κατά το πρώτο έτος (1907-1908) υποβλήθηκαν 621 απόπειρες απόδειξης , αν και από τη δεκαετία του 1970, ο ρυθμός υποβολής είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 προσπάθειες απόδειξης ανά μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, μέλος της κριτικής επιτροπής του βραβείου Βόλφσκελ, οι περισσότερες από τις αποδείξεις βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονται στα σχολεία, και συχνά υποβάλλονταν από "ανθρώπους με τεχνική εκπαίδευση, αλλά αποτυχημένη καριέρα".[75]

Στο δημοφιλή πολιτισμό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ένα επεισόδιο της τηλεοπτικής σειράς Star Trek: The Next Generation, με τον τίτλο "Το βασιλικό", αναφέρεται στο θεώρημα στην πρώτη σκηνή. [76]
  • "Η απόδειξη" -Nova ( PBS) ντοκιμαντέρ σχετικά με την απόδειξη του Άντριου Γουάιλς για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.
  • Στις 17 Αυγ 2011, ένα Google doodle είχε εμφανιστεί στην αρχική σελίδα του Google, που δείχνει ένα πίνακα με το θεώρημα αυτό. Όταν αιωρούνταν πάνω, εμφανίζει το κείμενο "Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, την οποία αυτό το doodle είναι πολύ μικρό για να περιέχει". Αυτό είναι μια αναφορά στο σημείωμα του Φερμά στο περιθώριο της Αριθμητικής. Έτσι εορτάστηκε η 410η επέτειος γέννησης του Φερμά, διαδικτυακά. [77]
  • Στο βιβλίο Το κορίτσι που έπαιζε με τη φωτιά, ο κύριος χαρακτήρας η Λίσμπεθ Σάλαντερ παθαίνει εμμονή με το θεώρημα στα αρχικά κεφάλαια του βιβλίου. Συνεχίζοντας την προσπάθειά της να καταλήξει σε μια απόδειξη λειτουργεί ως υποπλοκή σε όλη την ιστορία, και χρησιμοποιείται ως ένας τρόπος για να αποδείξει την εξαιρετική ευφυΐα της. Στο τέλος εμφανίζεται με μια απόδειξη (η πραγματική απόδειξη δεν εμφανίζεται στο βιβλίο). Ωστόσο πυροβολείται στο κεφάλι. και η απόδειξη χάνεται.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Για παράδειγμα \left((j^r+1)^s\right)^r + \left(j(j^r+1)^s)\right)^r = (j^r+1)^{rs+1}.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Stark, pp. 151–155.
  2. Stillwell J (2003). Elements of Number Theory. New York: Springer-Verlag. σελ. 110–112. ISBN 0-387-95587-9. http://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA110. 
  3. Aczel, pp. 13–15
  4. Singh, pp. 18–20.
  5. Singh, p. 6.
  6. Stark, pp. 145–146.
  7. Singh, pp. 50–51.
  8. Stark, p. 145.
  9. Aczel, pp. 44–45; Singh, pp. 56–58.
  10. Aczel, pp. 14–15.
  11. Stark, pp. 44–47.
  12. Friberg, pp. 333– 334.
  13. p. 731; Singh, pp. 60–62; Aczel, p. 9.
  14. Dickson, pp. 615–616; Aczel, p. 44.
  15. Ribenboim, pp. 13, 24.
  16. Singh, pp. 62–66.
  17. Dickson, p. 731.
  18. Singh, p. 67; Aczel, p. 10.
  19. Freeman L. «Fermat's One Proof». http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html. Ανακτήθηκε στις 23 May 2009. 
  20. Ριμπενμπόιμ, pp. 15–24.
  21. Frénicle de Bessy, Traité des Triangles Rectangles en Nombres, vol. I, 1676, Paris. Reprinted in Mém. Acad. Roy. Sci., 5, 1666–1699 (1729).
  22. Euler L (1738). "Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes". Comm. Acad. Sci. Petrop. 10: 125–146. . Reprinted Opera omnia, ser. I, "Commentationes Arithmeticae", vol. I, pp. 38–58, Leipzig:Teubner (1915).
  23. Kausler CF (1802). "Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse". Novi Acta Acad. Petrop. 13: 245–253. 
  24. Barlow P (1811). An Elementary Investigation of Theory of Numbers. St. Paul's Church-Yard, London: J. Johnson. σελ. 144–145. 
  25. Legendre AM (1830). Théorie des Nombres (Volume II) (3rd έκδοση). Paris: Firmin Didot Frères.  Reprinted in 1955 by A. Blanchard (Paris).
  26. Schopis (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik. Gummbinnen: Programm. 
  27. Terquem O (1846). "Théorèmes sur les puissances des nombres". Nouv. Ann. Math. 5: 70–87. 
  28. Bertrand J (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre. Paris: Hachette. σελ. 217–230, 395. 
  29. Lebesgue VA (1853). "Résolution des équations biquadratiques z2 = x4 ± 2my4, z2 = 2mx4y4, 2mz2 = x4 ± y4". J. Math. Pures Appl. 18: 73–86. 
    Lebesgue VA (1859). Exercices d'Analyse Numérique. Paris: Leiber et Faraguet. σελ. 83–84, 89. 
    Lebesgue VA (1862). Introduction à la Théorie des Nombres. Paris: Mallet-Bachelier. σελ. 71–73. 
  30. Pepin T (1883). "Étude sur l'équation indéterminée ax4 + by4 = cz2". Atti Accad. Naz. Lincei 36: 34–70. 
  31. Tafelmacher WLA (1893). "Sobre la ecuación x4 + y4 = z4". Ann. Univ. Chile 84: 307–320. 
  32. Hilbert D (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4: 175–546.  Reprinted in 1965 in Gesammelte Abhandlungen, vol. I by New York:Chelsea.
  33. Bendz TR (1901). Öfver diophantiska ekvationen xn + yn = zn. Uppsala: Almqvist & Wiksells Boktrycken. 
  34. Gambioli D (1901). "Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat". Period. Mat. 16: 145–192. 
  35. Kronecker L (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I. Leipzig: Teubner. σελ. 35–38.  Reprinted by New York:Springer-Verlag in 1978.
  36. Bang A (1905). "Nyt Bevis for at Ligningen x4y4 = z4, ikke kan have rationale Løsinger". Nyt Tidsskrift Mat. 16B: 35–36. 
  37. Sommer J (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie. Leipzig: Teubner. 
  38. Bottari A (1908). "Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi dellla teoria dei numeri". Period. Mat. 23: 104–110. 
  39. Rychlik K. (1910). "On Fermat's last theorem for n = 4 and n = 3 (in Bohemian)". Časopis Pěst. Mat. 39: 65–86. 
  40. Nutzhorn F (1912). "Den ubestemte Ligning x4 + y4 = z4". Nyt Tidsskrift Mat. 23B: 33–38. 
  41. Carmichael RD (1913). "On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations". Amer. Math. Monthly (Mathematical Association of America) 20 (7): 213–221. doi:10.2307/2974106. 
  42. Hancock H (1931). Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I. New York: Macmillan. 
  43. Vrǎnceanu G (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n=4". Gaz. Mat. Ser. A 71: 334–335.  Reprinted in 1977 in Opera matematica, vol. 4, pp. 202–205, Bucureşti:Edit. Acad. Rep. Soc. Romana.
  44. Ribenboim, pp. 1–2.
  45. 45,0 45,1 Laubenbacher R, Pengelley D (2007). «Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem». http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/germain.pdf. Ανακτήθηκε στις 19 May 2009. 
  46. Aczel, p. 57.
  47. Terjanian, G. (1977). "Sur l'équation x2p + y2p = z2p". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Série a et B 285: 973–975. 
  48. Adleman LM, Heath-Brown DR (June 1985). "The first case of Fermat's last theorem". Inventiones Mathematicae (Berlin: Springer) 79 (2): 409–416. doi:10.1007/BF01388981. 
  49. Aczel, pp. 84–88; Singh, pp. 232–234.
  50. Faltings G (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432. 
  51. Ribenboim P (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer Verlag. σελ. 202. ISBN 978-0-387-90432-0. 
  52. Wagstaff SS, Jr. (1978). "The irregular primes to 125000". Math. Comp. (American Mathematical Society) 32 (142): 583–591. doi:10.2307/2006167.  (PDF)
  53. Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). "Irregular primes and cyclotomic invariants to four million". Math. Comp. (American Mathematical Society) 61 (203): 151–153. doi:10.2307/2152942. 
  54. 54,00 54,01 54,02 54,03 54,04 54,05 54,06 54,07 54,08 54,09 54,10 54,11 54,12 54,13 54,14 54,15 [Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0
  55. Singh, pp. 194–198; Aczel, pp. 109–114.
  56. Singh, p. 205; Aczel, pp. 117–118.
  57. Singh, pp. 237–238; Aczel, pp. 121–122.
  58. Singh, pp. 239–243; Aczel, pp. 122–125.
  59. Singh, pp. 244–253; Aczel, pp. 1–4, 126–128.
  60. Aczel, pp. 128–130.
  61. Singh, p. 257.
  62. Lenstra, Jr. H.W. (1992). On the inverse Fermat equation. Discrete Mathematics, 106-107, pp. 329-331.
  63. Newton, M., "A radical diophantine equation", Journal of Number Theory 13 (1981), 495-498.
  64. Bennett, Curt D., Glass, Andrew M.W., and Székely, Gábor J. (2004). Fermat’s last theorem for rational exponents. The American Mathematical Monthly, 111, no. 4, pp. 322-329.
  65. Dickson, pp. 688-691
  66. Voles, Roger, "Integer solutions of a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
  67. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
  68. Aczel, p. 69; Singh, p. 105.
  69. Aczel, p. 69.
  70. Koshy T (2001). Elementary number theory with applications. New York: Academic Press. σελ. 544. ISBN 978-0-12-421171-1. 
  71. Singh, pp. 120–125, 131–133, 295–296; Aczel, p. 70.
  72. Singh, pp. 120–125.
  73. Singh, p. 284
  74. Singh, p. 295.
  75. Singh, pp. 295–296.
  76. «Facets (episode) - Memory Alpha, the Star Trek Wiki». Memory-alpha.org. http://memory-alpha.org/wiki/Facets_(episode). Ανακτήθηκε στις 2012-08-15. 
  77. "Pierre de Fermat's birthday celebrated in Google Doodle", The Telegraph, 17 August 2011

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διαβάστε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]